Естественный способ задания движения точки

Естественный способ задания движения точки – определение и основные формулы. Пример решения задачи.

Введение

Естественный способ задания движения материальной точки применяется в тех случаях, когда траектория заранее известна. Например, точка движется внутри желоба в твердом теле. В этом случае мы, произвольным образом, выбираем на траектории некоторую неподвижную точку O ,  которую принимаем за начало отсчета. Далее мы произвольным образом выбираем положительное направление. Рассмотрим подвижную точку M .  Пусть  | s |  – расстояние от начала отсчета O до M ,  измеренное вдоль дуги траектории. Введем криволинейную координату s следующим образом. Если точка M находится в положительном направлении относительно начала отсчета O ,  то s =  | s |  .  Если в отрицательном, то s = –  | s |  .  Тогда криволинейная координата s однозначно определяет положение точки на траектории. При движении, координата s изменяется со временем t  : 
s = s(t ) . 

Таким образом, при естественном способе задания движения материальной точки, мы задаем следующие данные:
1) траекторию точки;
2) начало отсчета O с указанием положительного и отрицательного направления отсчета;
3) криволинейную координату, как функцию от времени: s = s(t ) . 

Определение кинематических величин

Вначале мы должны определить геометрические характеристики траектории – касательную, главную нормаль и радиус кривизны.

По заданной траектории, для любого положения точки, мы можем определить единичный вектор ^→τ ,  направленный по касательной к траектории; единичный вектор ^→n ,  направленный вдоль главной нормали (к центру кривизны) и радиус ρ кривизны траектории. Поскольку вектор ^→τ можно направить по касательной двумя взаимно противоположными способами, то мы направим вектор ^→τ вдоль направления, которое мы приняли за положительное. Вектор ^→n можно направить только одним способом – к центру кривизны траектории. Векторы ^→τ и ^→n представляют собой два орта естественного трехгранника. В простых случаях, найти векторы ^→τ ,  ^→n и радиус кривизны можно геометрическим способом (см. пример решения задачи ниже). Как найти эти величины в более сложных случаях, указано на странице “Оси естественного трехгранника”. Там же приводится пример определения векторов ^→τ ,  ^→n и радиуса кривизны траектории для винтовой линии.

После того, как мы определили орты естественного трехгранника ^→τ ,  ^→n и радиус кривизны траектории ρ ,  мы можем найти векторы скорости ^→v и ускорения ^→a точки M .  Выводы представленных ниже формул даны на странице “Кинематика материальной точки”.

Дифференцируя s по t ,  находим проекцию скорости v_τ  на вектор ^→τ  : 
v_τ  = ^.s . 
Модуль скорости:
v =  | v_τ  |  . 
Вектор скорости:
^→v = v_τ ^→τ . 
Скорость, как и следовало, направлена по касательной к траектории. Если скорость направлена в положительном направлении, то
v_τ  = ^.s > 0 . 
Если скорость направлена в отрицательном направлении, то
v_τ  = ^.s < 0 . 

Дифференцируя v_τ  по t ,  находим тангенциальное ускорение (проекцию ускорения на вектор ^→τ):
a_τ  = ^.v_τ  = ^..s . 
Вектор тангенциального ускорения:
^→a_τ  = a_τ ^→τ . 
Нормальное ускорение:
a_n  = v² ρ  . 
Вектор нормального ускорения:
^→a_n  = a_n ^→n . 
Вектор полного ускорения:
^→a = ^→a_τ  + ^→a_n  . 
Модуль полного ускорения:
a = √ a²_τ  + a²_n   = √ ^..s²  + ^.s⁴ ρ²     . 

Пример решения задачи

Точка движется по дуге окружности радиуса R = 2 м по закону
s =  f (t ) = – 2 cos ( π6 t  )
(s – в метрах, t – в секундах), где s = AM – расстояние от A до M ,  измеренное вдоль дуги окружности. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t₁  = 1с .  Изобразить на рисунке векторы ^→v и ^→a ,  считая, что точка в этот момент находится в положении M ,  а положительное направление отсчета s – от A к B . 

Решение

Определим положение точки в момент времени t = t₁  = 1с . 
s(t₁ ) = – 2 cos ( π6 ⋅ 1  ) = – √ 3   . 
Пусть C – центр окружности. Угол α между векторами CA и CM  : 
α =  | s | R = √ 3  2 = 0, 866 рад=  0, 866 ⋅ 180^○ π = 49, 62^○  . 
По условию, положительное направление – от A к B ,  то есть слева направо. Поскольку s(t₁ ) < 0 ,  то точка M расположена слева от точки A . 

Дифференцируя s по t ,  находим проекцию скорости на направление касательной к траектории:
v_τ  = ^.s = – 2( cos ( π6 t  ) )^′ =  2 sin ( π6 t  ) ⋅ ( π6 t  )^′ =  2 sin ( π6 t  ) ⋅ π6 = π3 sin ( π6 t  ) . 
В момент времени t = t₁  = 1 с  : 
v_τ  = π3 sin ( π6 ⋅ 1  ) =  π6 = 0, 5236  мc  . 
Поскольку v_τ  = ^.s > 0 ,  то вектор скорости ^→v направлен по касательной к траектории в сторону возрастания s .  Абсолютное значение (модуль) скорости:
v =  | v_τ  |  = 0, 5236  мc  . 

Дифференцируя v_τ  по t ,  находим касательное ускорение точки:
a_τ  = ^.v_τ  = π3 ( sin ( π6 t  ) )^′ =  π3 cos ( π6 t  ) ⋅ ( π6 t  )^′ =  π3 cos ( π6 t  ) ⋅ π6 = 
 π² 18 cos ( π6 t  ) . 
В момент времени t = t₁  = 1 с  : 
a_τ  = π² 18 cos ( π6 ⋅ 1  ) = 0, 4749  мс²   . 
Поскольку a_τ  = ^..s > 0 ,  то вектор касательного ускорения ^→a_τ  направлен по касательной к траектории в сторону возрастания s . 

Нормальное ускорение:
a_n  = v² R = 0, 5236² 2 = 0, 1371  мс²   . 
Вектор ^→a_n  направлен к центру окружности.

Полное ускорение:
a = √ a²_τ  + a²_n   =  √ 0, 4749²  + 0, 1371²   = 0, 4942  мс²   . 

Ответ

v = 0, 524  мс  ; 
a = 0, 494  мс²   . 

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 09-04-2016