Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую

Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую. Доказательство теоремы. Пример решения задачи.

Теорема

Доказательство

Выберем прямоугольную неподвижную систему координат Oxyz . Возьмем две произвольные точки твердого тела A и B . Пусть (x_A, y_A, z_A) и (x_B, y_B, z_B) – координаты этих точек. При движении твердого тела они являются функциями от времени t . Дифференцируя по времени, получаем проекции скоростей точек.
^→v_A  = (^.x_A ,  ^.y_A ,  ^.z_A ) ,  ^→v_B  = (^.x_B ,  ^.y_B ,  ^.z_B ) . 

Воспользуемся тем, что при движении твердого тела, расстояние |AB| между точками остается постоянным, то есть не зависит от времени t . Также постоянным является квадрат расстояния
 | AB | ²  = (x_B  – x_A )²  + (y_B  – y_A )²  +  (z_B  – z_A )²  = const . 
Продифференцируем это уравнение по времени t , применяя правило дифференцирования сложной функции.
2(x_B  – x_A )(^.x_B  – ^.x_A ) +  2(y_B  – y_A )(^.y_B  – ^.y_A ) +  2(z_B  – z_A )(^.z_B  – ^.z_A ) = 0
Сократим на 2 .
(1)   (x_B  – x_A )(^.x_B  – ^.x_A ) +  (y_B  – y_A )(^.y_B  – ^.y_A ) +  (z_B  – z_A )(^.z_B  – ^.z_A ) = 0

Введем вектор
AB = ^→B – ^→A =  (x_B  – x_A ,  y_B  – y_A ,  z_B  – z_A ) . 
Тогда уравнение (1) можно представить в виде скалярного произведения векторов.
(2)   ( AB ⋅ (^→v_B  – ^→v_A ) ) = 0
Выполняем преобразования.
( AB ⋅ ^→v_B  ) – ( AB ⋅ ^→v_A  ) = 0 ; 
(3)   ( AB ⋅ ^→v_A  ) = ( AB ⋅ ^→v_B  ) . 
По свойству скалярного произведения
( AB ⋅ ^→v_A  ) =  | AB |  ⋅  | v_A  |  ⋅ cos α , 
( AB ⋅ ^→v_B  ) =  | AB |  ⋅  | v_B  |  ⋅ cos β . 
Подставляем в (3) и сокращаем на |AB| .
 | AB |  ⋅  | v_A  |  ⋅ cos α =   | AB |  ⋅  | v_B  |  ⋅ cos β ; 
 | v_A  |  ⋅ cos α =  | v_B  |  ⋅ cos β

Что и требовалось доказать.

Относительная скорость

Рассмотрим движение точки B относительно точки A . Введем относительную скорость точки B относительно A .
^→v_BA  = ^→v_B  – ^→v_A 
Тогда уравнение (2) можно переписать в виде
( AB ⋅ ^→v_BA  ) = 0 . 

То есть относительная скорость ^→v_BA  перпендикулярна вектору AB ,  проведенному из точки A в точку B . Поскольку точка B взята произвольным образом, то относительная скорость любой точки твердого тела перпендикулярна радиус вектору, проведенному из точки A . То есть относительно точки A тело совершает вращательное движение. Относительная скорость точек тела определяется по формуле для вращательного движения
^→v_BA  = [^→ω × AB ] =  [^→ω × (^→r_B  – ^→r_A )] . 

Точку A , относительно которой рассматривают движение, часто называют полюсом.

Абсолютную скорость точки B относительно неподвижной системы координат можно записать в следующем виде:
^→v_B  = ^→v_A  + ^→v_B  – ^→v_A  =  ^→v_A  + ^→v_BA  =  ^→v_A  + [^→ω × (^→r_B  – ^→r_A )] . 
Она равна сумме скорости поступательного движения произвольной точки A (полюса) и скорости вращательного движения относительно полюса A .

Пример решения задачи

Колеса 1 и 2 с радиусами R₁ = 0,15 м и R₂ = 0,3 м , соответственно, соединены шарнирами со стержнем 3 длины |AB| = 0,5 м . Колесо 1 вращается с угловой скоростью ω₁ = 1 рад/с . Для изображенного на рисунке положения механизма, определить угловую скорость ω₂ колеса 2. Принять L = 0,3 м .

Решение задачи

Точка A движется по окружности радиуса R₁ вокруг центра вращения O₁ . Скорость точки A определяется по формуле
V_A = ω₁R₁ .
Вектор ^→V_A  направлен вертикально (перпендикулярно O₁A).

Точка B движется по окружности радиуса R₂ вокруг центра вращения O₂ . Скорость точки B определяется по формуле
V_B = ω₂R₂ .
Отсюда
ω₂  = V_B R₂   . 
Вектор ^→V_B  направлен горизонтально (перпендикулярно O₂B).

Строим прямоугольный треугольник ABC . Применяем теорему Пифагора.
 | AC |  = √  | AB | ²  –  | BC | ²   =  √  | AB | ²  – L²   = √ 0, 5²  – 0, 3²   = 0, 4 (м)
Косинус угла между вектором скорости ^→V_A  и прямой AB , в направлении вектора AB ,  равен
cos α =  | AC |  | AB |  = 0, 40, 5 = 0, 8 . 
Косинус угла между вектором скорости ^→V_B  и прямой AB , в направлении вектора AB ,  равен
cos β =  | BC |  | AB |  = L | AB |  = 0, 30, 5 = 0, 6 . 

По теореме о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую имеем:
V_A cos α = V_B cos β .
Отсюда
V_B  = cos αcos β V_A  = 0, 80, 6 V_A  = 43 V_A  . 

Находим угловую скорость колеса 2.
ω₂  = V_B R₂  = 4V_A 3R₂  = 4ω₁ R₁ 3R₂  =  4R₁ 3R₂  ω₁  = 4 ⋅ 0, 153 ⋅ 0, 3 ⋅ 1 = 0, 6667 рад/с .

Ответ

ω₂ = 0,667 рад/с

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 07-10-2015