Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго и высших порядков методом Лагранжа

Рассмотрен метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами методом Лагранжа (вариацией постоянных).

Метод Лагранжа (вариации постоянных)

Метод вариации постоянных также применим и для уравнений более высокого порядка.

(1)   a_0 y^(n)~+~a_1 y^(n-1)~+~...~+~a_{n-1} y prime~+~a_n y~=~f(x)

Как и в случае уравнений первого порядка, вначале мы ищем общее решение однородного уравнения:

(2)   a_0 y^(n)~+~a_1 y^(n-1)~+~...~+~a_{n-1} y prime~+~a_n y~=~0

Общее решение такого уравнения имеет вид:

(3)   y~=~C_1 y_1~+~C_2 y_2~+~...~+~C_{n-1} y_{n-1}~+~C_n y_n

Далее мы считаем постоянные C1, C2,... Cn функциями от x: C1(x), C2(x),... Cn(x), подставляем (3) в (1) и определяем неизвестные функции C1(x), C2(x),... Cn(x). Поскольку имеется n неизвестных функций Ci(x), а уравнение (1) одно, то функции Ci(x) нужно дополнительно связать любыми n - 1 уравнениями. Тогда получится n уравнений, из которых можно определить n функций Ci(x). Хотя вид дополнительных уравнений произволен, но на практике нужно составить такие уравнения, чтобы решение имело наиболее простой вид. Для этого, при дифференцировании, нужно приравнивать к нулю члены, содержащие производные от функций Ci(x). Продемонстрируем это.

Дифференцируем (3):

y prime~=~(C_1)^, y_1~+~C_1 (y_1)^,~+~(C_2)^, y_2~+~C_2 (y_2)^,~+~...~=~

~=~(C_1)^, y_1~+~(C_2)^, y_2~+~...~+~(C_{n-1})^, y_{n-1}~+~(C_n)^, y_n~+~

~+~C_1 {y_1}prime~+~C_2 {y_2}prime~+~...~+~C_{n-1} {y_{n-1}}prime~+~C_n {y_n}prime

Наложим на функции Ci(x) первое условие:

(C_1)^, y_1~+~(C_2)^, y_2~+~...~+~(C_{n-1})^, y_{n-1}~+~(C_n)^, y_n~=~0

Тогда

y prime~=~C_1 {y_1}prime~+~C_2 {y_2}prime~+~...~+~C_{n-1} {y_{n-1}}prime~+~C_n {y_n}prime

Находим вторую производную:

y prime prime~=~(C_1)^, {y_1}prime~+~(C_2)^, {y_2}prime~+~...~+~(C_{n-1})^, {y_{n-1}}prime~+~(C_n)^, {y_n}prime~+~

~+~C_1 {y_1}prime prime~+~C_2 {y_2}prime prime~+~...~+~C_{n-1} {y_{n-1}}prime prime~+~C_n {y_n}prime prime

Наложим на функции Ci(x) второе условие:

(C_1)^, {y_1}prime~+~(C_2)^, {y_2}prime~+~...~+~(C_{n-1})^, {y_{n-1}}prime~+~(C_n)^, {y_n}prime~=~0

Тогда

y prime prime~=~C_1 {y_1}prime prime~+~C_2 {y_2}prime prime~+~...~+~C_{n-1} {y_{n-1}}prime prime~+~C_n {y_n}prime prime

И так далее.
.............................

Находим n-1 -ю производную:

y^(n-1)~=~(C_1)^, {y_1}^(n-2)~+~(C_2)^, {y_2}^(n-2)~+~...~+~(C_n)^, {y_n}^(n-2)~+~

~+~C_1 {y_1}^(n-1)~+~C_2 {y_2}^(n-1)~+~...~+~C_n {y_n}^(n-1)

Наложим на функции Ci(x) n-1 -е условие:

(C_1)^, {y_1}^(n-2)~+~(C_2)^, {y_2}^(n-2)~+~...~+~(C_n)^, {y_n}^(n-2)~=~0

Тогда

y^(n-1)~=~C_1 {y_1}^(n-1)~+~C_2 {y_2}^(n-1)~+~...~+~C_n {y_n}^(n-1)

Находим n -ю производную:

y^(n)~=~(C_1)^, {y_1}^(n-1)~+~(C_2)^, {y_2}^(n-1)~+~...~+~(C_n)^, {y_n}^(n-1)~+~

~+~C_1 {y_1}^(n)~+~C_2 {y_2}^(n)~+~...~+~C_n {y_n}^(n)

Таким образом, мы получили n производных:

y^(n)~=~(C_1)^, {y_1}^(n-1)~+~(C_2)^, {y_2}^(n-1)~+~...~+~(C_n)^, {y_n}^(n-1)~+~

~+~C_1 {y_1}^(n)~+~C_2 {y_2}^(n)~+~...~+~C_n {y_n}^(n)

y^(n-1)~=~C_1 {y_1}^(n-1)~+~C_2 {y_2}^(n-1)~+~...~+~C_{n-1} {y_{n-1}}^(n-1)~+~C_n {y_n}^(n-1)

.............................

y prime prime~=~C_1 {y_1}prime prime~+~C_2 {y_2}prime prime~+~...~+~C_{n-1} {y_{n-1}}prime prime~+~C_n {y_n}prime prime

y prime~=~C_1 {y_1}prime~+~C_2 {y_2}prime~+~...~+~C_{n-1} {y_{n-1}}prime~+~C_n {y_n}prime

y~=~C_1 y_1~+~C_2 y_2~+~...~+~C_{n-1} y_{n-1}~+~C_n y_n

Подставляем в исходное уравнение (1). При этом замечаем, что поскольку все функции yk удовлетворяют уравнению (1), то все члены, содержащие Ciyk(m) взаимно сокращаются. Остаются члены, содержащие производные от Ci(x):

a_0((C_1)^, {y_1}^(n-1)~+~(C_2)^, {y_2}^(n-1)~+~...~+~(C_n)^, {y_n}^(n-1))~=~f(x)

В результате мы получили систему линейных уравнений для производных Ci'(x):

(C_1)^, y_1~+~(C_2)^, y_2~+~...~+~(C_n)^, y_n~=~0

(C_1)^, {y_1}prime~+~(C_2)^, {y_2}prime~+~...~+~(C_n)^, {y_n}prime~=~0

.............................

(C_1)^, {y_1}^(n-2)~+~(C_2)^, {y_2}^(n-2)~+~...~+~(C_n)^, {y_n}^(n-2)~=~0

(C_1)^, {y_1}^(n-1)~+~(C_2)^, {y_2}^(n-1)~+~...~+~(C_n)^, {y_n}^(n-1)~=~{f(x)}/a_0

Решая ее, находим выражения для производных Ci'(x) как функции от x. Интегрируя

C_i(x) = int{~}{~}{(C_i)^, dx}~+~C_{0i}

получаем выражения для Ci(x). Где C0i - уже не зависящие от x постоянные. Подставляя Ci(x) в (3), получаем общее решение исходного уравнения.

 

Далее рассмотрены примеры решения уравнений методом Лагранжа.

Примеры

Решить уравнения методом вариации постоянных (Лагранжа).
y prime prime~+~2y prime~+~y~=~e^{-x} ~sqrt{x+1}

Решение > > >

y prime prime~+~y~=~tg{x}

Решение > > >

Опубликовано:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru