Координатный способ задания движения точки

Формулы для вычисления скорости точки, ускорения, радиуса кривизны траектории, касательной, нормали и бинормали по заданным зависимостям координат от времени. Пример решения задачи, в которой по заданным уравнениям движения нужно определить скорость и ускорение точки. Также определяется радиус кривизны траектории, касательная, нормаль и бинормаль.

Введение

Выводы приведенных ниже формул и изложение теории приводится на странице “Кинематика материальной точки”. Здесь мы применим основные результаты этой теории к координатному способу задания движения материальной точки.

Далее мы приводим формулы вычисления кинематических величин и пример решения задачи для координатного способа задания движения.

Определение кинематических величин

Зная зависимости координат x,  y,  z от времени t ,  мы автоматически определяем радиус-вектор материальной точки M по формуле:
^→r = OM = (x, y, z ) ≡  x ^→i + y ^→j + z ^→k ,
где ^→i,  ^→j,  ^→k – единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z .

Дифференцируя x,  y,  z по времени t ,  находим проекции скорости и ускорения на оси координат:
^→v = (v_x , v_y , v_z ) = (^.x, ^.y, ^.z ) ;
^→a = (a_x , a_y , a_z ) =  ^.→v = (^.v_x , ^.v_y , ^.v_z ) = (^..x, ^..y, ^..z ) ; 
Модули скорости и ускорения:
 | v |  = √ v²_x  + v²_y  + v²_z    ; 
a = √ a²_x  + a²_y  + a²_z    . 

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
^→τ = ^→vv_τ  ;   | τ |  = 1 . 
Его можно определить двумя способами – по направлению скорости, или в противоположную сторону. Поэтому здесь в знаменателе стоит не модуль скорости, а алгебраическая величина скорости, которая, по абсолютной величине, равна модулю скорости, но может принимать как положительные, так и отрицательные значения: v_τ  = ±  | v |  .  Она является проекцией скорости на направление единичного вектора ^→τ . 

Алгебраическая величина тангенциального (касательного) ускорения – это проекция полного ускорения на направление единичного вектора касательной к траектории:
a_τ  = (^→a ⋅ ^→τ ) = (^→a ⋅ ^→v )v_τ  =  a_x v_x  + a_y v_y  + a_z v_z v_τ   . 
Вектор тангенциального (касательного) ускорения:
^→a_τ  = a_τ  ^→τ = a_τ (τ_x ,  τ_y ,  τ_z ) . 
Здесь также, как и для скорости, a_τ  – это скалярная величина, которая может принимать как положительные так и отрицательные значения: a_τ  = ±  | a_τ  |  . 

Нормальное ускорение:
a_n  = √ a²  – a²_τ    . 
Вектор нормального ускорения:
^→a_n  = ^→a – ^→a_τ  =  (a_x  – a_τx ,  a_y  – a_τy ,  a_z  – a_τz ) ;    ^→a_n  ⊥ ^→a_τ  . 
Единичный вектор в направлении главной нормали траектории (то есть единичный вектор, перпендикулярный касательной и направленный к центру кривизны траектории):
^→n = ^→a_n a_n  = 1a_n  (a_nx ,  a_ny ,  a_nz ) . 
Здесь a_n  – это модуль нормального ускорения: a_n  =  | a_n  |  ≥ 0 .  Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории. Оно не может быть направлено в противоположную сторону.

Радиус кривизны траектории:
ρ = v² a_n   . 
Центр кривизны траектории:
^→r_C  = ^→r – ρ ^→n =  (x – ρ n_x ,  y – ρ n_y ,  z – ρ n_z ) . 

Единичный вектор в направлении бинормали:
^→b = [^→τ × ^→n ] =  (τ_y n_z  – τ_z n_y ,  τ_z n_x  – τ_x n_z ,   τ_x n_y  – τ_y n_x ) . 

Пример решения задачи

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

По заданным уравнениям движения точки M установить вид ее траектории и для момента времени t = 1с найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Уравнения движения точки:
x = 12 sin ( π6 t  ) ,    см;
y = 6 cos² ( π6 t  ) ,    см.

Решение

Определение вида траектории

Исключаем время t из уравнений движения. Для этого перепишем их в виде:
sin ( π6 t  ) = x12  ;      cos² ( π6 t  ) = x6  . 
Применим формулу:
sin² α + cos² α = 1 . 
sin² ( π6 t  ) + cos² ( π6 t  ) = 1 ; 
( x12  )²  + y6 = 1 ; 
y6 = 1 – ( x12  )²  ; 
y = 6 – 612 ⋅ 12 ⋅ x²  . 

Итак, мы получили уравнение траектории:
y = 6 – x² 24  . 
Это уравнение параболы с вершиной в точке (x = 0,  y = 6 ) и осью симметрии x = 0 . 

Поскольку
– 1 ≤ sin ( π6 t  ) ≤ 1 ,  то
– 1 ≤ x12 ≤ 1 ;  или
– 12 ≤ x ≤ 12 . 
Аналогичным образом получаем ограничение для координаты y  : 
0 ≤ cos² ( π6 t  ) ≤ 1 ; 
0 ≤ y6 ≤ 1 ; 
– 6 ≤ y ≤ 6

Таким образом, траекторией движения точки является дуга параболы
y = 6 – x² 24  , 
расположенная при
– 12 ≤ x ≤ 12   и   – 6 ≤ y ≤ 6 . 

Строим параболу по точкам.

Определяем положение точки в момент времени t = 1с . 
x = 12 sin ( π6 ⋅ 1  ) = 6 см ; 
y = 6 cos² ( π6 ⋅ 1  ) = 4, 5 см . 

Определение скорости точки

Дифференцируя координаты x и y по времени t ,  находим компоненты скорости.
v_x  = ^.x = 12( sin π6 t  )^′ =  12 cos π6 t ⋅ ( π6 t  )^′ = 2π cos π6 t . 
Чтобы продифференцировать y ,  удобно применить формулу тригонометрии:
cos² α = 12 (1 + cos 2α ) .  Тогда
y = 6 cos² ( π6 t  ) = 3( 1 + cos π3 t  ) ; 
v_y  = ^.y = 3( cos π3 t  )^′ =  – 3 sin π3 t ⋅ ( π3 t  )^′ = – π sin π3 t . 

Вычисляем значения компонент скорости в момент времени t = 1с  : 
v_x  = 2π cos ( π6 ⋅ 1  ) = 5, 441 смс  ; 
v_y  = – π sin ( π3 ⋅ 1  ) = – 2, 721 смс  . 
Модуль скорости:
v = √ v²_x  + v²_y   =  √ (5, 441 )²  + (– 2, 721 )²   =  6, 084 смс  . 

Определение ускорения точки

Дифференцируя компоненты скорости v_x  и v_y  по времени t ,  находим компоненты ускорения точки.
a_x  = ^.v_x  = 2π( cos π6 t  )^′ =  – 2π sin π6 t ⋅ ( π6 t  )^′ =  – π² 3 sin π6 t ; 
a_y  = ^.v_y  = – π( sin π3 t  )^′ =  – π cos π3 t ⋅ ( π3 t  )^′ =  – π² 3 cos π3 t . 

Вычисляем значения компонент ускорения в момент времени t = 1с  : 
a_x  = – π² 3 sin ( π6 ⋅ 1  ) =  – 1, 645 смс²   ; 
a_y  = – π² 3 ( cos π3 ⋅ 1  ) =  – 1, 645 смс²   . 
Модуль ускорения:
a = √ a²_x  + a²_y   =  √ (– 1, 645 )²  + (– 1, 645 )²   =  2, 326 смс²   . 

Алгебраическая величина тангенциального ускорения a_τ  – это проекция полного ускорения ^→a на направление единичного вектора ^→τ = ^→vv_τ   касательной к траектории. Выберем направление ^→τ совпадающим с направлением скорости ^→v .  Тогда v_τ  =  | v |  ≡ v ;  алгебраическая величина тангенциального ускорения – это проекция полного ускорения ^→a на направление скорости ^→v  : 
a_τ  = (^→a ⋅ ^→τ ) = 1v (^→a ⋅ ^→v ) =  1v (a_x v_x  + a_y v_y ) =  16, 084 (– 1, 645 ⋅ 5, 441 –  1, 645 ⋅ (– 2, 721 )) = – 0, 736 смс²   . 
Поскольку a_τ  < 0 ,  то вектор тангенциального ускорения ^→a_τ  направлен противоположно скорости ^→v . 

