Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях – решение задачи

Приводятся основные законы и формулы, применяемые при решении задач на определение скоростей и ускорений точек твердого тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси. Рассмотрен пример подробного решения задачи. В ней дан механизм, состоящий из колес, рейки и груза, соединенных нитями и зубчатой передачей. Требуется найти скорости и ускорения точек, принадлежащих звеньям этого механизма.

Основные законы и формулы, применяемые при решении задач

Вращательное движение вокруг неподвижной оси

Рассмотри твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z . Сделаем рисунок. Ось вращения направим перпендикулярно плоскости рисунка, на нас. Пусть φ – угол поворота тела вокруг оси, отсчитываемый от некоторого начального положения. За положительное направление выберем направление против часовой стрелки. Угловая скорость ω равна производной угла поворота по времени t :
ω = ^.φ ≡ dφdt  . 
При ω > 0 ,  тело вращается против часовой стрелки; при ω < 0 – по часовой. Вектор угловой скорости ^→ω направлен перпендикулярно плоскости рисунка. При ω > 0 он направлен на нас; при ω < 0 – от нас.

Угловое ускорение ε равно производной угловой скорости по времени:
ε = ^.ω ≡ dωdt  . 
Вектор углового ускорения ^→ε также направлен перпендикулярно плоскости рисунка. При ε > 0 он направлен на нас; при ε < 0 – от нас.

Рассмотрим точку A , принадлежащую твердому телу. Опустим из нее перпендикуляр OA на ось вращения. Пусть  | OA |  = r_A  – расстояние от точки до оси. Траекторией движения точки A является окружность (или дуга) с центром в точке O радиуса r_A  . 

Абсолютное значение скорости точки A определяется по формуле:
v_A  =  | ω | r_A  . 
Вектор скорости направлен по касательной к траектории (окружности), перпендикулярно отрезку OA . При этом вектор ^→v_A  должен производить закручивание в ту же сторону, что и вектор угловой скорости ^→ω . 

Касательное (или тангенциальное) ускорение точки A определяется аналогично скорости:
a^τ_A  =  | ε | r_A  . 
Оно направлено по касательной к окружности, перпендикулярно OA . При этом вектор ^→a^τ_A  должен производить закручивание в ту же сторону, что и вектор углового ускорения ^→ε . 

Нормальное ускорение всегда направлено к центру окружности и имеет абсолютную величину
aⁿ_A  = ω² r_A  . 

Полное ускорение точки A , или просто ускорение, равно векторной сумме касательного и нормального ускорений:
^→a_A  = ^→a^τ_A  + ^→aⁿ_A  . 
Поскольку векторы ^→a^τ_A  и ^→aⁿ_A  перпендикулярны, то абсолютная величина ускорения точки A определяется по формуле:
a_A  = √ (a^τ_A )²  + (aⁿ_A )²   =  √ ε² r²_A  + ω⁴ r²_A   = r_A √ ε²  + ω⁴    . 

Поступательное прямолинейное движение

Теперь рассмотрим прямолинейное поступательное движение тела. Направим ось x вдоль его линии движения. Пусть s есть перемещение тела вдоль этой оси относительно некоторого начального положения. Тогда скорость движения всех точек тела равна производной перемещения по времени:
v = ^.s ≡ dsdt  . 
При v > 0 ,  вектор скорости направлен вдоль оси x . При v < 0 – противоположно этой оси.

Ускорение точек тела равно производной скорости по времени, или второй производной перемещения по времени:
a = ^.v = ^..s . 
При a > 0 ,  вектор ускорения направлен вдоль оси x . При a < 0 – противоположно.

Соприкосновение тел без проскальзывания

Рассмотрим два тела, находящиеся в зацеплении без проскальзывания. Пусть точка A принадлежит первому телу, а точка B – второму. И пусть, в рассматриваемый момент времени, положения этих точек совпадают. Тогда, если между телами нет проскальзывания, то скорости этих точек равны:
^→v_A  = ^→v_B  . 
Если каждое из тел вращается вокруг неподвижной оси, то равны соответствующие касательные ускорения:
^→a^τ_A  = ^→a^τ_B  . 
Если одно из тел движется поступательно (пусть это второе тело), то ускорение его точек равно касательному ускорению точки соприкосновения первого тела:
^→a^τ_A  = ^→a_B  . 

Пример решения задачи

Механизм состоит из ступенчатых колес 1, 2, 3, находящихся в зацеплении и связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес. Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 – r₁ = 2 см, R₁ = 4 см, у колеса 2 – r₂ = 6 см, R₂ = 8 см, у колеса 3 – r₃ = 12 см, R₃ = 16 см. На ободьях колес расположены точки A, B и C. Задан закон движения груза: s₅ = t³ – 6t (см). Положительное направление для s₅ – вниз.

Определить в момент времени t = 2 скорости точек A, C; угловое ускорение колеса 3; ускорение точки B и ускорение рейки 4.

Указания. Эта задача – на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что проскальзывание в ременной передаче и в точках сцепления колес отсутствует. То есть скорости точек колес, находящихся в зацеплении равны, а скорости точек ремня равны скорости точек, лежащих на ободе колес, связанных ременной передачей.

Дано:
t = 2 с; r₁ = 2 см, R₁ = 4 см; r₂ = 6 см, R₂ = 8 см; r₃ = 12 см, R₃ = 16 см; s₅ = t³ – 6t (см).

Определение скорости и ускорения груза 5

Груз 5 совершает поступательное движение. Поэтому скорости (и ускорения) всех его точек равны. В условии задачи задано смещение s груза относительно некоторого начального положения. Дифференцируя по времени t , находим зависимость скорости точек груза от времени:
v₅ (t ) = ^.s₅  ≡ ds₅ dt =  (t³  – 6t )^′_t = 3t²  – 6 . 
Дифференцируя скорость груза по времени, находим зависимость ускорения груза от времени:
a₅ (t ) = ^.v₅  ≡ dv₅ dt =  (3t²  – 6 )^′_t = 3 ⋅ 2t – 0 = 6t . 

Находим скорость и ускорение груза в заданный момент времени t = 2 c  : 
v₅  = v₅ (2 ) = (3t²  – 6 )|_t = 2  =  3 ⋅ 2²  – 6 = 6 см/с;
a₅  = a₅ (2 ) = (6t )|_t = 2  = 6 ⋅ 2 = 12 см/с².

Определение угловых скоростей и ускорений колес

Груз 5 связан нитью с внутренним ободом колеса 3. Поэтому скорости точек внутреннего обода колеса 3 равны скорости груза:
ω₃ r₃  = v₅  . 
Отсюда находим угловую скорость колеса 3 для произвольного момента времени:
ω₃  = v₅ r₃   . 
Здесь подразумевается, что v₅  и ω₃  являются функциями от времени t . Дифференцируя по t , находим угловое ускорение колеса 3:
ε₃  = ^.ω₃  = ^.v₅ r₃  = a₅ r₃   . 
Находим значения угловой скорости и углового ускорения в момент времени t = 2 с. Для этого подставляем найденные значения v₅  и a₅  при t = 2 с:
ω₃  = v₅ r₃  = 612 = 0.5 с^–1;
ε₃  = a₅ r₃  = 1212 = 1 с^–2.

Рассмотрим колесо 2. Его внутренний обод связан нитью с внешним ободом колеса 3. Поэтому скорости точек на этих ободьях равны:
ω₂ r₂  = ω₃ R₃  .  Отсюда
ω₂  = R₃ r₂  ω₃  . 
Дифференцируя по времени, находим угловое ускорение колеса 2 в произвольный момент времени:
ε₂  = ^.ω₂  = R₃ r₂  ^.ω₃  = R₃ r₂  ε₃  . 
Подставляем значения для t = 2 с:
ω₂  = R₃ r₂  ω₃  = 166 ⋅ 0.5 = 1.3333 с^–1;
ε₂  = R₃ r₂  ε₃  = 166 ⋅ 1 = 2.6667 с^–2.

Рассмотрим колесо 1. Его внутренний обод находится в зацеплении с внешним ободом колеса 2. Поэтому скорости точек на этих ободьях равны:
ω₁ r₁  = ω₂ R₂  .  Отсюда
ω₁  = R₂ r₁  ω₂  . 
Дифференцируя по времени, находим угловое ускорение колеса 1 в произвольный момент времени:
ε₁  = ^.ω₁  = R₂ r₁  ^.ω₂  = R₂ r₁  ε₂  . 
Подставляем значения для t = 2 с:
ω₁  = R₂ r₁  ω₂  = 82 ⋅ 1.3333 = 5.3333 с^–1;
ε₁  = R₂ r₁  ε₂  = 82 ⋅ 2.6667 = 10.6667 с^–2.

Итак, мы нашли:
ω₁ = 5.3333 с^–1 , ω₂ = 1.3333 с^–1 , ω₃ = 0.5 с^–1 , ε₁ = 10.6667 с^–2 , ε₂ = 2.6667 с^–2 , ε₃ = 1 с^–2 .

Определение скоростей точек A и C

Точка A лежит на окружности радиуса R₁ с центром в точке O₁, расположенной на оси вращения. Поэтому скорость этой точки направлена по касательной к окружности и по абсолютной величине равна
v_A  = ω₁  ⋅  | O₁ A |  = ω₁ R₁  =  5.3333 ⋅ 4 = 21.33 см/с.

Точка C лежит на окружности радиуса R₃ с центром O₃ на оси вращения. Скорость этой точки:
v_C  = ω₃  ⋅  | O₃ C |  = ω₃ R₃  =  0.5 ⋅ 16 = 8 см/с.

Определение ускорения точки B

Точка B лежит на окружности радиуса R₂ с центром O₂, расположенном на оси вращения. Касательное (или тангенциальное) ускорение этой точки направлено по касательной к окружности в сторону, на которую указывает угловое ускорение (по часовой стрелке). По абсолютной величине оно равно
a^τ_B  = ε₂  ⋅  | O₂ B |  = ε₂ R₂  =  2.6667 ⋅ 8 = 21.333 см/с².

Нормальное ускорение всегда направлено к центру окружности. По абсолютной величине оно равно
aⁿ_B  = ω²₂  ⋅  | O₂ B |  = ω²₂  ⋅ R₂  =  1.3333²  ⋅ 8 = 14.222 см/с².

Полное ускорение равно векторной сумме касательного и нормального ускорений:
^→a_B  = ^→a^τ_B  + ^→aⁿ_B  . 
Поскольку касательное ускорение перпендикулярно нормальному, то для абсолютной величины полного ускорения имеем:
a_B  = √ (a^τ_B )²  + (aⁿ_B )²   =  √ 21.333²  + 14.222²   = 25.64 см/с².

Определение ускорения рейки 4

Рейка 4 движется поступательно по направляющим. Она находится в зацеплении с внешним ободом колеса 1. Поэтому ее скорость равна скорости точек внешнего обода колеса 1:
v₄  = ω₁ R₁  . 
Дифференцирую по времени, получаем ускорение рейки в произвольный момент времени:
a₄  = ^.v₄  = ^.ω₁ R₁  = ε₁ R₁  . 
Подставляем численные значения для момента времени t = 2 с :
a₄  = ε₁ R₁  = 10.6667 ⋅ 4 = 42.67 см/с².

Ответ

v_A  = 21.33 см/с;   v_C  = 8 см/с;   ε₃  = 1 с^–2;   a_B  = 25.64 см/с²;   a₄  = 42.67 см/с².

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 25-10-2019