Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Типы дифференциальных уравнений

Перечислены основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ), допускающие решение. Для каждого типа указана ссылка на страницу, содержащую метод решения и подробные примеры.

Далее в тексте s,~p,~q,~r - функции своих аргументов. Штрих ' означает производную по аргументу. a,~b,~c,~a_1,~b_1,~c_1,~a_2,~b_2,~c_2,~...~alpha,~beta - постоянные.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Особенности дифференциальных уравнений первого порядка

При решении уравнений первого порядка функцию y и переменную x следует считать равноправными. То есть решение может быть в виде y(x) так и в виде x(y).

Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной

Уравнения с разделяющимися переменными

p(x) q(y) y prime + r(x) s(y) = 0
p(x)q(y)dy + r(x)s(y)dx = 0
Подробнее >>>

Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

y prime = f(ax + by + c)
Подробнее >>>

Однородные уравнения

y prime = f(y/x)
Подробнее >>>

Уравнения, приводящиеся к однородным

y prime = f({a_1 x+ b_1 y + c_1}/{a_2 x+ b_2 y + c_2})
Подробнее >>>

Обобщенные однородные уравнения

y prime = f(y/{x^alpha})x^{alpha minus 1}
Подробнее >>>

Линейные дифференциальные уравнения

  • Линейное по y
    s(x)y prime + p(x)y + q(x) = 0;
    s(x)dy + (p(x)y + q(x))dx = 0.
  • Линейное по f(y)
    s(x)f prime (y) y prime + p(x)f(y) + q(x) = 0;
    s(x)f prime (y) dy +(p(x)f(y) + q(x))dx = 0.
  • Линейное по x
    s(y)x prime + p(y)x + q(y) = 0;
    s(y)dx + (p(y)x + q(y))dy = 0.
  • Линейное по f(x)
    s(y)f prime (x)x prime + p(y)f(x) +q(y) = 0;
    s(y)f prime (x)dx +(p(y)f(x) + q(y))dy = 0.

Подробнее >>>

Уравнения Бернулли

s(x)y prime + p(x)y + q(x)y^n = 0
Подробнее >>>

Уравнения Риккати

s(x)y prime + p(x)y^2 + q(x)y + r(x) = 0
Подробнее >>>

Уравнения Якоби

(a_1 x + b_1 y + c_1)dx +(a_2 x + b_2 y + c_2)dy +(a_3 x + b_3 y + c_3)(xdy minus ydx) = 0
Подробнее >>>

Уравнения в полных дифференциалах

p(x,~y)dx + q(x,~y)dy = 0
при условии ~{partial p}/{partial y}={partial q}/{partial x}
Подробнее >>>

Интегрирующий множитель

Если дифференциальное уравнение первого порядка не приводится ни к одному из перечисленных типов, то следует попытаться найти интегрирующий множитель, чтобы свести его к уравнению в полных дифференциалах.
Подробнее >>>

Уравнения, не решенные относительно производной y'

Уравнения, допускающие решение относительно производной y'

Сначала нужно попытаться разрешить уравнение относительно производной y'. Если это возможно, то уравнение может быть приведено к одному из перечисленных выше типов.

Уравнения, допускающие разложение на множители

f_1(x,~y,~y prime) dot f_2(x,~y,~y prime) dotf_3(x,~y,~y prime) dot ... dot f_n(x,~y,~y prime) = 0
Подробнее >>>

Уравнения, не содержащие x и y

f(y prime) = 0
Подробнее >>>

Уравнения, не содержащие x или y

f(x,~y prime) = 0, или f(y,~y prime) = 0
Подробнее >>>

Уравнения, разрешенные относительно y

Уравнения Клеро

y = y prime x + p(y prime )
Подробнее >>>

Уравнения Лагранжа

y = f(y prime )x + p(y prime)
Подробнее >>>

Уравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли

y = x y prime + x^alpha f(y prime)
y = x y prime + y^alpha f(y prime)
Подробнее >>>

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием

y^(n) = f(x)
Подробнее >>>

Уравнения, не содержащие y

f(x,~y prime,~y prime prime,~y prime prime prime,~...) = 0
Подробнее >>>

Уравнения, не содержащие x

f(y,~y prime,~y prime prime,~y prime prime prime,~...) = 0
Подробнее >>>

Уравнения, однородные относительно y, y′, y′′, ...

f(x,~{y prime}/y,~{y prime prime}/y,~{y prime prime prime}/y,~...) = 0
Подробнее >>>

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

a_n y^(n) + ... + a_2 y^{prime prime} + a_1 y^{prime} + a_0 y = 0
Подробнее >>>

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

a_n y^(n) + ... + a_2 y^{prime prime} + a_1 y^{prime} + a_0 y = f(x)
Подробнее >>>

Линейные неоднородные уравнения со специальной неоднородной частью

a_n y^(n) + ... + a_2 y^{prime prime} + a_1 y^{prime} + a_0 y = e^{alpha x}dot(P_{s1}(x)cos(beta x)+Q_{s2}(x)sin(beta x)),
где Ps1(x), Qs2(x) - многочлены степеней s1 и s2.
Подробнее >>>

Уравнения Эйлера

a_n x^n y^(n) + a_{n-1} x^{n-1} y^(n-1) + ...+ a_2 x^2 y{prime prime} + a_1 x y{prime} + a_0 y = f(x)
Подробнее >>>

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Опубликовано:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru