Сложное движение точки. Пример решения задачи

Рассмотрен пример решения задачи со сложным движением точки. Точка движется по прямой вдоль пластины. Пластина вращается вокруг неподвижной оси. Определяется абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки.

Теория, применяемая для решения приведенной ниже задачи, излагается на странице “Сложное движение точки, теорема Кориолиса”.

Условие задачи

Прямоугольная пластина вращается вокруг неподвижной оси по закону   φ = 6t ² – 3t ³ . Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунках дуговой стрелкой. Ось вращения OO ₁ лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой BD движется точка M . Задан закон ее относительного движения, т. е. зависимость   s = AM = 40(t – 2t ³) – 40   (s - в сантиметрах, t - в секундах). Расстояние b = 20 см . На рисунке точка M показана в положении, при котором   s = AM > 0 (при   s < 0 точка M находится по другую сторону от точки A).

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M в момент времени   t ₁ = 1 с .

Указания. Эта задача – на сложное движение точки. Для ее решения необходимо воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений (теорема Кориолиса). Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка M на пластине в момент времени   t ₁ = 1 с , и изобразить точку именно в этом положении (а не в произвольном, показанном на рисунке к задаче).

Решение задачи

Дано: b = 20 см , φ = 6t ² – 3t³ , s = |AM| = 40(t – 2t³) – 40 , t₁ = 1 c .

Определение положения точки

Определяем положение точки в момент времени t = t₁ = 1 c .
s = 40(t₁ – 2t₁³) – 40 = 40(1 – 2·1³) – 40 = –80 см.
Поскольку s < 0 , то точка M ближе к точке B, чем к D.
|AM| = |–80| = 80 см.
Делаем рисунок.

Определение абсолютной скорости точки

Согласно теореме о сложении скоростей, абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
^→v_абс  = ^→v_от  + ^→v_пер  . 

Определение относительной скорости точки

Определяем относительную скорость   ^→v_от  . Для этого считаем, что пластина неподвижна, а точка M совершает заданное движение. То есть точка M движется по прямой BD . Дифференцируя s по времени t , находим проекцию скорости на направление BD :
^.s = 40(t – 2t³ )^′ =  40(1 – 2 ⋅ 3t² ) = 40(1 – 6t² ) .
В момент времени t = t₁ = 1 с ,
^.s = 40(1 – 6t²₁ ) =  40(1 – 6 ⋅ 1² ) = – 200 см/с.
Поскольку   ^.s < 0 , то вектор   ^→v_от    направлен в направлении, противоположном BD . То есть от точки M к точке B . Модуль относительной скорости
v_от = 200 см/с .
Изображаем вектор   ^→v_от    на рисунке.

Определение переносной скорости точки

Определяем переносную скорость   ^→v_пер  . Для этого считаем, что точка M жестко связана с пластиной, а пластина совершает заданное движение. То есть пластина вращается вокруг оси OO₁. Дифференцируя φ по времени t , находим угловую скорость вращения пластины:
^.φ = (6t²  – 3t³ )^′ =  6 ⋅ 2t – 3 ⋅ 3t²  = 12t – 9t²  .
В момент времени t = t₁ = 1 с ,
^.φ = 12t₁  – 9t²₁  =  12 ⋅ 1 – 9 ⋅ 1²  = 3 с^– 1  . 
Поскольку   ^.φ > 0 , то вектор угловой скорости   ^→ω   направлен в сторону положительного угла поворота φ , то есть от точки O к точке O₁. Модуль угловой скорости:
ω = 3 с^-1 .
Изображаем вектор угловой скорости пластины   ^→ω   на рисунке.

Из точки M опустим перпендикуляр HM на ось OO₁.
При переносном движении точка M движется по окружности радиуса |HM| с центром в точке H .
|HM| = |HK| + |KM| = 3b + |AM| sin 30° = 60 + 80·0,5 = 100 см ;
Переносная скорость:
v_пер = ω|HM| = 3·100 = 300 см/с .

Вектор   ^→v_пер    направлен по касательной к окружности в сторону вращения.

Определение абсолютной скорости точки

Определяем абсолютную скорость   ^→v_абс  . Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
^→v_абс  = ^→v_от  + ^→v_пер  . 
Проводим оси неподвижной системы координат Oxyz . Ось z направим вдоль оси вращения пластины. Пусть в рассматриваемый момент времени ось x перпендикулярна пластине, ось y лежит в плоскости пластины. Тогда вектор относительной скорости   ^→v_от    лежит в плоскости yz . Вектор переносной скорости   ^→v_пер    направлен противоположно оси x . Поскольку вектор   ^→v_от    перпендикулярен вектору   ^→v_пер  , то по теореме Пифагора, модуль абсолютной скорости:
v_абс  = √ v²_от  + v²_пер   =  √ 200²  + 300²   = 360, 6 смс  .

Определение абсолютного ускорения точки

Согласно теореме о сложении ускорений (теорема Кориолиса), абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
^→a_абс  = ^→a_от  + ^→a_пер  + ^→a_кор  , 
где
^→a_кор  = 2[^→ω × ^→v_от ] – кориолисово ускорение.

Определение относительного ускорения

Определяем относительное ускорение   ^→a_от  . Для этого считаем, что пластина неподвижна, а точка M совершает заданное движение. То есть точка M движется по прямой BD . Дважды дифференцируя s по времени t , находим проекцию ускорения на направление BD :
^..s = (^.s )^′ = 40(1 – 6t² )^′ =  – 40 ⋅ 6 ⋅ 2t = – 480t .
В момент времени t = t₁ = 1 с ,
^..s = – 480t₁  = – 480 ⋅ 1 = – 480 см/с².
Поскольку   ^..s < 0 , то вектор   ^→a_от    направлен в направлении, противоположном BD . То есть от точки M к точке B . Модуль относительного ускорения
a_от = 480 см/с² .
Изображаем вектор   ^→a_от    на рисунке.

Определение переносного ускорения

Определяем переносное ускорение   ^→a_пер  . При переносном движении точка M жестко связана с пластиной, то есть движется по окружности радиуса |HM| с центром в точке H . Разложим переносное ускорение на касательное к окружности   ^→a^τ_пер    и нормальное   ^→aⁿ_пер    ускорения:
^→a_пер  = ^→a^τ_пер  + ^→aⁿ_пер  .
Дважды дифференцируя φ по времени t , находим проекцию углового ускорения пластины на ось OO₁ :
^..φ = (12t – 9t² )^′ =  12 – 9 ⋅ 2 ⋅ t = 12 – 18t .
В момент времени t = t₁ = 1 с ,
^..φ = 12 – 18t₁  = 12 – 18 ⋅ 1 = – 6 с ^–2.
Поскольку   ^.φ < 0 , то вектор углового ускорения   ^→ε   направлен в сторону, противоположную положительного угла поворота φ , то есть от точки O₁ к точке O. Модуль углового ускорения:
ε = 6 с^-2 .
Изображаем вектор углового ускорения пластины   ^→ε   на рисунке.

Переносное касательное ускорение:
a^τ_пер = ε |HM| = 6·100 = 600 см/с² .
Вектор   ^→a^τ_пер    направлен по касательной к окружности. Поскольку вектор углового ускорения   ^→ε   направлен в сторону, противоположную положительного угла поворота φ , то   ^→a^τ_пер    направлен в сторону, противоположную положительному направлению поворота φ . То есть направлен в сторону оси x .

Переносное нормальное ускорение:
aⁿ_пер = ω² |HM| = 3²·100 = 900 см/с² .
Вектор   ^→aⁿ_пер    направлен к центру окружности. То есть в сторону, противоположную оси y .

Определение кориолисова ускорения

Кориолисово (поворотное) ускорение:
^→a_кор  = 2[^→ω × ^→v_от ] .
Вектор угловой скорости   ^→ω   направлен вдоль оси z . Вектор относительной скорости   ^→v_от    направлен вдоль прямой |DB| . Угол между этими векторами равен 150° . По свойству векторного произведения,
a_кор  = 2 ω v_от sin 150^○  =  2 ⋅ 3 ⋅ 200 ⋅ 0, 5 = 600, 0 смс²   .
Направление вектора   ^→a_кор    определяется по правилу буравчика. Если ручку буравчика повернуть из положения   ^→ω   в положение   ^→v_от  , то винт буравчика переместится в направлении, противоположном оси x .

Определение абсолютного ускорения

Абсолютное ускорение:
^→a_абс  = ^→a_от  + ^→a_пер  + ^→a_кор  =  ^→a_от  + ^→a^τ_пер  + ^→aⁿ_пер  + ^→a_кор  .
Спроектируем это векторное уравнение на оси xyz системы координат.
( ^→a_абс  )_x  = ( ^→a_от  )_x  + ( ^→a^τ_пер  )_x  +  ( ^→aⁿ_пер  )_x  + ( ^→a_кор  )_x  = 
 0 +  | a^τ_пер  |  + 0 –  | a_кор  |  =  600 – 600 = 0 ;
( ^→a_абс  )_y  = ( ^→a_от  )_y  + ( ^→a^τ_пер  )_y  +  ( ^→aⁿ_пер  )_y  + ( ^→a_кор  )_y  = 
  | a_отн  |  ⋅ sin 30^○  + 0 –  | aⁿ_пер  |  + 0 =  480 ⋅ 0, 5 – 900 = – 660 смс²   ;
( ^→a_абс  )_z  = ( ^→a_от  )_z  + ( ^→a^τ_пер  )_z  +  ( ^→aⁿ_пер  )_z  + ( ^→a_кор  )_z  = 
 –  | a_отн  |  ⋅ cos 30^○  + 0 + 0 + 0 =  – 480 ⋅ cos 30^○  = – 415, 7 смс²   .
Модуль абсолютного ускорения:
a_абс  =  √ ( ^→a_абс  )²_x  + ( ^→a_абс  )²_y  + ( ^→a_абс  )²_z   
 = √ (0 )²  + (– 660 )²  + (– 415, 7 )²    = 780, 0 смс²   .

Ответ

Абсолютная скорость   v_абс  = 360, 6 смс  ;
абсолютное ускорение   a_абс  = 780, 0 смс²   .

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 10-01-2016