Кинематика материальной точки

Даны основные формулы кинематики материальной точки, их вывод и изложение теории.

Основные формулы кинематики материальной точки

Приведем основные формулы кинематики материальной точки. После чего дадим их вывод и изложение теории.

Радиус-вектор материальной точки M в прямоугольной системе координат Oxyz :
^→r = OM = (x, y, z ) ≡  x ^→i + y ^→j + z ^→k ,
где ^→i,  ^→j,  ^→k – единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z .

Скорость точки:
^→v = (v_x , v_y , v_z ) = ^.→r = (^.x, ^.y, ^.z ) ; 
 | v |  ≡ v = √ v²_x  + v²_y  + v²_z    ; 
^→v = v_τ  ^→τ ; 
Единичный вектор в направлении касательной к траектории точки:
^→τ = ^→vv_τ  ;   | τ |  = 1 . 
Вектор ^→τ можно выбрать двумя способами во взаимно противоположных направлениях. Обычно его выбирают в направлении увеличения дуговой координаты. Тогда, наряду с модулем скорости  | v |  ,  вводят алгебраическую величину скорости v_τ  = ±  | v |  .  При v_τ  > 0 ,  вектор скорости сонаправлен с ^→τ .  При v_τ  < 0 – имеет противоположное с ^→τ направление.

Ускорение точки:
^→a = (a_x , a_y , a_z ) =  ^.→v = (^.v_x , ^.v_y , ^.v_z ) = (^..x, ^..y, ^..z ) ; 
 | a |  = √ a²_x  + a²_y  + a²_z    ; 
^→a = ^→a_τ  + ^→a_n ;  ^→a_τ  ⊥ ^→a_n  ; 
a²  = a²_τ  + a²_n  ;       | a |  = √ a²_τ  + a²_n    ; 

Тангенциальное (касательное) ускорение:
^→a_τ  = a_τ  ^→τ = (^→a ⋅ ^→τ ) ^→τ =  (^→a ⋅ ^→v )v^{2   →}v = a_x v_x  + a_y v_y  + a_z v_z v^2  →v ; 
a_τ  = (^→a ⋅ ^→τ ) = (^→a ⋅ ^→v )v_τ  =  a_x v_x  + a_y v_y  + a_z v_z v_τ   ; 
a_τ  = dv_τ dt  . 
Здесь, как и для скорости, a_τ  – это алгебраическое касательное ускорение, a_τ  = ±  | ^→a_τ  |  .  Если a_τ  > 0 ,  то вектор касательного ускорения сонаправлен с ^→τ .  При a_τ  < 0 – имеет противоположное с ^→τ направление.

Нормальное ускорение:
^→a_n  = ^→a – ^→a_τ  = [^→τ × [^→a × ^→τ ]] =  [^→v × [^→a × ^→v ]]v²   ; 
^→a_n  = a_n  ^→n = v² ρ  ^→n ; 
a_n  = √ a²  – a²_τ   = v² ρ ≥ 0 .

Единичный вектор, направленный к центру кривизны траектории точки (вдоль главной нормали):
^→n = ^→a_n a_n  ;  ^→n ⊥ ^→τ . 

Радиус кривизны траектории:
ρ = v² a_n  = v² √ a²  – a²_τ     . 

Далее приводится вывод этих формул и изложение теории кинематики материальной точки.

Радиус-вектор и траектория точки

Рассмотрим движение материальной точки M . Выберем неподвижную прямоугольную систему координат Oxyz с центром в некоторой неподвижной точке O . Тогда положение точки M однозначно определяются ее координатами (x, y, z) . Эти координаты являются компонентами радиус-вектора материальной точки.

Радиус-вектор точки M

– это вектор ^→r ,  проведенный из начала неподвижной системы координат O в точку M .
^→r = OM = (x, y, z ) ≡  x ^→i + y ^→j + z ^→k ,
где ^→i,  ^→j,  ^→k – единичные векторы в направлении осей x, y, z .

Траектория материальной точки

– это линия, вдоль которой происходит движение точки.

Скорость материальной точки

Скорость материальной точки

– это производная ее радиус-вектора по времени.

Согласно определению скорости и определению производной:
^→v = ^.→r = lim_{Δt → 0} ^→r(t + Δt ) – ^→r(t )Δt 
Производные по времени, в механике, обозначают точкой над символом. Подставим сюда выражение для радиус-вектора:
^→r(t ) = x(t ) ^→i + y(t ) ^→j + z(t ) ^→k , 
где мы явно обозначили зависимость координат от времени. Получаем:
^→v = ( lim_{Δt → 0} x(t + Δt ) – x(t )Δt  ) ^→i +  ( lim_{Δt → 0} y(t + Δt ) – y(t )Δt  ) ^→j + 
 ( lim_{Δt → 0} z(t + Δt ) – z(t )Δt  ) ^→k =  ^.x ^→i + ^.y ^→j + ^.z ^→k =  v_x  ^→i + v_y   ^→j + v_z  ^→k , 
где
v_x  = lim_{Δt → 0} x(t + Δt ) – x(t )Δt = ^.x , 
v_y  = lim_{Δt → 0} y(t + Δt ) – y(t )Δt = ^.y , 
v_z  = lim_{Δt → 0} z(t + Δt ) – z(t )Δt = ^.z
– проекции скорости на оси координат. Они получаются дифференцированием по времени компонент радиус-вектора
^→r = (x(t ),  y(t ),  z(t )) . 

Таким образом
^→v = (v_x , v_y , v_z ) = ^.→r = (^.x, ^.y, ^.z ) .
Модуль скорости:
 | v |  ≡ v = √ v²_x  + v²_y  + v²_z    .

Касательная к траектории

С математической точки зрения, систему уравнений (1) можно рассматривать как уравнение линии (кривой), заданной параметрическими уравнениями. Время t ,  при таком рассмотрении, играет роль параметра. Из курса математического анализа известно, что направляющий вектор для касательной к этой кривой имеет компоненты:
( dx(t )dt ,  dy(t )dt ,  dz(t )dt  ) . 
Но это есть компоненты вектора скорости точки. То есть скорость материальной точки направлена по касательной к траектории.

Все это можно продемонстрировать непосредственно. Пусть в момент времени t точка находится в положении M с радиус-вектором ^→r (см. рисунок). А в момент времени t₁  – в положении M₁  с радиус-вектором ^→r₁  .  Через точки M и M₁  проведем прямую D₁  .  По определению, касательная – это такая прямая D ,  к которой стремится прямая D₁  при M₁  → M . 
Введем обозначения:
MM₁  = Δ^→r = ^→r₁  – ^→r =  ^→r(t₁ ) – ^→r(t ) ; 
Δt = t₁  – t ; 
^→v₁  = ^→r(t₁ ) – ^→r(t )t₁  – t = Δ^→rΔt  . 
Тогда вектор ^→v₁  направлен вдоль прямой D₁  . 

При стремлении t₁  → t ,  прямая D₁  стремится к касательной D ,  а вектор ^→v₁  – к скорости точки в момент времени t  : 
^→v = lim_{t1  → t} ^→r(t₁ ) – ^→r(t )t₁  – t =  lim_{t1  → t} Δ^→rΔt = lim_{t1  → t} ^→v₁  . 
Поскольку вектор ^→v₁  направлен вдоль прямой D₁  ,  а прямая D₁  → D при t₁  → t ,  то вектор скорости ^→v направлен вдоль касательной D . 
То есть вектор скорости ^→v материальной точки направлен вдоль касательной к траектории.

Введем направляющий вектор касательной единичной длины:
^→τ = ^→v | v |  = ( v_x  | v |  ,  v_y  | v |  ,  v_z  | v |   ) . 
Покажем, что длина этого вектора равна единице. Действительно, поскольку
 | v | ²  = v²_x  + v²_y  + v²_z  ,  то:
 | τ |  = √ τ²_x  + τ²_y  + τ²_z   =  √ v²_x  | v | ²  + v²_y  | v | ²  + v²_z  | v | ²    =  √ v²_x  + v²_y  + v²_z  | v | ²    = 1 . 

Здесь мы направили вектор ^→τ по направлению к вектору скорости, поскольку это более удобно. Но могут возникнуть случаи, когда точка останавливается и движется по той же траектории в обратном направлении. Чтобы не вводить для одной и той же точки траектории два единичных касательных вектора, нужно охватить случай, когда ^→τ направлен противоположно скорости. Для этого вводят алгебраическую величину скорости:
v_τ  = ±  | v |  . 
Если направления векторов ^→v и ^→τ совпадают, то v_τ  > 0;  v_τ  = +  | v |  .  Если они противоположны, то v_τ  < 0;  v_τ  = –  | v |  . 
v_τ  – это проекция скорости на направление единичного вектора ^→τ .  Она равна скалярному произведению этих векторов:
v_τ  = (^→v ⋅ ^→τ ) . 

