Методы решения физико-математических задач

Типы дифференциальных уравнений

Основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений
Перечислены основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ), допускающие решение. Для каждого типа указана ссылка на страницу, содержащую метод решения и подробные примеры.
Содержание
См. также:

Далее в тексте – функции своих аргументов. Штрих ′ означает производную по аргументу. – постоянные.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Особенности дифференциальных уравнений первого порядка

При решении уравнений первого порядка функцию y и переменную x следует считать равноправными. То есть решение может быть в виде так и в виде .

Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной

Уравнения с разделяющимися переменными

;
.   Подробнее
Приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными:
  Подробнее

Однородные уравнения

Однородные уравнения не меняют свой вид при замене
,
где t – постоянная. При такой замене производная не меняется:
.
В общем виде их можно выразить через однородную функцию:
, где
.

Уравнения, разрешенные относительно производных можно выразить через произвольную функцию:
.
Такие уравнения можно также записать посредством однородных функций:
,
где и – однородные функции с равными показателями однородности p, то есть обладающие следующим свойством:
.   Подробнее

Приводящиеся к однородным
,
где и – однородные функции с равными показателями однородности. Такие уравнения можно выразить через произвольную функцию F:
.   Подробнее

Обобщенно однородные уравнения не меняют свой вид при замене
,
где t – постоянная, . Замена для производной:
.
В общем виде их можно записать так:
, где
.

Обобщенно однородные уравнения, разрешенные относительно производной, можно выразить через произвольную функцию:
.
Их можно записать посредством однородных функций:
,
где и – однородные функции с равными показателями однородности.
Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним

  • Линейное по y:

  • Линейное по f(y):

  • Линейное по x:

  • Линейное по f(x):

Подробнее

Уравнения Бернулли:
.   Подробнее

Уравнения Риккати

.   Подробнее

Уравнения Якоби

.
Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

  при условии .
Тогда . Подробнее

Интегрирующий множитель

Если дифференциальное уравнение первого порядка не приводится ни к одному из перечисленных типов, то следует попытаться найти интегрирующий множитель, чтобы свести его к уравнению в полных дифференциалах:
;
.   Подробнее

Уравнения, не разрешенные относительно производной y′

Уравнения, допускающие решение относительно производной y′

Сначала нужно попытаться разрешить уравнение относительно производной y′. Если это возможно, то уравнение может быть приведено к одному из перечисленных выше типов.

Уравнения, не разрешенные относительно производной y′

Уравнения, допускающие разложение на множители:
.
Подробнее
Уравнения, не содержащие x и y:
.   Подробнее
Уравнения, не содержащие x или y:
, или .   Подробнее

Уравнения, разрешенные относительно зависимой переменной y

Уравнения Клеро:
.   Подробнее
Уравнения Лагранжа:
.   Подробнее
Уравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли:
;
.   Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения высших порядков, решаемые в квадратурах

Уравнения, содержащие переменную и старшую производную

Общий случай:
.   Подробнее
Разрешенные относительно старшей производной:
.   Подробнее
Разрешенные относительно переменной:
.   Подробнее

Уравнения, содержащие только производные порядков n и n-1

Общий случай:
.   Подробнее
Разрешенные относительно младшей производной:
.   Подробнее
Разрешенные относительно старшей производной:
.   Подробнее

Уравнения, содержащие только производные порядков n и n-2

Общий случай:
.   Подробнее
Разрешенные относительно старшей производной:
.   Подробнее

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнения, не содержащие зависимую переменную y (и возможно несколько первых производных):
, или
.   Подробнее
Уравнения, не содержащие независимую переменную x:
.   Подробнее
Уравнения, однородные относительно функции и ее производных y, y′, y′′, ... :
, причем
.
Их можно выразить через произвольную функцию:
  Подробнее
Обобщенно однородные уравнения относительно переменных x, y:
, причем
.
Выраженные через произвольную функцию:
  Подробнее
Дифференциальные уравнения с полной производной:
.   Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами:
.   Подробнее
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами:
.
Решение методом Бернулли (двух функций)
Решение методом Лагранжа (вариация постоянных)
Решение линейной подстановкой
Линейные неоднородные уравнения со специальной неоднородной частью:
,
где – многочлены степеней и .   Подробнее
Уравнения Эйлера:
.   Подробнее

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

.     Опубликовано:   Изменено:

Меню