Сложное движение точки. Пример решения задачи

Рассмотрен пример решения задачи со сложным движением точки. Точка движется по прямой вдоль пластины. Пластина вращается вокруг неподвижной оси. Определяется абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки.

Теория, применяемая для решения приведенной ниже задачи, излагается на странице “Сложное движение точки, теорема Кориолиса”.

Условие задачи

Прямоугольная пластина вращается вокруг неподвижной оси по закону   φ = 6t ² – 3t ³ . Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунках дуговой стрелкой. Ось вращения OO ₁ лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой BD движется точка M . Задан закон ее относительного движения, т. е. зависимость   s = AM = 40(t – 2t ³) – 40   (s - в сантиметрах, t - в секундах). Расстояние b = 20 см. На рисунке точка M показана в положении, при котором   s = AM > 0 (при   s < 0 точка M находится по другую сторону от точки A).

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M в момент времени   t ₁ = 1 с.

Указания. Эта задача – на сложное движение точки. Для ее решения необходимо воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений (теорема Кориолиса). Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка M на пластине в момент времени   t ₁ = 1 с, и изобразить точку именно в этом положении (а не в произвольном, показанном на рисунке к задаче).

Решение задачи

Дано: b = 20 см, φ = 6t ² – 3t³, s = |AM| = 40(t – 2t³) – 40, t₁ = 1 c.

Определение положения точки

Определяем положение точки в момент времени t = t₁ = 1 c.
s = 40(t₁ – 2t₁³) – 40 = 40(1 – 2·1³) – 40 = –80 см.
Поскольку s < 0, то точка M ближе к точке B, чем к D.
|AM| = |–80| = 80 см.
Делаем рисунок.

Определение абсолютной скорости точки

Согласно теореме о сложении скоростей, абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.

Определение относительной скорости точки

Определяем относительную скорость   . Для этого считаем, что пластина неподвижна, а точка M совершает заданное движение. То есть точка M движется по прямой BD. Дифференцируя s по времени t, находим проекцию скорости на направление BD:
.
В момент времени t = t₁ = 1 с,
см/с.
Поскольку   , то вектор     направлен в направлении, противоположном BD. То есть от точки M к точке B. Модуль относительной скорости
v_от = 200 см/с.
Изображаем вектор     на рисунке.

Определение переносной скорости точки

Определяем переносную скорость   . Для этого считаем, что точка M жестко связана с пластиной, а пластина совершает заданное движение. То есть пластина вращается вокруг оси OO₁. Дифференцируя φ по времени t, находим угловую скорость вращения пластины:
.
В момент времени t = t₁ = 1 с,
.
Поскольку   , то вектор угловой скорости     направлен в сторону положительного угла поворота φ, то есть от точки O к точке O₁. Модуль угловой скорости:
ω = 3 с^-1.
Изображаем вектор угловой скорости пластины     на рисунке.

Из точки M опустим перпендикуляр HM на ось OO₁.
При переносном движении точка M движется по окружности радиуса |HM| с центром в точке H.
|HM| = |HK| + |KM| = 3b + |AM| sin 30° = 60 + 80·0,5 = 100 см;
Переносная скорость:
v_пер = ω|HM| = 3·100 = 300 см/с.

Вектор     направлен по касательной к окружности в сторону вращения.

Определение абсолютной скорости точки

Определяем абсолютную скорость   . Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.
Проводим оси неподвижной системы координат Oxyz . Ось z направим вдоль оси вращения пластины. Пусть в рассматриваемый момент времени ось x перпендикулярна пластине, ось y лежит в плоскости пластины. Тогда вектор относительной скорости     лежит в плоскости yz . Вектор переносной скорости     направлен противоположно оси x . Поскольку вектор     перпендикулярен вектору   , то по теореме Пифагора, модуль абсолютной скорости:
.

Определение абсолютного ускорения точки

Согласно теореме о сложении ускорений (теорема Кориолиса), абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
,
где
– кориолисово ускорение.

Определение относительного ускорения

Определяем относительное ускорение   . Для этого считаем, что пластина неподвижна, а точка M совершает заданное движение. То есть точка M движется по прямой BD. Дважды дифференцируя s по времени t, находим проекцию ускорения на направление BD:
.
В момент времени t = t₁ = 1 с,
см/с².
Поскольку   , то вектор     направлен в направлении, противоположном BD. То есть от точки M к точке B. Модуль относительного ускорения
a_от = 480 см/с².
Изображаем вектор     на рисунке.

Определение переносного ускорения

Определяем переносное ускорение   . При переносном движении точка M жестко связана с пластиной, то есть движется по окружности радиуса |HM| с центром в точке H. Разложим переносное ускорение на касательное к окружности     и нормальное     ускорения:
.
Дважды дифференцируя φ по времени t, находим проекцию углового ускорения пластины на ось OO₁:
.
В момент времени t = t₁ = 1 с,
с ^–2.
Поскольку   , то вектор углового ускорения     направлен в сторону, противоположную положительного угла поворота φ, то есть от точки O₁ к точке O. Модуль углового ускорения:
ε = 6 с^-2.
Изображаем вектор углового ускорения пластины     на рисунке.

Переносное касательное ускорение:
a^τ_пер = ε |HM| = 6·100 = 600 см/с².
Вектор     направлен по касательной к окружности. Поскольку вектор углового ускорения     направлен в сторону, противоположную положительного угла поворота φ, то     направлен в сторону, противоположную положительному направлению поворота φ . То есть направлен в сторону оси x .

Переносное нормальное ускорение:
aⁿ_пер = ω² |HM| = 3²·100 = 900 см/с².
Вектор     направлен к центру окружности. То есть в сторону, противоположную оси y .

Определение кориолисова ускорения

Кориолисово (поворотное) ускорение:
.
Вектор угловой скорости     направлен вдоль оси z . Вектор относительной скорости     направлен вдоль прямой |DB|. Угол между этими векторами равен 150° . По свойству векторного произведения,
.
Направление вектора     определяется по правилу буравчика. Если ручку буравчика повернуть из положения     в положение   , то винт буравчика переместится в направлении, противоположном оси x .

Определение абсолютного ускорения

Абсолютное ускорение:
.
Спроектируем это векторное уравнение на оси xyz системы координат.

;

;

.
Модуль абсолютного ускорения:

.

Ответ

Абсолютная скорость   ;
абсолютное ускорение   .

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 10-01-2016