Методы решения физико-математических задач

Производная функции в точке – определения, теоремы и свойства

Определение производной функции
Приводятся формулировки определений, теорем и свойств производной функции одной переменной в точке. Даны методы вычислений производных и формулы производных элементарных функций. Рассмотрены производные и дифференциалы высших порядков.

Определение производной

Производная функции в точке
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x.
Производной f′(x) функции f(x) в точке x называется конечный предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, когда последний стремится к нулю:
(1)   .
Приращение аргумента функции
в точке x – это разность значений аргумента в некоторой точке и точке x:
.
Приращение аргумента является независимой переменной.
Приращение функции
в точке x – это разность значений функции в некоторой точке и точке x: .
Приращение функции является зависимой переменной. Оно зависит от и , или от и .
Дифференцирование
– это процесс вычисления производной.

Обозначение производной

Производная функции может обозначаться так:
.

Односторонние производные

Правая (левая) производная функции f в точке x
Пусть функция f(x) определена в правой окрестности точки x. Тогда правой производной функции f в точке x называется правый предел
.
Соответственно, если функция определена в левой окрестности x, то левой производной функции f в точке x называется левый предел
.
Правую (левую) производную также называют производной справа (слева) в точке x, или правосторонней (левосторонней) производной в точке x.
Лемма об односторонних производных
Функция имеет в точке x производную тогда и только тогда, когда
она имеет в этой точке производные справа и слева, и они равны:
.
При этом
.
Доказательство
Следствие о неравных односторонних производных
Если функция имеет в точке x не равные односторонние производные:
,
то она не имеет производной в этой точке.
Доказательство

Дифференцируемые функции в точке

Дифференцируемая функция в точке
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки .
Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной функции от и о-малого по сравнению с :
(1)   .
Здесь – действительная величина, зависящая от , но не от ; ;
– о-малое по сравнению с при . То есть
,   где .
Теорема о существовании производной дифференцируемой функции
Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда
в этой точке существует производная . При этом
.
Доказательство
Теорема о непрерывности дифференцируемой функции
Пусть функция дифференцируема в точке .
Тогда она непрерывна в этой точке.
Доказательство

Дифференциал функции в точке

Дифференциал функции в точке
Пусть функция дифференцируема в некоторой точке .
Тогда ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной функции от приращения ее аргумента и бесконечно малой функции по сравнению с :
(1)   .
Дифференциалом функции в точке называется главная линейная часть приращения функции, соответствующая приращению независимой переменной :
.
То есть это приращение функции, в котором опущены слагаемые, содержащие бесконечно малые величины по сравнению с приращением аргумента .
Дифференциал обозначается как или , и является функцией двух переменных: и . Он также называется дифференциалом первого порядка или первым дифференциалом.
Дифференциал независимой переменной
– это приращение аргумента функции:
.

Дифференциал – это вспомогательная функция, используемая для сокращения математических выкладок, связанных с приращениями. С ним связаны некоторые отступления от общих правил в обозначениях, направленные на сокращение формы записи отдельных формул.

Поскольку дифференциал зависит от двух переменных, то его следовало бы писать как . Однако, переменную , как правило, опускают и пишут сокращенно . При этом всегда подразумевают ее присутствие. Если пишут , то под этим всегда подразумевают . То есть сначала мы вводим переменную, являющуюся приращением аргумента функции, которую обозначают как . А затем, используя две переменные, определяем дифференциал.

Инвариантность формы первого дифференциала
Пусть функцию можно представить как сложную: .
Тогда дифференциал первого порядка функции, выраженный через переменную имеет ту же форму, что и дифференциал, выраженный через переменную :
.
Или используя обозначения переменных:
.

Геометрический смысл производной и дифференциала

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

1. Если существует конечная производная функции в точке ,
то она равна тангенсу угла между осью абсцисс x и наклонной касательной, проведенной к графику функции в точке . При этом угол считается положительным, если график касательной возрастает; угол отрицательный – если убывает. Другими словами, производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной графика функции в точке , а уравнение касательной имеет вид:
.
2. Если производная функции в точке равна бесконечности: ,
то в этой точке график имеет вертикальную касательную, описываемую уравнением
.
Геометрический смысл дифференциала функции
Дифференциал функции в точке x0 – это приращение ординаты касательной, проведенной к графику в этой точке.

Геометрический смысл дифференциала

Если существует конечная производная функции в точке ,
то дифференциал функции в точке – это приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке , соответствующее приращению аргумента .
Дифференциал независимой переменной – это приращение аргумента функции: .

Методы вычисления производных

Пусть – функции от ; – постоянная, не зависящая от величина.

  суммы и разности
  произведения
  формула Лейбница
,   при   дроби
  постоянной


,   при

,   где   сложной функции
  обратной функции
;     логарифмическая производная
  степенно-показательной функции
Пусть . Тогда
  производная функции, заданной параметрическим способом
Пусть зависимость от задана уравнением   .
Тогда
  неявной функции

Производные элементарных функций

Теорема о производных элементарных функций

Далее и являются постоянными.

  степенной функции
;
  экспоненты и показательной функции
;    
;       логарифма
  синуса
  косинуса
  тангенса
  котангенса

  арксинуса и арккосинуса

  арктангенса и арккотангенса







Производные и дифференциалы высших порядков

Производные высших порядков

Определение

Поскольку производная сама является функцией от переменной , то можно дать определение производной от производной, которая называется производной второго порядка.

Производная второго порядка функции
Пусть для функции , в окрестности некоторой точки , определена ее производная . И пусть имеет производную в этой точке.
Второй производной функции в точке называется производная от первой производной в этой точке:
.
Вторую производную также называют производной второго порядка функции.
Производная n-го порядка функции
Пусть для функции , в окрестности некоторой точки , определена ее n–1-я производная . И пусть функция имеет производную в этой точке.
n-й производной функции в точке называется производная от n-1-й производной в этой точке:
.
n-ю производную также называют производной n-го порядка функции или производной порядка n функции.

Обозначения

Производная функции второго порядка может обозначаться так:
.
Третьего порядка:
.
Для производных более высоких порядков вместо штрихов используются римские цифры. Например, для четвертого порядка:
.
Для произвольного n-го порядка:
.

При этом стоит иметь в виду, что обозначение является принятым сокращением, под которым подразумевают следующее:
.

Дифференциалы высших порядков

Рассмотрим функцию .
Что такое ее дифференциал в точке ?
– Это вспомогательная функция, часто используемая в вычислениях, зависящая от двух переменных: и .
Как найти значение дифференциала в точке ?
– Для этого надо взять произвольное значение приращения . Тогда дифференциал функции в точке определяется по формуле:
.

Зафиксируем приращение аргумента. Положим, что оно является постоянной . Тогда дифференциал будет функцией только от :
.
И мы можем построить от него дифференциал. Для этого возьмем произвольное значение приращения и определим значение дифференциала:
.
Мы получили новую функцию . Ее значение определяется тремя величинами: и . То есть эта функция зависит от трех переменных. Обозначим ее как . Поскольку переменные и являются независимыми, то мы можем присвоить им любые значения, или установить между ними связь. Свяжем их равенством: . В результате получим функцию, зависящую от двух переменных – и , которая и называется дифференциалом функции второго порядка, или вторым дифференциалом:
.

Почему мы приравняли приращения и ?
– Потому что дифференциал является вспомогательной функцией, используемой для упрощения промежуточных вычислений. Для этих целей нам нет необходимости использовать две переменные для приращений. Поэтому мы их приравняли, и получили более простую функцию, которую удобно использовать:
.

Дифференциал второго порядка функции
Пусть в окрестности некоторой точки определена производная функции . Тогда в этой окрестности определен первый дифференциал функции, который зависит от аргумента и его приращения :
.
Пусть производная дифференцируема в точке .
Вторым дифференциалом функции в точке называется дифференциал от первого дифференциала по переменной , приращение которого равно приращению первого дифференциала:

.
Второй дифференциал также называют дифференциалом второго порядка функции.
Дифференциал n-го порядка функции
Пусть в окрестности некоторой точки определена производная порядка n–1 функции . Тогда в этой окрестности определен n–1-й дифференциал функции, который зависит от аргумента и его приращения :
.
Пусть производная дифференцируема в точке .
n-м дифференциалом функции в точке называется дифференциал от n–1-го дифференциала по переменной , приращение которого равно приращению n–1-го дифференциала:


.
n-й дифференциал также называют дифференциалом n-го порядка функции.

Таким образом, n-й дифференциал функции в точке – это вспомогательная функция, зависящая от двух переменных – и , определяемая по формуле:
.
Обратим внимание на то, что в формуле справа стоит общепринятое обозначение записи дифференциала, которое может привести к путанице. Правильная формула имеет вид:
.
Но скобки часто опускают, и пишут
.
Важно помнить, что
.
То есть выражение означает , а не .

Не инвариантность форм дифференциалов высших порядков
Пусть функцию можно представить как сложную: .
Тогда дифференциал второго порядка функции, выраженный через переменную имеет форму, отличную от дифференциала, выраженного через переменную :
,
или
.
То есть формы дифференциалов второго и, следовательно, высших порядков не инвариантны при замене переменной.

Важные формулы производной n-го порядка


  формула Лейбница

Производные высших порядков элементарных функций.
  показательной функции
  натурального логарифма
  степенной функции
  синуса
  косинуса
, где   тангенса
, где   котангенса
,
где – многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
.
Здесь
  арксинуса и арккосинуса

  арктангенса и арккотангенса

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. Курс математического анализа. Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2001.

.     Опубликовано:

Меню