Нахождение ранга матрицы – онлайн калькулятор

Онлайн калькулятор позволяет вычислить ранг матрицы методом Гаусса. Разрешающий элемент можно выбирать самостоятельно. Также можно сделать проверку правильности решения, вычислив ранг транспонированной матрицы.

Онлайн калькулятор

Исходные данные задачи

Ранг матрицы. Определения и теоремы

Матрица

Матрицей A называется таблица чисел a_ikвида

A = ( 

a11	a12	⋅ ⋅ ⋅	a1n
a21	a22	⋅ ⋅ ⋅	a2n
⋮	⋮	⋱	⋮
am1	am2	⋅ ⋅ ⋅	amn

 )

Числа a_ik называются элементами матрицы.
При m = n она называется квадратной матрицей n-го порядка.

Линейная комбинация строк (столбцов) матрицы

Строка (столбец) e называется линейной комбинацией строк (столбцов) e_m1 , e_m2 , . . ., e_ms , если она равна сумме произведений этих строк (столбцов) на произвольные числа λ₁ , λ₂ , . . ., λ_s :
e = λ₁ e_m1  + λ₂ e_m2  + ⋅ ⋅ ⋅ + λ_s e_ms .

Линейная зависимость строк (столбцов) матрицы

Строки (столбцы) e_m1 , e_m2 , . . ., e_ms матрицы называются линейно зависимыми, если существуют числа λ₁ , λ₂ , . . ., λ_s , одновременно не равные нулю, при которых их линейная комбинация равна нулевой строке (столбцу):
λ₁ e_m1  + λ₂ e_m2  + ⋅ ⋅ ⋅ + λ_s e_ms  = 0 .
Линейная зависимость означает, что хотя бы одна строка (столбец) является линейной комбинацией остальных.

Линейная независимость строк (столбцов) матрицы

Строки (столбцы) e_m1 , e_m2 , . . ., e_ms матрицы называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулевой строке (столбцу)
λ₁ e_m1  + λ₂ e_m2  + ⋅ ⋅ ⋅ + λ_s e_ms  = 0
только при условии равенства нулю коэффициентов:
λ₁  = λ₂  = ⋅ ⋅ ⋅ = λ_s  = 0 .

Минор матрицы

Минором k-го порядка матрицы A называется определитель матрицы, элементы которой лежат на пересечении произвольных k строк и k столбцов матрицы A.
Исходная матрица A не обязательно должна быть квадратной, но порядок минора k не превосходит числа строк и столбцов матрицы A.

Ранг матрицы

Рангом матрицы A называется наибольший порядок k отличного от нуля минора матрицы A; обозначается rank(A ),  rang(A ), или r(A ) .

Элементарные преобразования матрицы

– это следующие действия над элементами матрицы:
1) перестановка строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на отличное от нуля число;
3) прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число.

Применяемый метод расчета ранга матрицы

Для вычисления ранга, мы воспользуемся теоремой о ранге матрицы и двумя следующими фактами.

1. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
2. Преобразования Гаусса состоят из элементарных преобразований.

В результате преобразований Гаусса матрица приводится к более простому виду, состоящему из треугольной формы и нулевых строк. В треугольной части все элементы, стоящие ниже главной диагонали равны нулю. Поэтому все строки треугольной части являются линейно независимыми. Строки, состоящие из нулей, являются линейно зависимыми с любыми строками матрицы. Таким образом, максимальное число линейно независимых строк матрицы равно числу строк ее треугольной части. Следовательно, и ранг матрицы равен числу строк треугольной части матрицы.

Руководство по использованию калькулятора

Метод расчета ранга

В калькуляторе над элементами матрицы выполняются преобразования Гаусса, и выполняется подсчет числа строк треугольной части преобразованной матрицы, которое и равно ее рангу.

Способы выбора разрешающего элемента

По диагонали

Это наиболее простой метод. Сначала мы выбираем разрешающий элемент a₁₁ в первой строке и первом столбце. Если он отличен от нуля, то выполняем линейные преобразования, чтобы все коэффициенты в первом столбце приравнять к нулю (кроме коэффициента в первой строке). Далее выбираем элемент во второй строке и втором столбце, и выполняем линейные преобразования, чтобы приравнять нулю коэффициенты третьей и последующих строк во втором столбце. И так далее – на каждом шаге выбираем разрешающий элемент, расположенный на главной диагонали матрицы, и линейными преобразованиями обнуляем коэффициенты, стоящие ниже его.

Близкий к единице

Этот способ дает более короткие вычисления при использовании простых дробей. На каждом шаге, в качестве разрешающего элемента, выбирается элемент a_ik , наиболее близкий по модулю к единице. После чего переставляются строки и столбцы системы, чтобы он располагался на диагонали. В результате получаем вычисления с менее громоздкими дробями.

Наибольший по модулю

Здесь, на каждом шаге, в качестве разрешающего элемента, выбирается наибольший по модулю элемент.

Ввод исходных данных

Исходными данными являются:
элементы матрицы a_ij ;
число ее сток;
число столбцов;
способ выбора разрешающего элемента: «По диагонали», «Близкий к 1», «Наибольший по модулю»;
дроби – обыкновенные или десятичные. Для десятичных дробей можно указать число выводимых на экран значащих цифр.

Применение десятичных дробей может привести к ошибкам округления и неправильному вычислению ранга!

Существует два способа ввода данных:
1) в виде единой таблицы;
2) каждого значения по отдельности.

Ввод данных единой таблицей

В этом способе элементы матрицы вводят в одно текстовое поле. Разделителем строк служит перевод новой строки; разделителем столбцов – пробел или табуляция.

Под полем ввода имеются четыре кнопки со следующими функциями.
Применить – производится заполнение ячеек, расположенных ниже таблицы, которые можно затем редактировать по отдельности.
Найти ранг – проверка правильности заполнения ячеек и расчет ранга.
Копировать – данные копируются в буфер обмена для последующего сохранения в электронной таблице.
Удалить все – все данные удаляются. После этого можно вставить новые данные из электронной таблицы через буфер обмена.

Ввод данных по отдельности

Каждое значение можно вводить по отдельности. Для этого нужно числа строк и столбцов матрицы, и нажать кнопку Применить.
Далее можно изменить любое значение в последующих полях ввода.
При нажатии на кнопку Рассчитать производится проверка правильности заполнения ячеек и расчет ранга матрицы.

Ввод числовых данных

Ввод натуральных чисел выполняется, как обычно, в виде последовательности цифр 0 – 9.
Перед отрицательными числами ставится знак минус без пробела.
Обыкновенные дроби вводят с использованием косой черты без пробелов, которая отделяет числитель от знаменателя. Например: 5/2.
Десятичные дроби, для расчетов с округлением, вводят, используя в качестве разделителя запятую или точку. Например: 0,1254. Также можно ввести порядок числа, используя латинскую букву e. Например 1,254e-12 означает 1,254·10^-12.

Сохранение данных расчета

После успешного выполнения расчета происходит замена адреса страницы, в который включаются введенные пользователем данные. Если сохранить страницу в браузере, то при повторном обращении, автоматически загружаются данные предыдущего расчета, и производится сам расчет.

Сохранять данные также можно в электронной таблице, копируя их из текстового поля в буфер обмена.

Чтобы очистить все данные, нужно нажать на приведенную ниже ссылку:

Открыть в новой вкладке с параметрами по умолчанию

Использованная литература.
Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Ростов-на-Дону, «Феникс», 1997.
Н.В. Гредасова, М.А. Корешникова, Н.И. Желонкина, Л.В. Корчемкина, Е.Г. Полищук, В.М. Иванов, И.Ю. Андреева. Линейная алгебра. Екатеринбург. Издательство Уральского университета, 2019.
Е.В. Никитенко. Линейная алгебра и теория матриц. Рубцовск, 2022.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 10-07-2025