Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью

Рассмотрен метод решения линейных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью, содержащей комбинации из многочленов, экспонент, синусов и косинусов.

Определение общего решения по известному частному решению

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами n-го порядка:

(1)   a_0 y^(n)~+~a_1 y^(n-1)~+~a_2 y^(n-2)+... a_{n-1} y prime~+~a_n y~=~f(x)

Если известно частное (любое) решение y1(x) уравнения (1), то можно легко найти общее решение по формуле:

y~=~y_0~+~y_1

где y0 - общее решение однородного уравнения

a_0 y^(n)~+~a_1 y^(n-1)~+~a_2 y^(n-2)+... a_{n-1} y prime~+~a_n y~=~0

Если неоднородная часть f(x) может быть представлена в виде суммы функций:

f(x)~=~f_1(x)~+~f_2(x)~+~f_3(x)~+~...

То частное решение y также может быть представлено в виде суммы частных решений:

y~=~y_1~+~y_2~+~y_3~+~...

каждое из которых удовлетворяет уравнению с правой частью в виде одной из функций fi(x):

a_0 {y_i}^(n)~+~a_1 {y_i}^(n-1)~+~...~a_{n-1} {y_i} prime~+~a_n {y_i}~=~f_i(x)

В некоторых случаях бывает легче найти частные решения от более простых неоднородных частей, а затем получить частное решение для всего уравнения суммированием полученных частных решений.

Метод решения линейных ДУ с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью

Рассмотрим линейные неоднородные уравнения со специальной неоднородной частью в виде комбинации многочленов, экспоненты, синусов и косинусов.

(2)   a_0 y^(n) + ... + a_{n-2} y^{prime prime} +a_{n-1} y^{prime} + a_n y = e^{alpha x}~dot~(P_{s1}(x)cos(beta x)+Q_{s2}(x)sin(beta x))

где Ps1(x), Qs2(x) - многочлены степеней s1 и s2, соответственно.

Такое уравнение можно решить общим методом понижения порядка. Однако существует более простой способ, основанный на том, что частное решение такого уравнения имеет определенный вид. Суть этого метода заключается в следующем.

Вначале ищем общее решение y0 однородного уравнения:

(3)   a_0 {y_0}^(n) ~+~ ... ~+~ a_{n-2} {y_0}^{prime prime} ~+~a_{n-1} {y_0}^{prime} ~+~ a_n {y_0} ~=~ 0

Далее устанавливаем вид частного (любого) решения y1 исходного уравнения (2). Оно выражается через многочлены, экспоненту, синусы и косинусы, которые входят в частное решение с неизвестными коэффициентами. Установив вид частного решения y1, подставляем y1 в уравнение (2) и, приравнивая левую и правую части, находим неизвестные коэффициенты.

После этого общее решение исходного уравнения (2) равно сумме общего решения однородного уравнения плюс частное решение неоднородного.

y ~=~ y_0 ~+~ y_1

Установление вида частного решения

Составим характеристическое уравнения однородного уравнения (3):

(4)   a_0 k^n~+~a_1 k^{n-1}~+~...~+~a_{n-1} k~+~a_n~=~0

Пусть ki - корни характеристического уравнения (4).

Комплексные корни выразим через действительную и мнимую части:

k_i~=~k_{1i}~+~i~k_{2i}

Для действительных корней k2i = 0.

Если среди корней ki нет значения

k_i~=~k_{1i}~+~i~k_{2i}~=~alpha~+~i beta

то частное решение имеет вид:

y_1 = e^{alpha x}~dot~({P_s}over{tilde}(x)cos(beta x)+{Q_s}over{tilde}(x)sin(beta x))

где s - наибольшее из s1 и s2;

{P_s}over{tilde}(x)~=~A_0~+~A_1 x~+~A_2 x^2~+~cdots~+~A_s x^s

{Q_s}over{tilde}(x)~=~B_0~+~B_1 x~+~B_2 x^2~+~cdots~+~B_s x^s

многочлены степени s с коэффициентами Ai, Bi, которые подлежат определению подстановкой в уравнение (2).

Если среди корней ki есть корень

k_i~=~k_{1i}~+~i~k_{2i}~=~alpha~+~i beta

кратности m, то частное решение имеет вид:

y_1 = x^m ~e^{alpha x}~dot~({P_s}over{tilde}(x)cos(beta x)+{Q_s}over{tilde}(x)sin(beta x))

После того как установлен вид частного решения, подставляем y1 в уравнение (2) и находим неизвестные коэффициенты Ai и Bi. После чего получаем общее решение уравнения (2):

y ~=~ y_0 ~+~ y_1

Далее рассмотрен пример решения неоднородного дифференциального уравнения со специальной неоднородной частью.

Частные случаи

Неоднородность в виде многочлена

a_0 y^(n) + ... + a_{n-2} y^{prime prime} +a_{n-1} y^{prime} + a_n y = P_s(x)

В этом случае α = β = 0.

Если среди корней ki нет значения

k_i~=~0

то частное решение имеет вид:

y_1 = {P_s}over{tilde}(x)

Если среди корней ki есть корень

k_i~=~0

кратности m, то частное решение имеет вид:

y_1 = x^m ~{P_s}over{tilde}(x)

Неоднородность в виде экспоненты

a_0 y^(n) + ... + a_{n-2} y^{prime prime} +a_{n-1} y^{prime} + a_n y = P_s(x)~e^{alpha x}

В этом случае β = 0.

Если среди корней ki нет действительного значения

k_i~=~alpha

то частное решение имеет вид:

y_1 = {P_s}over{tilde}(x)~e^{alpha x}

Если среди корней ki есть корень

k_i~=~alpha

кратности m, то частное решение имеет вид:

y_1 = x^m ~{P_s}over{tilde}(x)~e^{alpha x}

Неоднородность в виде синусов и косинусов

a_0 y^(n) + ... + a_{n-2} y^{prime prime} +a_{n-1} y^{prime} + a_n y =P_{s1}(x)cos(beta x)+Q_{s2}(x)sin(beta x)

В этом случае α = 0.

Если среди корней ki нет чисто мнимого значения

k_i~=~i beta

то частное решение имеет вид:

y_1 = {P_s}over{tilde}(x)cos(beta x)+{Q_s}over{tilde}(x)sin(beta x)

Если среди корней ki есть корень

k_i~=~i beta

кратности m, то частное решение имеет вид:

y_1 = x^m ~dot~({P_s}over{tilde}(x)cos(beta x)+{Q_s}over{tilde}(x)sin(beta x))

Опубликовано:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru