Методы вычисления неопределенных интегралов

Представлен обзор методов вычисления неопределенных интегралов. Рассмотрены основные методы интегрирования, которые включают в себя интегрирование суммы и разности, вынесение постоянной за знак интеграла, замену переменной, интегрирование по частям. Также рассмотрены специальные методы и приемы интегрирования дробей, корней, тригонометрических и показательных функций.

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная F(x) от функции f(x) – это такая функция, производная которой равна f(x) :
F′(x) = f(x), x ∈ Δ ,
где Δ – промежуток, на котором выполняется данное уравнение.

Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом:
∫  f (x ) dx = F(x ) + C ,
где C – постоянная, не зависящая от переменной x .

Основные формулы и методы интегрирования

Таблица интегралов

Конечная цель вычисления неопределенных интегралов - путем преобразований, привести заданный интеграл к выражению, содержащему простейшие или табличные интегралы.

Правило интегрирования суммы (разности)

∫ (u ± v ± w )dx = ∫ u dx ± ∫ v dx ± ∫ w dx .
Здесь и далее u, v, w – функции от переменной x .

Вынесение постоянной за знак интеграла

Пусть c – постоянная, не зависящая от x . Тогда ее можно вынести за знак интеграла: ∫ cu dx = c ∫ u dx

Замена переменной

Пусть x – функция от переменной t , x = φ(t) , тогда
∫  f (x ) dx = ∫  f (φ(t )) φ^′(t ) dt .
Или наоборот, t = φ(x) ,
∫  f (φ(x )) φ^′(x ) dx = ∫  f (φ(x ))  dφ(x )dx  dx = ∫  f (φ(x )) dφ(x ) = ∫  f (t ) dt .

С помощью замены переменной можно не только вычислить простые интегралы, но и упростить вычисление более сложных.

Правило интегрирования по частям

∫ u dv = uv – ∫ v du

Интегрирование дробей (рациональных функций)

Введем обозначение. Пусть P_k(x), Q_m(x), R_n(x) обозначают многочлены степеней k, m, n , соответственно, относительно переменной x .

Рассмотрим интеграл, состоящий из дроби многочленов (так называемая рациональная функция):
I = ∫ P_k (x )Q_n (x ) dx

Если k ≥ n , то сначала нужно выделить целую часть дроби:
P_k (x )Q_n (x ) = S_k – n (x ) + R_m (x )Q_n (x ) .
Интеграл от многочлена S_k-n(x) вычисляется по таблице интегралов.

См. подробнее: Деление многочленов уголком >>>

Остается интеграл:
I = ∫ R_m (x )Q_n (x ) dx ,     где m < n .
Для его вычисления, подынтегральное выражение нужно разложить на простейшие дроби.

Для этого нужно найти корни уравнения:
Q_n(x) = 0 .
Используя полученные корни, нужно представить знаменатель в виде произведения сомножителей:
Q_n(x) = s (x-a)^n_a (x-b)^n_b ... (x²+ex+f)^n_e (x²+gx+k)^n_g ...  .
Здесь s – коэффициент при xⁿ , x² + ex + f > 0 , x² + gx + k > 0 , ... .

См. подробнее: Методы разложения многочленов на множители >>>
Примеры разложения многочленов на множители >>>

После этого разложить дробь на простейшие:
R_m (x )Q_n (x ) = A₁(x – a )^n_a + A₂(x – a )^{n_a  – 1} +  ...   + A_nax – a + B₁(x – b )^n_b + B₂(x – b )^{n_b  – 1} +  ...   + B_nbx – b +  ...   + E₁ x + F₁(x²  + ex +  f )^n_e + E₂ x + F₂(x²  + ex +  f )^{n_e  – 1} +  ...   + E_ne x + F_nex²  + ex +  f + G₁ x + K₁(x²  + gx + k )^n_g + G₂ x + K₂(x²  + gx + k )^{n_g  – 1} +  ...   + G_ng x + K_ngx²  + gx + k +  ...

См. подробнее: Методы разложения рациональных дробей на простейшие >>>

Интегрируя, получаем выражение, состоящее из более простых интегралов.
Интегралы вида
∫ dx(x – a )ⁿ
приводятся к табличным подстановкой t = x – a .

Рассмотрим интеграл:
∫ Ex + F(x²  + ex +  f )ⁿ dx
Преобразуем числитель:
Ex + F = E2 (2x + e ) + F – Ee2 = E2 (x²  + ex +  f )^′ + F – Ee2 .
Подставляя в подынтегральное выражение, получаем выражение, в которое входят два интеграла:
∫ (x²  + ex +  f )^′(x²  + ex +  f )ⁿ dx ,
I_n  = ∫ dx(x²  + ex +  f )ⁿ .
Первый, подстановкой t = x² + ex + f приводится к табличному.
Второй, по формуле приведения:
(4 f  – e² )I_n  = 2n – 3n – 1 ⋅ 2I_n – 1  + 1n – 1 ⋅ 2x + e(x²  + ex +  f )^n – 1
приводится к интегралу
I₁  = ∫ dxx²  + ex +  f

Приведем его знаменатель к сумме квадратов:
x²  + ex +  f  = x²  + 2 e2 x + e²4 +  f  – e²4 = ( x + e2  )²  + ( √  f  – e²4   )² .
Тогда подстановкой   t = x + e2 , интеграл
I₁  = ∫ dxx²  + ex +  f
также приводится к табличному.

