Векторный способ задания движения точки

Связь векторного способа задания движения точки с координатным. Формулы для вычисления скорости точки, ускорения, радиуса кривизны траектории, касательной, нормали и бинормали при векторном способе задания движения точки.

Введение

Положение точки M однозначно определяется заданием ее радиус-вектора ^→r ,  который изменяется со временем при движении точки. При векторном способе задания движения считается, что задан закон изменения радиус-вектора ^→r(t ) от времени t .  Векторный способ задания движения применяется для описания движения в общем виде, используя векторные формулы.

Например, для точки, движущейся с постоянным ускорением ^→W ,  радиус-вектор определяется одной векторной формулой:
^→r(t ) = ^→r₀  + ^→v₀  t + 12 ^→W t²  , 
где ^→r₀ ,  ^→v₀ ,  ^→W – постоянные векторы, не зависящие от времени. Применяя формулы, мы можем найти кинематические величины в векторном виде, не зависимо от выбранной системы координат.

При координатном способе задания движения, мы выбираем систему координат, и в ней задаем зависимости координат x(t ),  y(t ),  z(t ) точки M от времени t .  Таким образом, координатный способ привязан к выбранной системе координат, а векторный способ не зависит от системы координат.

Связь векторного способа задания движения с координатным осуществляется по формуле:
^→r(t ) = x(t ) ^→i + y(t ) ^→j + z(t ) ^→k , 
где ^→i,  ^→j,  ^→k – единичные векторы (орты) в направлении осей x,  y,  z выбранной системы координат.

Основные формулы при векторном способе задания движения

Скорость точки

Выводы приведенных ниже формул и изложение теории приводится на странице “Кинематика материальной точки”. Здесь мы приводим основные результаты этой теории в векторном виде.

Итак, нам задана зависимость радиус-вектора материальной точки M от времени t  : 
^→r = ^→r(t ) . 

Дифференцируя радиус-вектор по времени, мы находим вектор скорости ^→v точки:
^→v = ^.→r . 
Модуль вектора скорости:
 | v |  ≡ v = √ v²   = √ (^→v ⋅ ^→v )   , 
где в круглых скобках обозначено скалярное произведение векторов.

Скорость точки ^→v направлена по касательной к траектории. Пусть ^→τ – единичный вектор в направлении касательной. Тогда скорость ^→v может быть направленной либо вдоль вектора ^→τ  : 
^→v =  | ^→v |  ^→τ , 
либо в противоположную сторону:
^→v = –  | ^→v |  ^→τ . 
Чтобы охватить эти два случая, вводят алгебраическую величину скорости v_τ   : 
^→v = v_τ  ^→τ . 
Это скалярная величина, равная по абсолютной величине модулю скорости, но она может принимать как положительные, так и отрицательные значения:
v_τ  = ±  | ^→v |  . 
При v_τ  > 0 ,  вектор скорости сонаправлен с ^→τ .  При v_τ  < 0 он направлен в противоположную сторону. Величина v_τ  является проекцией вектора скорости на направление ^→τ .  Поскольку ^→τ – это единичный вектор, то
v_τ  = (^→v ⋅ ^→τ ) . 

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
^→τ = ^→vv_τ  ;   | τ |  = 1 . 

Ускорение точки

Дифференцируя вектор скорости по времени, находим вектор ускорения ^→a точки:
^→a = ^.→v = ^..→r . 
Модуль вектора ускорения:
a ≡  | a |  = √ a²   = √ (^→a ⋅ ^→a )   . 

Разложим вектор ускорения ^→a на две взаимно перпендикулярные компоненты: ^→a_τ  – параллельную касательной к траектории; и ^→a_n  – перпендикулярную к ней.
^→a = ^→a_τ  + ^→a_n ;  ^→a_τ  ∥ ^→τ;  ^→a_n ⊥^→τ;   ^→a_τ ⊥^→a_n  . 
Компонента ^→a_τ  называется касательным, или тангенциальным ускорением, а компонента ^→a_n  – нормальным ускорением.

Тангенциальное ускорение

Алгебраическая величина тангенциального ускорения – это скалярная величина, равная проекции полного ускорения на направление единичного вектора ^→τ ,  касательного к траектории:
a_τ  = (^→a ⋅ ^→τ ) = (^→a ⋅ ^→v )v_τ   . 
Тогда вектор тангенциального ускорения можно записать в следующем виде:
^→a_τ  = a_τ  ^→τ = (^→a ⋅ ^→τ ) ^→τ =  (^→a ⋅ ^→v )v²_τ  ^→v = (^→a ⋅ ^→v )v^2  →v . 
Величина a_τ  может быть как положительной, так и отрицательной. При положительном a_τ  ,  вектор касательного ускорения сонаправлен с единичным вектором ^→τ .  При отрицательном a_τ  – вектор касательного ускорения направлен в противоположную сторону. Модуль a_τ  равен модулю касательного ускорения:
 | a_τ  |  =  | ^→a_τ  |  . 
Алгебраическая величина тангенциального ускорения равна производной по времени от алгебраической величины скорости:
a_τ  = dv_τ dt  . 
Производная по времени модуля скорости:
d | v | dt = (^→v ⋅ ^→a ) | v |  = (^→v ⋅ ^→a_τ ) | v |  = v_τ  ⋅ a_τ  | v |   . 
Если между векторами скорости и ускорения острый угол, то движение ускоренное. Если между ними тупой угол, то движение замедленное.

Нормальное ускорение

Вектор нормального ускорения:
^→a_n  = ^→a – ^→a_τ  = ^→a (^→τ ⋅ ^→τ ) – ^→τ (^→a ⋅ ^→τ ) =  [^→τ × [^→a × ^→τ ]] = [^→v × [^→a × ^→v ]v²   . 
^→a = ^→a_τ  + ^→a_n  ;    ^→a_n  ⊥ ^→a_τ  . 
Единичный вектор в направлении главной нормали траектории:
^→n = ^→a_n a_n   . 
Вектор ^→n перпендикулярен вектору ^→τ и направлен к центру кривизны траектории. Нормальное ускорение ^→a_n  всегда направлено к центу кривизны траектории. Поэтому, если выразить его через единичный вектор главной нормали:
^→a_n  = a_n  ^→n , 
то a_n  ≥ 0 .  Поэтому a_n  =  | ^→a_n  |  . 
Модуль нормального ускорения равен проекции полного ускорения на направление главной нормали:
 | ^→a_n  |  = (^→a ⋅ ^→n ) = a_n  . 
Имеют место следующие формулы:
a_n  = √ a²  – a²_τ   = |[^→τ × [^→a × ^→τ ]]| =  |[^→a × ^→τ ]| = |[^→a × ^→v ]| | v |   . 

Радиус кривизны траектории:
ρ = v² a_n   . 
Центр кривизны траектории:
^→r_C  = ^→r – ρ ^→n . 

Единичный вектор в направлении бинормали:
^→b = [^→τ × ^→n ] . 

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 06-03-2016   Изменено: 29-01-2020