Оси естественного трехгранника Френе

Определение естественного трехгранника Френе. Проекции скорости и ускорения точки на его оси. Пример определения ортов естественного трехгранника.

Введение

На странице “Кинематика материальной точки” мы установили, что вектор скорости движения точки направлен по касательной к траектории. Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и его можно разложить на две составляющие. Одна составляющая направлена по касательной к траектории. Вторая составляющая направлена перпендикулярно касательной, в сторону мгновенного центра кривизны траектории.

В некоторых случаях удобно ввести систему координат, связанную с текущим положением точки. Рассмотрим точку M в определенный момент времени. Считаем, что нам известна траектория ее движения. Проведем через точку M три прямых – касательную к траектории, главную нормаль и бинормаль. Главная нормаль перпендикулярна касательной и направлена в сторону мгновенного центра кривизны траектории. Бинормаль перпендикулярна касательной и главной нормали. Выберем систему координат с началом в точке M и осями, направленными вдоль этих прямых. Такую систему координат называют естественным трехгранником Френе. Оси этой системы координат называются осями естественного трехгранника.

Орты естественного трехгранника

Пусть ^→τ ,  ^→n и ^→b – единичные векторы, направленные вдоль касательной, главной нормали и бинормали к траектории, соответственно. Эти векторы являются ортами выбранной нами системы координат или ортами естественного трехгранника. Рассмотрим вопрос о выборе направления этих векторов.

Единичный вектор ^→τ направлен вдоль касательной к траектории. Поэтому можно выбрать два взаимно противоположных направления. Самый удобный способ – это направить ^→τ вдоль вектора скорости ^→v точки. Тогда
^→τ = ^→v | v |   . 
Однако, это не всегда можно сделать. Встречаются случаи, когда траектория движения заранее известна, а скорость – нет. Например, при движении точки по желобу внутри твердого тела под действием внешних сил. В таких случаях направление вектора ^→τ выбирают заранее. Например, в сторону возрастания дуговой координаты.

Направление единичного вектора ^→n главной нормали определено однозначно. Он направлен перпендикулярно ^→τ ,  в сторону мгновенного центра кривизны траектории.

Единичный вектор бинормали ^→b направлен перпендикулярно векторам ^→τ и ^→n так, чтобы три вектора ^→τ ,  ^→n и ^→b образовали правостороннюю систему координат:
^→b = [^→τ × ^→n ] . 

Скорость и ускорение точки в трехграннике Френе

Применим формулы, которые мы вывели на странице “Кинематика материальной точки”.

^→v = v_τ ^→τ ; 
^→a = a_τ  ^→τ + a_n  ^→n . 

То есть, в естественном трехграннике с ортами (^→τ,  ^→n,  ^→b ) ,  скорость имеет одну компоненту:
^→v = (v_τ ,  0,  0 ) . 
Проекции вектора скорости ^→v на оси ^→n и ^→b трехгранника равны нулю. Проекцию скорости ^→v на направление единичного вектора касательной к траектории ^→τ  :  v_τ  = (^→v ⋅ ^→τ ) ,  иногда называют алгебраической величиной скорости. Она отличается от модуля скорости  | v |  только тем, что может иметь отрицательное значение: v_τ  = ±  | v |  .  При v_τ  > 0 ,  скорость направлена вдоль вектора ^→τ .  При v_τ  < 0 – в противоположную сторону.

Здесь и далее модуль скорости мы обозначаем либо символом с прямыми скобками  | ^→v |  ,   | v |  ,  либо просто символом без стрелки v  : 
 | ^→v |  ≡  | v |  ≡ v . 

Ускорение имеет две компоненты:
^→a = (a_τ ,  a_n ,  0 ) , 
Через них выражается касательное ^→a_τ  и нормальное ^→a_n  ускорения:
^→a_τ  = a_τ  ^→τ;  ^→a_n  = a_n  ^→n . 
Они являются проекциями вектора ускорения ^→a на оси ^→τ и ^→n естественного трехгранника:
a_τ  = (^→a ⋅ ^→τ );  a_n  = (^→a ⋅ ^→n ) . 
Их можно выразить через компоненту скорости v_τ  и радиус кривизны траектории ρ  : 
a_τ  = dv_τ dt ;  a_n  = v² ρ  . 
Компонента a_τ  может быть как положительной (вектор ^→a_τ  сонаправлен с ^→τ), так и отрицательной (вектор ^→a_τ  противоположен ^→τ): a_τ  = ±  | a_τ  |  .  Компонента a_n  всегда положительна либо равна нулю: a_n  =  | a_n  |  . 

Проекция вектора ускорения ^→a на ось ^→b равна нулю:
(^→a ⋅ ^→b ) = 0 . 

Как определить оси естественного трехгранника

Далее мы считаем, что у нас есть неподвижная система координат Oxyz .  Материальная точка совершает движение. Требуется найти оси естественного трехгранника. То есть определить проекции ортов ^→τ ,  ^→n и ^→b в системе координат Oxyz . 

Для координатного и векторного способов задания движения

Для координатного и векторного способов задания движения точки, формулы для определения ортов (^→τ,  ^→n,  ^→b ) представлены на странице “Кинематика материальной точки”. На странице “Координатный способ задания движения точки” разобран пример вычисления компонентов векторов (^→τ,  ^→n,  ^→b ) . 

То есть, чтобы определить орты естественного трехгранника, нужно найти компоненты векторов скорости ^→v и нормального ускорения ^→a_n  ,  применяя следующие формулы:
^→v = ^.→r ; 
^→a = ^.→v ; 
^→a_τ  = (^→a ⋅ ^→τ ) ^→τ ; 
^→a_n  = ^→a – ^→a_τ  . 

Далее определяем орты естественного трехгранника:
^→τ = ^→vv  ; 
^→n = ^→a_n a_n   ; 
^→b = [^→τ × ^→n ] . 

Для естественного способа задания движения

При естественном способе задания движения точки нам известна траектория ее движения. Поэтому перед нами стоит задача – по известной траектории, определить орты естественного трехгранника. Если траектория представляет собой простую геометрическую фигуру, например окружность, то определить векторы ^→τ ,  ^→n и ^→b можно геометрически.

В общем, и более сложном случае, нужно представить уравнение траектории в параметрическом виде. Для этого вводим параметр t .  Это можно сделать многими способами. Поэтому желательно выбрать наиболее удобное представление.

Далее считаем, что эти параметрические уравнения описывают движение материальной точки, в котором параметр t играет роль времени. Тогда, для определения осей трехгранника, можно применить формулы, применяемые для векторного и координатного способов задания движения. Вычисленные, таким образом, скорость и ускорение будут зависеть от выбранного параметрического представления. Но геометрические характеристики траектории, такие как орты ^→τ ,  ^→n ,  ^→b и радиус кривизны траектории не зависят от выбранного параметрического представления.

Итак, чтобы найти орты естественного трехгранника по заданной траектории движения, нужно представить уравнение траектории в параметрическом виде и применить формулы, применяемые при координатном способе задания движения.

Пример определения ортов естественного трехгранника

Найти единичные векторы в направлении осей естественного трехгранника, а также радиус кривизны траектории, для цилиндрической винтовой линии с радиусом основания R и шагом h . 

Решение

Считаем, что уравнения (1) описывают движение точки по винтовой линии. Определяем кинематические величины для такого движения.

Дифференцируя уравнения (1) по t ,  находим компоненты вектора скорости:
v_x  = ^.x = – R sin t ; 
v_y  = ^.y = R cos t ; 
v_z  = ^.z = H . 

Квадрат скорости:
v²  ≡ (^→v ⋅ ^→v ) = v²_x  + v²_y  + v²_z  =  R² sin² t + R² cos² t + H²  =  R²  + H²  . 
Модуль скорости:
v = √ v²   = √ R²  + H²    . 

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
^→τ = ^→vv = 1v (v_x ,  v_y ,  v_z ) =  1√ R²  + H²    (– R sin t,  R cos t,  H ) . 
Мы выбрали направление вектора ^→τ ,  совпадающим с направлением скорости. Поэтому
v_τ  = v = √ R²  + H²    . 

Дифференцируя компоненты вектора скорости по t ,  находим компоненты вектора ускорения:
a_x  = ^.v_x  = – R cos t ; 
a_y  = ^.v_y  = – R sin t ; 
a_z  = ^.v_z  = 0 . 

Проекция ускорения на направление вектора ^→τ  : 
a_τ  = (^→a ⋅ ^→τ ) = a_x τ_x  + a_y τ_y  + a_z τ_z  = 
 1√ R²  + H²    (R² cos t sin t –  R² sin t cos t + 0 ) = 0 . 
Этот результат можно получить и более простым способом. Для этого учтем, что модуль скорости v и, следовательно v_τ  = v ,  не зависит от t .  Тогда:
a_τ  = dv_τ dt = 0 . 
Вектор касательного ускорения:
^→a_τ  = a_τ ^→τ = a_τ (τ_x ,  τ_y ,  τ_z ) =  (0,  0,  0 ) . 

Вектор нормального ускорения:
^→a_n  = ^→a – ^→a_τ  =  (a_x  – a_τx ,  a_y  – a_τy ,  a_z  – a_τz ) =  (a_x  – 0,  a_y  – 0,  a_z  – 0 ) = 
 (a_x ,  a_y ,  a_z ) =  (– R cos t,   – R sin t,  0 ) . 

Квадрат вектора нормального ускорения:
a²_n  ≡ (^→a_n  ⋅ ^→a_n ) =  a²_nx  + a²_ny  + a²_nz  =  R² cos² t + R² sin² t + 0²  = R²  . 
Модуль вектора нормального ускорения:
a_n  = √ a²_n   = √ R²   = R . 

Радиус кривизны траектории:
ρ = v² a_n  = 1R ( R²  + H²  ) . 

Единичный вектор в направлении главной нормали траектории:
^→n = ^→a_n a_n  = 1a_n  (a_nx ,  a_ny ,  a_nz ) =  1R (– R cos t,   – R sin t,  0 ) =  (– cos t,   – sin t,  0 ) . 

Единичный вектор в направлении бинормали:
^→b = [^→τ × ^→n ] = (τ_y n_z  – τ_z n_y ,   τ_z n_x  – τ_x n_z ,  τ_x n_y  – τ_y n_x ) = 
 1√ R²  + H²    (0 + H sin t,   – H cos t – 0,   R sin t sin t + R cos t cos t ) = 
 1√ R²  + H²    (H sin t,   – H cos t,  R ) . 

Ответ

^→τ = 1√ R²  + H²    (– R sin t,   R cos t,  H ) ; 
^→n = (– cos t,   – sin t,  0 ) ; 
^→b = 1√ R²  + H²    (H sin t,   – H cos t,  R ) ; 
ρ = 1R ( R²  + H²  ) , 
где H = h2π  . 

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 14-03-2016   Изменено: 27-01-2020