Абсолютную величину (модуль) вектора скорости мы обозначаем символом с прямыми скобками, или символом без стрелки:
 | ^→v |  ≡  | v |  ≡ v = √ v²_x  + v²_y  + v²_x   ≥ 0 ; 
Алгебраическая величина скорости:
v_τ  = ± v . 

Тогда вектор скорости точки можно представить в следующем виде:
^→v = v_τ  ^→τ;  ^→τ = ^→vv_τ   . 

Ускорение материальной точки

Ускорение материальной точки

– это производная ее скорости по времени.

^→a = ^.→v = lim_{Δt → 0} ^→v(t + Δt ) – ^→v(t )Δt 

Аналогично предыдущему, получаем компоненты ускорения (проекции ускорения на оси координат):
^→a = (a_x , a_y , a_z ) =  ^.→v = (^.v_x , ^.v_y , ^.v_z ) = (^..x, ^..y, ^..z ) ; 
a_x  = ^.v_x  = ^..x ; 
a_y  = ^.v_y  = ^..y ; 
a_z  = ^.v_z  = ^..z . 
Модуль ускорения:
 | ^→a |  ≡  | a |  ≡ a = √ a²_x  + a²_y  + a²_z    .

Тангенциальное (касательное) и нормальное ускорения

Теперь рассмотрим вопрос о направлении вектора ускорения по отношению к траектории. Для этого применим формулу:
^→v = v_τ  ^→τ . 
Дифференцируем ее по времени, применяя правило дифференцирования произведения:
^→a = ^.→v = ^.v_τ  ^→τ + v_τ  ^.→τ . 

Вектор ^→τ направлен по касательной к траектории. В какую сторону направлена его производная по времени ^.→τ ?

Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся тем, что длина вектора ^→τ постоянна и равна единице. Тогда квадрат его длины тоже равен единице:
τ²  ≡ (^→τ ⋅ ^→τ ) = τ²_x  + τ²_y  + τ²_z  = 1 . 
Здесь и далее, два вектора в круглых скобках обозначают их скалярное произведение. Продифференцируем последнее уравнение по времени:
2τ_x ^.τ_x  + 2τ_y ^.τ_y  + 2τ_z ^.τ_z  = 0 ; 
2(^→τ ⋅ ^.→τ ) = 0 ; 
(^→τ ⋅ ^.→τ ) = 0 . 
Поскольку скалярное произведение векторов ^→τ и ^.→τ равно нулю, то эти векторы перпендикулярны друг другу. Так как вектор ^→τ направлен по касательной к траектории, то вектор ^.→τ перпендикулярен к касательной.

Первую компоненту называют тангенциальным или касательным ускорением:
^→a_τ  = ^.v_τ  ^→τ . 
Вторую компоненту называют нормальным ускорением:
^→a_n  = v_τ  ^.→τ . 
Тогда полное ускорение:
(2)   ^→a = ^→a_τ  + ^→a_n  . 
Эта формула представляет собой разложение ускорения на две взаимно перпендикулярные компоненты – касательную к траектории и перпендикулярную к ней.

Поскольку ^→a_τ  ⊥ ^→a_n  ,  то
(3)   a²  = a²_τ  + a²_n ;  a = √ a²_τ  + a²_n    . 

Тангенциальное (касательное) ускорение

Также как и для скорости, введем алгебраическую величину вектора касательного ускорения ^→a_τ   : 
a_τ  = ^.v_τ  . 
Если a_τ  > 0 ,  то вектор касательного ускорения сонаправлен с ^→τ .  Если a_τ  < 0 ,  то эти векторы противоположны. Абсолютную величину касательного ускорения будем обозначать прямыми скобками:  | a_τ  |  .  Тогда
^→a_τ  = a_τ  ^→τ . 

Умножим обе части уравнения (2) скалярно на ^→τ  : 
(^→a ⋅ ^→τ ) = (^→a_τ  ⋅ ^→τ ) + (^→a_n  ⋅ ^→τ ) . 
Поскольку ^→a_n  ⊥ ^→τ ,  то (^→a_n  ⋅ ^→τ ) = 0 .  Тогда
(^→a ⋅ ^→τ ) = (^→a_τ  ⋅ ^→τ ) = (a_τ ^→τ ⋅ ^→τ ) =  a_τ (^→τ ⋅ ^→τ ) = a_τ  ; 
a_τ  = (^→a ⋅ ^→τ ) . 
Здесь мы положили: ^→a_τ  = a_τ  ^→τ . 
Отсюда видно, что алгебраическая величина тангенциального ускорения равна проекции полного ускорения на направление касательной к траектории. Она также равна производной по времени алгебраической величины скорости точки: a_τ  = ^.v_τ  . 

Подставив ^→τ = ^→vv_τ   ,  имеем:
^→a_τ  = a_τ  ^→τ = (^→a ⋅ ^→τ ) ^→τ =  (^→a ⋅ ^→v )v^2  →v = a_x v_x  + a_y v_y  + a_z v_z v^2  →v . 
Здесь мы учли, что v²_τ  = v²  . 

Найдем производную по времени модуля скорости  | v |  = √ v²   = √ v²_x  + v²_y  + v²_z    .  Применяем правила дифференцирования:
dv² dt = d(v²_x  + v²_y  + v²_z )dt =  dv²_x dt + dv²_y dt + dv²_z dt = dv²_x dv_x  ⋅ dv_x dt +  dv²_y dv_y  ⋅ dv_y dt + dv²_z dv_z  ⋅ dv_z dt = 
 2v_x a_x  + 2v_y a_y  + 2v_z a_z  = 2(^→v ⋅ ^→a ) ; 
d | v | dt = d √ v²   dt = d(v² )^1 / 2 d(v² ) ⋅ dv² dt =  12 (v² )^{– 1 / 2}  ⋅ dv² dt =  12 | v |  ⋅ 2(^→v ⋅ ^→a ) = (^→v ⋅ ^→a ) | v |   . 

Итак,
d | v | dt = (^→v ⋅ ^→a ) | v |   . 
Отсюда следует, что если между векторами ускорения и скорости острый угол: (^→v ⋅ ^→a ) > 0 ,  то движение ускоренное. Абсолютное значение скорости возрастает. Если между ними тупой угол: (^→v ⋅ ^→a ) < 0 ,  то движение замедленное. Абсолютное значение скорости убывает.

Выразим ускорение через тангенциальное и нормальное: ^→a = ^→a_τ  + ^→a_n  ,  и учтем, что (^→v ⋅ ^→a_n ) = 0 .  Получим:
d | v | dt = (^→v ⋅ ^→a_τ ) | v |   . 
Тогда предыдущую формулировку можно выразить посредством тангенциального ускорения. Если векторы касательного ускорения и скорости направлены в одну сторону, то движение ускоренное. Если их направления противоположны, то движение замедленное.

Радиус кривизны траектории

Теперь исследуем вектор ^.→τ . 

Рассмотрим вектор ^→τ в два момента времени – в момент времени t и в момент t₁ . Введем обозначения: ^→τ = ^→τ(t );  ^→τ₁  = ^→τ(t₁ ) .  По определению производной:
^.→τ = lim_{t1  → t} ^→τ(t₁ ) – ^→τ(t )t₁  – t  . 
Пусть в момент времени t , точка находится в положении M , а в момент t₁ – в положении M₁ (см. рисунок).

Рассмотрим случай, когда алгебраическая скорость положительна: v_τ  > 0 .  То есть направления векторов ^→v и ^→τ совпадают. Тогда точка M₁ находится справа от M . Через точки M и M₁  проведем плоскости, перпендикулярные векторам ^→τ и ^→τ₁  .  Пересечение этих плоскостей образует прямую. Она проходит через точку C перпендикулярно плоскости рисунка. MC – это перпендикуляр, опущенный из точки M на эту прямую.

При t₁  → t ,  точка M₁  стремится к точке M ,  а длина отрезка CM стремится к радиусу кривизны траектории ρ . Поскольку CM⊥τ и CM₁ ⊥τ₁  ,  то угол Δφ между отрезками CM и CM₁  равен углу между векторами ^→τ и ^→τ₁  .  Отложим их для наглядности из одного центра.

Абсолютное значение производной:
 | ^.→τ |  = | lim_{t1  → t} ^→τ₁  – ^→τt₁  – t  | = lim_{Δt → 0} | Δ^→τ  | | Δt |  =  lim_{Δt → 0}  | ^→τ |  ⋅  | Δφ |  | Δt |  = lim_{Δt → 0} | ΔφΔt  | =  lim_{Δt → 0} | ΔsΔt ⋅ ΔφΔs  | =  | v | ρ  . 
Здесь мы учли, что  | ^→τ |  = 1 . 

