Теорема о разрывах производной
Теорема о разрывах производной
Если функция f (x) дифференцируема на интервале a < x < b,то ее производная не может иметь точек разрыва первого рода на этом интервале,
но может иметь точки разрыва второго рода.
То есть в точке x0 ∈ (a, b) производная или непрерывна, или имеет разрыв второго рода.
Доказательство
Доказательство отсутствия разрывов производной первого рода
Допустим противное, что в точке x0 ∈ (a, b) производная f ′(x) имеет разрыв первого рода. Согласно определению (см. Классификация точек разрыва) это означает, что существуют односторонние конечные пределы:
(1) limx → x0 – 0 f ′(x) = A– и limx → x0 + 0 f ′(x) = A+,
но
1) либо производной в x0 не существует,
2) либо хотя бы один из пределов не равен производной в этой точке:
A– ≠ f ′(x0) или(и) A+ ≠ f ′(x0).
Пункт 1) противоречит условию теоремы. Поскольку если функция f (x) дифференцируема в x0 ∈ (a, b), то существует производная в x0.
Поскольку существует производная в x0, то существуют равные производные слева и справа (см. Лемма об односторонних производных):
(2) f ′–(x0) ≡ limx → x0 – 0 f (x) – f (x0)x – x0 =
f ′+(x0) ≡ limx → x0 + 0 f (x) – f (x0)x – x0 =
f ′(x0) ≡ limx → x0 f (x) – f (x0)x – x0.
Поскольку существуют односторонние конечные пределы (1), то по теореме о пределе производной, они равны односторонним производным:
limx → x0 – 0 f ′(x) = f ′–(x0) limx → x0 – 0 f ′(x) = f ′–(x0).
Тогда в силу (2), односторонние пределы производной равны производной функции в x0, что противоречит предположению, что в этой точке разрыв первого рода.
Отсутствие разрывов 1 рода доказано.
Доказательство существования разрывов производной второго рода
Для доказательства приведем пример такого разрыва. Рассмотрим функцию
| x 2 sin 1x , | x ≠ 0 |
| 0, | x = 0 |
При x ≠ 0 ее производная определена в силу арифметических свойств производных и производной сложной функции.
Покажем, что производная имеет конечное значение 0 при x = 0.
f ′(0) = limx → 0 f (x) – f (0)x – 0 = limx → 0 x 2 sin 1x – 0x – 0 = limx → 0( x sin 1x ).
Поскольку limx → 0 x = 0, и | sin 1x | ≤ 1, то по теореме о произведении ограниченной функции на бесконечно малую,
f ′(0) = limx → 0( x sin 1x ) = 0.
Таким образом мы показали, что производная функции определена для всех x.
Но в точке x = 0 производная имеет разрыв второго рода, поскольку предела limx → 0 + 0 f ′(x) не существует. Покажем это.
Находим f ′(x) при x ≠ 0:
u = 1x; u ′ = ( 1x ) ′ = (x –1) ′ = –1 ⋅ x –2 = – 1x 2;
( sin 1x ) ′ = ( sin u(x) ) ′ = (sin u) ′u ⋅ u ′ = cos u ⋅ ( – 1x 2 ) = –x –2 cos 1x;
f ′(x) = ( x 2 sin 1x ) ′ = (x 2) ′ sin 1x + x 2 ( sin 1x ) ′ = 2x sin 1x – cos 1x;
f ′(x) = 2x sin 1x – cos 1x.
Возьмем последовательность { x1n : 1x1n = π2 + πn }. При n → ∞, x1n → 0 + 0. Поскольку limx → 0( x sin 1x ) = 0 и cos 1x1n = 0, то
limn → ∞ f ′(x1n) = limn → ∞( 2x1n sin 1x1n – cos 1x1n ) = 0 – 0 = 0.
Возьмем последовательность { x2n : 1x2n = 2πn }. При n → ∞, x2n → 0 + 0. Поскольку limx → 0( x sin 1x ) = 0 и cos 1x2n = 1, то
limn → ∞ f ′(x1n) = limn → ∞( 2x2n sin 1x2n – cos 1x2n ) = 0 – 1 = –1.
Мы нашли две последовательности {x1n} и {x2n}, сходящиеся к нулю справа. Поскольку пределы последовательностей { f ′(x1n)} и { f ′(x2n)} различны, {x1n} > 0, и {x2n} > 0, то предела limx → 0 + 0 f ′(x) не существует. См. Определение предела функции по Гейне
В заключении отметим, что если в x0 не существует производной, то в этой точке может быть скачек первого рода. Например, у функции f (x) = | x | ,
f ′(x) = –1 при x < 0;
f ′(x) = 1 при x > 0.
В точке x = 0 разрыв первого рода.
Использованная литература:
Я.М. Дымарский. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Функции одной переменной. Москва, МФТИ, 2020.
А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. Курс математического анализа. Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2001.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: