Онлайн калькулятор для нахождения обратной матрицы методом Гаусса

Онлайн калькулятор позволяет найти обратную матрицу методом Гаусса и сделать проверку правильности решения. При этом на каждом этапе можно самостоятельно выбирать разрешающий элемент.

Онлайн калькулятор

Результат расчета

Описание метода Гаусса для нахождения обратной матрицы

Пусть задана квадратная матрица A, определитель которой отличен от нуля. Тогда существует обратная матрица A^-1, обладающая следующим свойством:
(1)   A•A^-1 = A^-1•A = E,
где E – единичная матрица. Из (1) следует, что для нахождения обратной матрицы, нужно решить матричное уравнение:
(2)   A•X = E,
где X – неизвестная матрица, которая и будет обратной.

Схематически метод решения можно представить в виде последовательного умножения уравнения (2) слева на некоторые матрицы A₁, A₂ ... A_m:
A₁•A•X = A₁•E,
A₂•A₁•A•X = A₂•A₁•E,
.....
(3)   A_m•...•A₂•A₁•A•X = A_m•...•A₂•A₁•E.
Если мы подберем их так, чтобы
A_m•...•A₂•A₁•A = E,
то получим решение в виде последовательности действий над единичной матрицей:
X = A_m•...•A₂•A₁•E.
Эти действия точно такие, которыми мы преобразовали исходную матрицу в единичную.

Далее заметим, что перестановка строк, умножение стрики на число, сложение и вычитание строк, можно представить в виде умножения матриц. Разберем это на примере матрицы с тремя строками и столбцами.

Так, перестановка второй и третьей строк эквивалентна умножению на матрицу :

См. Подробное вычисление умножения этих матриц
Умножение второй строки на число 1/10 эквивалентно следующему:

Подробное умножение
Вычитание из второй строки первой, умноженной на 4:


Подробности здесь

Из (3) следует, что если мы выполним преобразования Жордана-Гаусса над матрицей A, в результате которых она преобразуется в единичную матрицу, то эти же преобразования, выполненные над единичной матрицей, дадут обратную матрицу:
A^-1=A_m•...•A₂•A₁•E,
если A_m•...•A₂•A₁•A=E.

Таким образом, чтобы найти обратную матрицу методом Гаусса, нужно составить расширенную матрицу, состоящую слева из исходной A и справа из единичной E матриц; выполнить над ее строками преобразования Жордана-Гаусса, чтобы A преобразовалась в единичную матрицу. Тогда в правой части получим обратную матрицу A^-1.
См. Метод Жордана-Гаусса

Руководство по использованию калькулятора

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти обратную матрицу методом Гаусса. Далее приводится инструкция по использованию калькулятора.

Ввод исходных данных

Исходными данными являются:
число n строк и столбцов исходной квадратной матрицы A;
числа – элементы исходной матрицы;
способ выбора разрешающего элемента: «По диагонали», «Близкий к 1», «Наибольший по модулю»;
дроби – обыкновенные или десятичные.
Для десятичных дробей можно указать число выводимых на экран значащих цифр.

Существует два способа ввода элементов матриц:
1. В виде единой таблицы.
2. Ввод каждого значения по отдельности.

Ввод данных единой таблицей

В этом способе вводят расширенную матрицу системы в одно текстовое поле. Разделителем строк служит перевод новой строки; разделителем столбцов – пробел или табуляция.

Под полем ввода имеются четыре кнопки со следующими функциями.
Применить – производится заполнение ячеек, расположенных ниже, которые можно затем редактировать по отдельности.
Найти обратную матрицу – проверка правильности заполнения ячеек и вычисление обратной матрицы.
Копировать – данные копируются в буфер обмена для последующего сохранения в электронную таблицу.
Удалить все – все данные удаляются. После этого можно вставить новые данные из электронной таблицы через буфер обмена.

Ниже можно указать способ выбора разрешающего элемента и какой тип дробей использовать для расчета: обыкновенные или десятичные.

Ввод данных по отдельности

Каждое значение элементов матрицы можно вводить по отдельности. Для этого нужно ввести число строк и столбцов матрицы, и нажать кнопку Применить.
Далее можно вводить или изменять любые значения в последующих полях ввода.
При нажатии на кнопку Найти обратную матрицу производится проверка правильности заполнения ячеек и вычисление обратной матрицы.

Способы выбора разрешающего элемента

По диагонали

Это наиболее простой метод. Сначала мы выбираем элемент в первой строке и первом столбце. Если он отличен от нуля, то выполняем линейные преобразования, чтобы все элементы в первом столбце приравнять к нулю (кроме первой строки). Затем выбираем элемент во второй строке и втором столбце, и выполняем линейные преобразования, обнуляя элементы второго столбца кроме второго. И так далее, на каждом шаге, в качестве разрешающего, выбираем элемент, расположенный на диагонали.

Близкий к единице

Этот способ дает более короткие вычисления при использовании простых дробей. На каждом шаге, в качестве разрешающего элемента, выбирается элемент , наиболее близкий по модулю к единице. После чего переставляются строки, чтобы он располагался на диагонали. В результате получаем вычисления с менее громоздкими дробями.

Наибольший по модулю

Этот способ дает более точные вычисления при использовании десятичных дробей и большим числом строк. На каждом шаге, в качестве разрешающего, выбирается наибольший по модулю элемент.

Тип дробей, используемых в расчете

Чтобы получить точный результат без округлений, нужно в строке Дроби выбрать 'Обыкновенные'; все числовые значения вводить либо целыми без десятичной запятой (или точки), либо в виде обыкновенных дробей. Например: '3', '0', '-12', '5/6'.
Если при вводе данных, хотя бы в одном поле, встретится запятая или точка, то все числовые величины будут округляться, и отображаться в виде десятичных дробей.

Чтобы получить приближенный результат в виде десятичных дробей, нужно в строке Дроби выбрать 'Десятичные', и указать число значащих цифр. Оно используется только для отображения данных расчета, и не оказывает влияния на точность. При расчете используются числа с 15-ю знаками не зависимо от выбранного значения числа значащих цифр.

Ввод числовых данных

Ввод натуральных чисел выполняется, как обычно, в виде последовательности цифр 0 – 9.
Перед отрицательными числами ставится знак минус без пробела.
Обыкновенные дроби вводят с использованием косой черты без пробелов, которая отделяет числитель от знаменателя. Например: 5/2.
Десятичные дроби, для расчетов с округлением, вводят, используя в качестве разделителя запятую или точку. Например: 0,1254. Также можно ввести порядок числа, используя латинскую букву e. Например 1,254e-12 означает 1,254·10^-12.

Сохранение данных расчета

После успешного выполнения расчета происходит замена адреса страницы, в который включаются введенные пользователем данные. Если сохранить страницу в браузере, то при повторном обращении, автоматически загружаются данные предыдущего расчета, и производится сам расчет.

Сохранять данные также можно в электронной таблице, копируя их из текстового поля в буфер обмена.

Чтобы очистить все данные, нужно нажать на приведенную ниже ссылку:

Открыть в новой вкладке с параметрами по умолчанию

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 18-01-2025