Вектор ^.→τ ,  как указывалось выше, перпендикулярен ^→τ .  В данном случае он направлен вдоль единичного вектора главной нормали ^→n ,  направленной к центру кривизны C траектории. Поэтому при v_τ  > 0 имеем:
^.→τ =  | ^.→τ |  ⋅ ^→n = v_τ ρ ⋅ ^→n . 

Теперь рассмотрим случай, когда алгебраическое значение скорости отрицательно: v_τ  < 0 .  В этом случае, вектор скорости противоположен ^→τ .  Получается тот же рисунок, только точка M₁  располагается слева от M . В результате абсолютное значение производной остается прежней:
 | ^.→τ |  =  | v | ρ  . 
Но ее направление меняется на противоположное:
^.→τ = –  | ^.→τ |  ⋅ ^→n = –  | v | ρ ⋅ ^→n . 
Поскольку v_τ  < 0 ,  то формула сохраняет прежний вид и в этом случае:
^.→τ = v_τ ρ ⋅ ^→n . 

Нормальное ускорение

Теперь находим нормальное ускорение:
^→a_n  = v_τ  ^.→τ = v_τ  ⋅ v_τ ρ ⋅ ^→n =  v²_τ ρ ⋅ ^→n = v² ρ ⋅ ^→n . 
Перепишем результат в следующем виде:
^→a_n  = a_n  ^→n , 
где a_n  = v² ρ  ;    ^→n – единичный вектор в направлении главной нормали траектории – то есть вектор, направленный к мгновенному центру кривизны перпендикулярно касательной к траектории. Поскольку a_n  = v² ρ ≥ 0 ,  то a_n  также является модулем нормального ускорения. Для него не нужно вводить алгебраическое значение, как мы это делали для скорости и касательного ускорения.
Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории.

Из формулы (2) имеем:
(4)   ^→a_n  = ^→a – ^→a_τ  . 
Из формулы (3) находим модуль нормального ускорения:
 | a_n  |  = a_n  = √ a²  – a²_τ    . 

Умножим обе части уравнения (2) скалярно на ^→n  : 
(2)   ^→a = ^→a_τ  + ^→a_n  . 
(^→a ⋅ ^→n ) = (^→a_τ  ⋅ ^→n ) + (^→a_n  ⋅ ^→n ) . 
Поскольку ^→a_τ  ⊥ ^→n ,  то (^→a_τ  ⋅ ^→n ) = 0 .  Тогда
(^→a ⋅ ^→n ) = (^→a_n  ⋅ ^→n ) = (a_n ^→n ⋅ ^→n ) =  a_n (^→n ⋅ ^→n ) = a_n  ; 
a_n  = (^→a ⋅ ^→n ) . 
Отсюда видно, что модуль нормального ускорения равен проекции полного ускорения на направление главной нормали.

Выпишем еще раз следующую формулу:
^→a_n  = v_τ  ^.→τ = v² ρ ^→n . 
Отсюда видно, что нормальное ускорение вызывает изменение направления скорости точки, и оно связано с радиусом кривизны траектории.

Радиус кривизны траектории:
ρ = v² a_n  = v² √ a²  – a²_τ     . 

И в заключении заметим, что формулу (4) можно переписать в следующем виде:
^→a_n  = ^→a – ^→a_τ  =  ^→a (^→τ ⋅ ^→τ ) – ^→τ (^→τ ⋅ ^→a ) =  [^→τ × [^→a × ^→τ ]] = [^→v × [^→a × ^→v ]]v²   . 
Здесь мы применили формулу для векторного произведения трех векторов:
[^→A × [^→B × ^→C ]] =  ^→B (^→A ⋅ ^→C ) – ^→C (^→A ⋅ ^→B ) , 
в которую подставили
^→A = ^→τ,  ^→B = ^→a,  ^→C = ^→τ . 

Итак, мы получили:
^→a_n  = [^→v × [^→a × ^→v ]]v²   ; 
v² ρ ^→n = [^→v × [^→a × ^→v ]]v²   . 
Приравняем модули левой и правой частей:
v² ρ = |[^→v × [^→a × ^→v ]]|v²   . 
Но векторы ^→v и [^→a × ^→v ] взаимно перпендикулярны. Поэтому
|[^→v × [^→a × ^→v ]]| =  | v |  ⋅ |[^→a × ^→v ]| . 
Тогда
1ρ = 1 | v | ³  |[^→a × ^→v ]| . 
Это известная формула из дифференциальной геометрии для кривизны кривой.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 09-02-2016   Изменено: 27-01-2020