Нормальное ускорение:
a_n  = √ a²  – a²_τ   =  √ 2, 326²  – (– 0, 7356 )²   = 2, 207 смс²   . 
Вектор ^→a_n  ⊥ ^→a_τ  и направлен в сторону центра кривизны траектории.

Радиус кривизны траектории:
ρ = v² a_n  = 6, 084² 2, 207 = 16, 77см . 

Ответ

Траекторией движения точки является дуга параболы
y = 6 – x² 24  ;    – 12 ≤ x ≤ 12 . 
Скорость точки:   v = 6, 084 смс  . 
Ускорение точки:   a = 2, 326 смс²   ;    a_τ  = – 0, 736 смс²   ;    a_n  = 2, 207 смс²   . 
Радиус кривизны траектории:   ρ = 16, 77см . 

Определение остальных величин

При решении задачи мы нашли:
вектор и модуль скорости:
^→v = (5, 441;  – 2, 721 ) смс  ;    v = 6, 084 смс  ; 
вектор и модуль полного ускорения:
^→a = (– 1, 645;  – 1, 645 ) смс²   ;    a = 2, 326 смс²   ; 
тангенциальное и нормальное ускорения:
a_τ  = – 0, 736 смс²   ;    a_n  = 2, 207 смс²   ; 
радиус кривизны траектории:   ρ = 16, 77см . 

Определим остальные величины.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
^→τ = ^→vv_τ  = ( v_x v_τ  ;  v_y v_τ   ) =  ( 5, 4416, 084 ;  – 2, 7216, 084  ) =  (0, 8944;   – 0, 4472 ) . 
Вектор тангенциального ускорения:
^→a_τ  = a_τ ^→τ = (a_τ τ_x ;  a_τ τ_y ) =  (– 0, 736 ⋅ 0, 8944;   – 0, 736 ⋅ (– 0, 4472 )) = 
 (– 0, 658;  0, 329 ) смс²   . 
Вектор нормального ускорения:
^→a_n  = ^→a – ^→a_τ  =  (a_x  – a_τx ;  a_y  – a_τy ) =  (– 1, 645 – (– 0, 658 );   – 1, 645 – 0, 329 ) = 
 (– 0, 987;   – 1, 974 ) смс²   . 
Единичный вектор в направлении главной нормали:
^→n = ^→a_n a_n  = ( a_nx a_n  ,  a_ny a_n   ) =  ( – 0, 9872, 207 ,  – 1, 9742, 207  ) =  (– 0, 4472;   – 0, 8944 ) . 
Координаты центра кривизны траектории:
^→r_C  = ^→r + ρ ^→n =  (x + ρ n_x ;  y + ρ n_y ) = 
 (6 + 16, 77 ⋅ (– 0, 4472 );   4, 5 + 16, 77 ⋅ (– 0, 8944 )) =  (– 1, 5;   – 10, 5 ) см . 

Введем третью ось z системы координат перпендикулярно осям x и y .  В трехмерной системе
^→τ = (0, 8944;   – 0, 4472;  0 ) ;    ^→n = (– 0, 4472;   – 0, 8944;  0 ) . 
Единичный вектор в направлении бинормали:
^→b = [^→τ × ^→n ] =  (τ_y n_z  – τ_z n_y ,  τ_z n_x  – τ_x n_z ,   τ_x n_y  – τ_y n_x ) = 
 ((– 0, 4472 ) ⋅ 0 – 0 ⋅ (– 0, 8944 );   0 ⋅ (– 0, 4472 ) – 0, 8944 ⋅ 0;  
 0, 8944 ⋅ (– 0, 8944 ) –  (– 0, 4472 ) ⋅ (– 0, 4472 )) =  (0;  0;   – 1 ) . 

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 22-02-2016   Изменено: 29-01-2020