См. подробнее: Интегрирование простейших дробей >>>
Примеры интегрирования рациональных функций >>>

Интегрирование иррациональных функций

Введем обозначение. Пусть R( u₁, u₂, ... , u_n ) означает рациональную функцию от переменных u₁, u₂, ... , u_n . То есть
R(u₁ , u₂ ,..., u_n ) = P(u₁ , u₂ ,..., u_n )Q(u₁ , u₂ ,..., u_n ) ,
где P, Q – многочлены от переменных u₁, u₂, ... , u_n .

Дробно-линейная иррациональность

Рассмотрим интегралы вида:
∫ R( x, ( ax + bcx + d  )^r₁ ,...,    ( ax + bcx + d  )^r_s  )dx ,
где r₁  = m₁n₁ ,..., r_s  = m_sn_s   – рациональные числа, m₁, n₁, ..., m_s, n_s – целые числа.
Пусть n – общий знаменатель чисел r₁, ..., r_s .
Тогда интеграл сводится к интегралу от рациональных функций подстановкой:
tⁿ  = ax + bcx + d .

См. подробнее: Интегрирование дробно-линейной иррациональности >>>

Интегралы от дифференциальных биномов

Рассмотрим интеграл:
I_m, p  = ∫ x^m (axⁿ  + b )^p dx ,
где m, n, p – рациональные числа, a, b – действительные числа.
Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях.

  1)   Если p – целое. Подстановка x = t ^N , где N – общий знаменатель дробей m и n .
  2)   Если m + 1n – целое. Подстановка a x ⁿ + b = t ^M , где M – знаменатель числа p .
  3)   Если m + 1n + p – целое. Подстановка a + b x ^{– n} = t ^M , где M – знаменатель числа p .

Если ни одно из трех чисел   p,  m + 1n ,  m + 1n + p   не является целым числом, то по теореме Чебышева интегралы данного вида не могут быть выражены конечной комбинацией элементарных функций.

В ряде случаев, сначала бывает полезным привести интеграл к более удобным значениям m и p . Это можно сделать с помощью формул приведения:
a(m + np + 1 )I_m, p  = x^{m – n + 1} (axⁿ  + b )^p + 1  – b(m – n + 1 )I_{m – n, p} ;
(m + np + 1 )I_m, p  = x^m + 1 (axⁿ  + b )^p  + bnpI_{m, p – 1} .

См. подробнее: Интегрирование дифференциального бинома >>>

Интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена

Здесь мы рассматриваем интегралы вида:
∫ R( x, √ ax²  + bx + c   )dx ,

Подстановки Эйлера

Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:
√ ax²  + bx + c  = x √ a  + t  , при a > 0 ;
√ ax²  + bx + c  = √ c  + tx  , при c > 0 ;
√ ax²  + bx + c  = t(x – x₁ )  , где x₁ – корень уравнения a x² + b x + c = 0 . Если это уравнение имеет действительные корни.

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Также эти интегралы можно вычислить с помощью тригонометрических и гиперболических подстановок. В некоторых случаях этот способ вычисления интеграла является самым простым.

Прямые методы

В большинстве случаев, подстановки Эйлера приводят к более длинным вычислениям, чем прямые методы. С помощью прямых методов интеграл приводится к одному из перечисленных ниже видов.

I тип

Интеграл вида:
∫ P_n (x ) dx√ ax²  + bx + c  ,
где P_n(x) – многочлен степени n .

Такие интегралы находятся методом неопределенных коэффициентов, используя тождество:
∫ P_n (x ) dx√ ax²  + bx + c  = (A₁ x^n – 1  + A₂ x^n – 2  + ...  + A_n ) ⋅ √ ax²  + bx + c  + A_n + 1 ∫ dx√ ax²  + bx + c 
Дифференцируя это уравнение и приравнивая левую и правую части, находим коэффициенты A_i .

II тип

Интеграл вида:
∫ P_m (x ) dx(x – α )ⁿ √ ax²  + bx + c  ,
где P_m(x) – многочлен степени m .

Подстановкой   t = (x – α)^–1 этот интеграл приводится к предыдущему типу. Если m ≥ n , то у дроби   P_m (x )(x – α )ⁿ   следует выделить целую часть.

III тип

Третий и наиболее сложный тип:
∫ (Mx + N ) dx(x²  + px + q )ⁿ √ ax²  + bx + c  .

Здесь нужно сделать подстановку:
x = αt + βt + 1 .
После чего интеграл примет вид:
∫ P_2n – 1 (t ) dt(At²  + Bt + C )ⁿ √ A₁ t²  + B₁ t + C₁ .
Далее, постоянные α, β нужно выбрать такими, чтобы коэффициенты при t обратились в нуль:
B = 0,   B₁ = 0 .
Тогда интеграл распадается на сумму интегралов двух видов:
∫ t^2ν + 1  dt(At²  + C )ⁿ √ A₁ t²  + C₁  ;
∫ t^2ν  dt(At²  + C )ⁿ √ A₁ t²  + C₁  ,
которые интегрируются, соответственно подстановками:
z ² = A₁t ² + C₁ ;
y ² = A₁ + C₁ t ^–2 .

Общий случай

Самый общий интеграл вида:
∫ R( x, √ ax²  + bx + c   )dx ,
сводится к интегралам трех предыдущих типов. Для этого достаточно, уничтожая иррациональность в знаменателе, преобразовать подынтегральную функцию к виду:
φ(x) + ψ(x)y ,
где φ(x), ψ(x) – рациональные функции от x , y = √ ax²  + bx + c  . Далее,
ψ(x )y = ψ(x )y²y = ψ(x )(ax²  + bx + c )y = ω(x )√ ax²  + bx + c  ,
где ω(x) – рациональная дробь. В последнем интеграле рациональную дробь ω(x) можно преобразовать выделением целой части и разложением на простейшие дроби. После этого получаются интегралы трех рассмотренных типов.

Интегрирование трансцендентных (тригонометрических и показательных) функций

Заранее отметим, что те методы, которые применимы для тригонометрических функций, также применимы и для гиперболических функций. По этой причине мы не будем рассматривать интегрирование гиперболических функций отдельно.

Интегрирование рациональных тригонометрических функций от cos x и sin x

Рассмотрим интегралы от тригонометрических функций вида:
∫ R( cos x, sin x  )dx ,
где R – рациональная функция. Сюда также могут входить тангенсы и котангенсы, которые следует преобразовать через синусы и косинусы.

При интегрировании таких функций полезно иметь в виду три правила:
  1)   если R( cos x, sin x ) умножается на   –1 от перемены знака перед одной из величин cos x или sin x , то полезно другую из них обозначить через t .
  2)   если R( cos x, sin x ) не меняется от перемены знака одновременно перед cos x и sin x , то полезно положить tg x = t или ctg x = t .
  3)   подстановка   tg x2 = t   во всех случаях приводит к интегралу от рациональной дроби. К сожалению, эта подстановка приводит к более длинным вычислениям чем предыдущие, если они применимы.

См. подробнее: Интегрирование рациональных тригонометрических функций >>>

Произведение степенных функций от cos x и sin x

Рассмотрим интегралы вида:
I_n, m  = ∫ sin^m x cosⁿ x dx

Если m и n – рациональные числа, то одной из подстановок t = sin x или t = cos x интеграл сводится к интегралу от дифференциального бинома.

Если m и n – целые числа, то интегралы вычисляются интегрированием по частям. При этом получаются следующие формулы приведения:

(m + n )I_m, n  = – sin^m – 1 x  cos^n + 1 x + (m – 1 )I_{m – 2, n} ;
(m + n )I_m, n  = sin^m + 1 x  cos^n – 1 x + (n – 1 )I_{m, n – 2} ;
(n + 1 )I_m, n  = – sin^m – 1 x  cos^n + 1 x + (m – 1 )I_{m – 2, n + 2} ;
(m + 1 )I_m, n  = sin^m + 1 x  cos^n – 1 x + (n – 1 )I_{m + 2, n – 2} .

См. подробнее: Интегрирование произведения степенных функций от sin x и cos x >>>

Интегрирование по частям

Интегралы, содержащие логарифм или обратные тригонометрические функции:
ln φ , arcsin φ , arctg φ , и т.д., где φ – некоторая алгебраическая функция от x , нередко интегрируются по частям, полагая u = ln φ , u = arcsin φ , u = arctg φ , и т.д.
Подробнее: Примеры решения интегралов по частям, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции >>>

Также по частям находятся интегралы вида:
∫ P(x )e^ax  dx ,   ∫ P(x ) cos ax dx ,   ∫ P(x ) sin ax dx ,
где P(x) – многочлен от x .
См. подробнее: Примеры решения интегралов по частям, содержащих произведение многочлена на sin x, cos x или e^x >>>

Применение формулы Эйлера

Если подынтегральное выражение линейно относительно одной из функций
cos ax или sin ax , то удобно применить формулу Эйлера:
e^iax = cos ax + isin ax (где i² = –1),
заменив эту функцию на e ^iax и выделив действительную (при замене cos ax ) или мнимую часть (при замене sin ax ) из полученного результата.

Таким способом удобно находить интегралы вида
∫ P(x ) cos ax e^bx  dx ,   ∫ P(x ) sin ax e^bx  dx ,
где P(x) – многочлен от x .
См. подробнее: Интегрирование произведения многочлена, экспоненты и синуса или косинуса >>>

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 27-09-2014