Производная функции в точке – определения, теоремы и свойства
Определение производной
- Производная функции в точке
- Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.
Производной функции f(x) в точке x0 называется конечный предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, когда последний стремится к нулю:
(1) f ′(x0) = limΔx → 0 Δ f Δx = limΔx → 0 f (x0 + Δx) – f (x0)Δx = limx1 → x0 f (x1) – f (x0)x1 – x0.
- Приращение аргумента функции
- f (x) в точке x0 – это разность значений аргумента в некоторой точке x1 и точке x0:
Δx = x1 – x0.
Приращение аргумента является независимой переменной. - Приращение функции
- f (x) в точке x0 – это разность значений функции в некоторой точке x1 = x0 + Δx и точке x0: Δ f = f (x0 + Δx) – f (x0) = f (x1) – f (x0).
Приращение функции является зависимой переменной. Оно зависит от x0 и Δx, или от x0 и x1. - Дифференцирование
- – это процесс вычисления производной.
Обозначение производной
Производная функции y = f (x) может обозначаться так:
y ′, y ′x, yx, dydx, f ′(x), ( f (x)) ′, df dx (x), D y, D f (x).
Односторонние производные
- Правая (левая) производная функции f в точке x0
- Пусть функция f(x) определена в правой окрестности точки x0. Тогда правой производной функции f в точке x0 называется правый предел
f ′+(x0) = limΔx → 0 + 0 Δ f Δx = limΔx → 0 + 0 f (x0 + Δx) – f (x0)Δx = limx1 → x0 + 0 f (x1) – f (x0)x1 – x0.
Соответственно, если функция определена в левой окрестности x0, то левой производной функции f в точке x0 называется левый предел
f ′–(x0) = limΔx → 0 – 0 Δ f Δx = limΔx → 0 – 0 f (x0 + Δx) – f (x0)Δx = limx1 → x0 – 0 f (x1) – f (x0)x1 – x0.
Правую (левую) производную также называют производной справа (слева) в точке x0, или правосторонней (левосторонней) производной в точке x0.
она имеет в этой точке производные справа и слева, и они равны:
f ′+(x0) = f ′–(x0).
При этом
f ′(x0) = f ′+(x0) = f ′–(x0).
Доказательство
f ′+(x0) ≠ f ′–(x0),
то она не имеет производной в этой точке.
Доказательство
Дифференцируемые функции в точке
- Дифференцируемая функция в точке
- Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.
Функция f называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной функции от Δx и о-малого по сравнению с Δx:
(1) Δ f (x0, Δx) ≡ f (x0 + Δx) – f (x0) = A(x0)Δx + o(Δx).
Здесь A(x0) – действительная величина, зависящая от x0, но не от Δx; A(x0) ∈ R;
o(Δx) – о-малое по сравнению с Δx при Δx → 0. То есть
Δ f (x0, Δx) = A(x0)Δx + ε(x0, Δx), где limΔx → 0 ε(x0, Δx)Δx = 0.
в этой точке существует производная f ′(x0). При этом
Δ f (x0, Δx) ≡ f (x0 + Δx) – f (x0) = f ′(x0)Δx + o(Δx).
Доказательство
Тогда она непрерывна в этой точке.
Доказательство
Тогда в этой точке
( f (x) ± g(x)) ′ = f ′(x) ± g ′(x) производная суммы функций
( f (x) ⋅ g(x)) ′ = g(x) ⋅ f ′(x) + f (x) ⋅ g ′(x) производная произведения
( f (x)g(x) ) ′ = g(x) f ′(x) – f (x) g ′(x)g 2 (x), при g(x) ≠ 0 производная частного
(Cf (x)) ′ = C f ′(x) вынесение постоянной за знак производной
Тогда сложная (составная) функция y = f (x) = g(t(x)) имеет производную в точке x0, которая определяется по формуле:
f ′(x0) = g ′(t0) ⋅ t ′(x0).
Доказательство
Производную сложной функции также можно записать так:
dydx = dydt ⋅ dtdx.
Дифференциал функции в точке
Определение
- Дифференциал функции в точке
- Пусть функция y = f (x) дифференцируема в некоторой точке x0.
Тогда ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной функции от приращения ее аргумента Δx и бесконечно малой функции по сравнению с Δx:
Δ f (x0, Δx) ≡ f (x0 + Δx) – f (x0) = f ′(x0)Δx + o(Δx).
Дифференциалом df функции f (x) в точке x0 называется главная линейная часть приращения функции, соответствующая приращению Δx независимой переменной x:
df = f ′(x0)Δx.
То есть это приращение функции, в котором опущены слагаемые, содержащие бесконечно малые величины по сравнению с приращением аргумента Δx.
Дифференциал в точке x обозначается как dy, df или df (x), и является функцией двух переменных: x и Δx. Он также называется дифференциалом первого порядка или первым дифференциалом.
- Дифференциал независимой переменной
- – это приращение аргумента функции:
dx = Δx.
Он является независимой переменной.
Дифференциал функции y = f (x) в точке x можно записать в одной из следующих форм.
df (x) = f ′(x) dx;
df = f ′(x) dx;
dy = f ′(x) dx;
dy = dydx dx.
Что такое дифференциал функции? В чем суть дифференциала?
Дифференциал функции в точке – это приращение функции в точке, в котором отброшены о - малые функции по сравнению с приращением независимой переменной, при ее стремлении к нулю.
Первый дифференциал функции – это выражение, в котором оставлена только линейная часть приращения независимой переменной.
Также говорят, что
Дифференциалы – это бесконечно малые приращения.
Свойства
Тогда в этой точке
d ( f (x) ± g(x)) = df (x) ± dg(x) (дифференциал суммы функций);
d ( f (x) ⋅ g(x)) = g(x) ⋅ df (x) + f (x) ⋅ dg(x) (дифференциал произведения);
d( f (x)g(x) ) = g(x) df (x) – f (x) dg(x)g 2 (x), при g(x) ≠ 0 (дифференциал частного).
Постоянный множитель можно выносить из-под знака дифференциала:
d (Cf (x)) = C df (x).
Доказательство
При этом функция t(x) имеет производную в точке x0, а функция g имеет производную в точке t0 = t(x0).
Тогда дифференциал первого порядка функции, выраженный через переменную x имеет ту же форму, что и дифференциал, выраженный через переменную t:
dy = f ′x (x0) dx = g ′t (t0) dt.
Эту формулу можно записать так:
dy = dydx dx = dydt dt.
Доказательство
Геометрический смысл производной и дифференциала
то она равна тангенсу угла между осью абсцисс x и наклонной касательной, проведенной к графику функции в точке x0. При этом угол считается положительным, если график касательной возрастает; угол отрицательный – если убывает. Другими словами, производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной графика функции в точке x0, а уравнение касательной имеет вид:
y = f (x0) + f ′(x0)(x – x0).
2. Если производная функции f (x) в точке x = x0 равна бесконечности: f ′(x0) = ∞,
то в этой точке график имеет вертикальную касательную, описываемую уравнением
x = x0.
Доказательство
то дифференциал dy функции в точке x0 – это приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке x0, соответствующее приращению аргумента Δx.
Дифференциал dx независимой переменной x – это приращение аргумента функции: dx = Δx.
Доказательство
Методы вычисления производных
Пусть u, v – функции от x; и пусть они имеют производную в точке x0; C – постоянная, не зависящая от x величина.
Тогда в точке x0 имеют место следующие формулы.
( u ± v ) ′ = u ′ ± v ′ суммы и разности
( uv ) ′ = u ′v + uv ′ произведения
(uv) (n) = nΣk = 0 n!(n – k)!k! u (n – k) v (k) формула Лейбница
( uv ) ′ = u ′v – uv ′v 2, при v(x) ≠ 0 дроби
C ′ = 0; ( Cu ) ′ = Cu ′ постоянной
d(u ± v) = du ± dv
d(u ⋅ v) = vdu + udv
d( uv ) = vdu – udvv 2, при v(x) ≠ 0
dC = 0; d( Cu ) = Cdu
dydx = dydu ⋅ dudx, где y = f (x) = g(u(x)) сложной функции
dydx = 1 dxdy обратной функции
( ln y ) ′ = 1y y ′; y ′ = y ( ln y ) ′ логарифмическая производная
( u v ) ′ = vu v – 1 u ′ + u v v ′ ln u степенно-показательной функции
Пусть x = x(t); y = y(t). Тогда
dydx = dydt dxdt производная функции, заданной параметрическим способом
Пусть зависимость y от x задана уравнением F(x, y) = 0.
Тогда
dydx = – ∂F∂x∂F∂y неявной функции
Производные элементарных функций
Теорема о производных элементарных функций
Далее C и a являются постоянными.
(C) ′ = 0
( x a ) ′ = ax a – 1 степенной функции
( e x ) ′ = e x;
( a x ) ′ = a x ln a экспоненты и показательной функции
( ln x ) ′ = 1x; ( ln | x | ) ′ = 1x
( loga x ) ′ = 1x ln a; ( loga | x | ) ′ = 1x ln a логарифма
( sin x ) ′ = cos x синуса
( cos x ) ′ = –sin x косинуса
( tg x ) ′ = 1cos 2 x тангенса
( ctg x ) ′ = – 1sin 2 x котангенса
( arcsin x ) ′ = 1√ 1 – x 2
( arccos x ) ′ = – 1√ 1 – x 2 арксинуса и арккосинуса
( arctg x ) ′ = 11 + x 2
( arcctg x ) ′ = – 11 + x 2 арктангенса и арккотангенса
( sh x ) ′ = ch x
( ch x ) ′ = sh x
( th x ) ′ = 1ch 2 x
( cth x ) ′ = – 1sh 2 x
( arsh x ) ′ = ( ln( x + √ x 2 + 1 ) ) ′ = 1√ x 2 + 1
( arch x ) ′ = ( ln( x ± √ x 2 – 1 ) ) ′ = ± 1√ x 2 – 1
( arth x ) ′ = ( 12 ln 1 + x1 – x ) ′ = 11 – x 2
( arcth x ) ′ = ( 12 ln x + 1x – 1 ) ′ = 11 – x 2
Производные и дифференциалы высших порядков
Производные высших порядков
Определение
Поскольку производная f ′(x) сама является функцией от переменной x, то можно дать определение производной от производной, которая называется производной второго порядка.
- Производная второго порядка функции
- Пусть для функции f (x), в окрестности некоторой точки x0, определена ее производная f ′(x). И пусть f ′(x) имеет производную в этой точке.
Второй производной функции f (x) в точке x0 называется производная от первой производной в этой точке:
f ′′(x0) = limΔx → 0 f ′(x0 + Δx) – f ′(x0)Δx.
Вторую производную также называют производной второго порядка функции. - Производная n-го порядка функции
- Пусть для функции f (x), в окрестности некоторой точки x0, определена ее n–1-я производная f (n – 1) (x). И пусть функция f (n – 1) (x) имеет производную в этой точке.
n-й производной функции f (x) в точке x0 называется производная от n-1-й производной в этой точке:
f (n) (x0) = limΔx → 0 f (n – 1) (x0 + Δx) – f (n – 1) (x0)Δx.
n-ю производную также называют производной n-го порядка функции или производной порядка n функции.
Обозначения
Производная функции y = f (x) второго порядка в точке x может обозначаться так:
y ′′, y ′′xx, yxx, d 2 ydx 2, f ′′(x), d 2 f dx 2 (x).
Третьего порядка:
y ′′′, y ′′′xxx, yxxx, d 3 ydx 3, f ′′′(x), d 3 f dx 3 (x).
Для производных более высоких порядков вместо штрихов используются римские цифры. Например, для четвертого порядка:
y IV, d 4 ydx 4, f IV (x), d 4 f dx 4 (x).
Для произвольного n-го порядка:
y (n), d n ydx n, f (n) (x), d n f dx n (x).
При этом стоит иметь в виду, что обозначение d n ydx n является принятым сокращением, под которым подразумевают следующее:
d n ydx n ≡ d n y(dx) n ≡ ( ddx ) n y ≡ ddx ( ddx (⋅ ⋅ ⋅( dydxn раз)⋅ ⋅ ⋅)).
Арифметические свойства
Здесь f , f 1, f 2, . . . f m – функции, зависящие от переменной x; C – постоянная.
Производная суммы и разности:
( f 1 ± f 2) (n) = f (n)1 ± f (n)2.
Вынесение постоянной за знак производной:
(Cf ) (n) = Cf (n).
Производная произведения (формула Лейбница)
( f 1 ⋅ f 2) (n) = nΣk = 0 n!(n – k)!k! f (n – k)1 f (k)2 = f (n)1 + nf (n – 1)1 f ′2 + n(n – 1)2 f (n – 2)1 f ′′2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f (n)2.
Производная произведения m функций:
( f 1 ⋅ f 2 ⋅ ⋅ ⋅ f m) (n) = ΣΣ ki = n n!k1 !k2 !⋅ ⋅ ⋅km ! f (k1)1 ⋅ f (k2)2 ⋅ ⋅ ⋅ f (km)m.
Суммирование ведется по всем возможным целым неотрицательным значениям k1, k2, . . .km, сумма которых равна n.
Производные высших порядков элементарных функций
( a x ) (n) = a x ln n a показательной функции
( ln x ) (n) = (–1) n – 1 (n – 1)!x n натурального логарифма
( x m ) (n) = m (m – 1) ... (m – n + 1) x m – n степенной функции
( sin x ) (n) = sin( x + nπ2 ) синуса
( cos x ) (n) = cos( x + nπ2 ) косинуса
y (n) = [ ( 1 + y 2 ) ddy ] n y, где y = tg x тангенса
y (n) = (–1) n [ ( 1 + y 2 ) ddy ] n y, где y = ctg x котангенса
(arcsin x ) (n) = pn (x)( 1 – x 2 ) n – 12,
где pn (x) – многочлен степени n – 1. Он определяется по формулам:
p2m + 1 (x) = A [1 + mΣk = 1 (m!) 2(2k)!( (m – k)! ) 2 (2x) 2k];
p2m (x) = Ax [1 + m – 1Σk = 1 ((m – 1)!) 2(2k + 1)!( (m – k – 1)! ) 2 (2x) 2k].
Здесь A = [1 ⋅ 3 ⋅ 5⋅ ⋅ ⋅(2m – 1)] 2 ≡ [(2m – 1)!!] 2
(arccos x ) (n) = –(arcsin x ) (n) арксинуса и арккосинуса
(arctg x) (n) = (–1) n + 1 (n – 1)! ⋅ Im (x + i) n(1 + x 2) n
(arcctg x) (n) = –(arctg x) (n) = (–1) n (n – 1)! ⋅ Im (x + i) n(1 + x 2) n арктангенса и арккотангенса
Дифференциалы высших порядков
Определение
- Дифференциал n-го порядка функции в точке
- Пусть функция y = f (x) n раз дифференцируема в точке x0.
Дифференциалом n-го порядка d n f функции в точке x0 называется дифференциал от дифференциала n – 1 - го порядка в этой точке при следующих ограничениях.
1. Считается, что дифференциал n – 1 - го порядка является функцией, зависящей только от одной переменной – аргумента функции x. То есть дифференциал независимой переменной dx рассматривается как постоянная.
2. Приращение аргумента δx приравнивается к приращению аргумента dx дифференциала n – 1-го порядка.
Дифференциал n-го порядка также называют n-м дифференциалом функции в точке. Он обозначается одним из способов:
d n y ≡ d n f ≡ d n f (x0),
и определяется по формуле:
(2.4) d n y = f (n) (x0)(dx) n ≡ f (n) (x0)dx n.
Значение выражения dx n зависит от контекста, в котором оно применяется.
Если оно применяется при вычислении n - го дифференциала, то
dx n ≡ (dx) n.
Если это первый дифференциал функции f (x) = x n, то
dx n ≡ d(x n) = (x n) ′dx = nx n – 1 dx.
Свойства
Дифференциал суммы и разности.
d n ( f 1 ± f 2) = d n f 1 + d n f 2.
Вынесение постоянной за знак дифференциала.
d n (Cf ) = Cd n f .
Дифференциал произведения двух функций.
d n ( f 1 ⋅ f 2) = d n f 1 ⋅ f 2 + nd n – 1 f 1 ⋅ df 2 + n(n – 1)2! d n – 2 f 1 ⋅ d 2 f 2 + ⋅ ⋅ ⋅ +
n!(n – k)!k! d n – k f 1 ⋅ d k f 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f 1 ⋅ d n f 2.
Дифференциал произведения m функций.
d n ( f 1 ⋅ f 2 ⋅ ⋅ ⋅ f m) = ΣΣ ki = n n!k1 !k2 !⋅ ⋅ ⋅km ! d k1 f 1 ⋅ d k2 f 2 ⋅ ⋅ ⋅d km f m.
Суммирование ведется по всем возможным целым значениям k1, k2, . . .km, сумма которых равна n, и каждое из которых заключено в пределах 0 ≤ ki ≤ n.
Связь дифференциалов с формулой Тейлора
Δ f = df + 12! d 2 f + 13! d 3 f + ⋅ ⋅ ⋅ + 1n! d n f + ⋅ ⋅ ⋅.
Здесь Δ f = f (x0 + Δx) – f (x0) – приращение функции в точке x0;
dx = Δx – дифференциал независимой переменной, который по определению является ее приращением.
При этом функции f , t и g дифференцируемы n раз в точках x0, x0 и t0 = t(x0), соответственно.
И пусть n > 1.
Тогда форма дифференциала n - го порядка функции, выраженной через переменную x, при n > 1, не совпадает с формой дифференциала этого же порядка, выраженного через переменную t:
d n y = d n ydx n (dx) n ≠ d n ydt n (dt) n.
Доказательство
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. Курс математического анализа. Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2001.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: