Теорема о пределе производной

Теорема о пределе производной

1. Пусть функция дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки ,
непрерывна в этой точке,
и существует конечный предел производной
,
то существует производная в , равная этому пределу:
.

2. Если функция дифференцируема в левой проколотой окрестности точки ,
непрерывна слева в этой точке,
и существует конечный левый предел производной
,
то существует левая производная в , равная этому пределу:
.

3. Если функция дифференцируема в правой проколотой окрестности точки ,
непрерывна справа в этой точке,
и существует конечный правый предел производной
,
то существует правая производная в , равная этому пределу:
.

,
,
.
Здесь или .

Доказательство 1 (через сложную функцию)

Доказательство для правого предела

Доказательство начнем для случая с правой производной. По условию, функция дифференцируема в некоторой проколотой правой окрестности точки , скажем при , и непрерывна справа в этой точке. Поскольку дифференцируемая функция автоматически является непрерывной, то она непрерывна при .

Сформулируем исходные данные теоремы.
Функция :
(1)   определена и непрерывна при (в непрерывна справа);
(2)   имеет производную при ;
(3)   .
Необходимо показать, что она имеет правую производную в , равную предельному значению:
.

Для этого найдем предел, который является определением производной:
(4)   , где .
Воспользуемся теоремой Лагранжа конечных приращений.
Поскольку непрерывна при и дифференцируема при , то существует точка , в которой
(5)   .
Подставляя в (4), имеем:
.

При фиксированном значении , ξ является функцией от . Она может быть многозначной, поскольку (5) может выполняться для различных значений ξ. Мы выберем одно из них. Тогда ξ будет однозначной функцией от :
.

Таким образом, нам нужно вычислить предел сложной функции:
.
Применим теорему о пределе сложной функции.
1. Поскольку ,   и   , то по теореме о пределе промежуточной функции,
.
2. По условию теоремы (3):
.
3. Кроме этого, .
Все условия теоремы о пределе сложной функции выполнены. По этой теореме
, или
.

Пункт 3 теоремы доказан.

Доказательство для левого предела

Для левой производной точка находится слева от . Выпишем основные формулы для этого случая, не повторяя рассуждений, поскольку они идентичны рассмотренным выше.

Сформулируем исходные данные теоремы.
Функция :
определена и непрерывна при (в непрерывна слева);
имеет производную при ;
.
Необходимо показать, что она имеет левую производную в , равную предельному значению:
.

По определению производной и теореме Лагранжа конечных приращений:
.

Применяем теорему о пределе сложной функции.
1. .
2. .
3. .

.

Пункт 2 теоремы доказан.

Доказательство для двустороннего предела

Теперь докажем теорему для двустороннего предела.
1. Если функция дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки , то существуют левая и правая проколотые окрестности этой точки, в которой она дифференцируема.
2. Если функция непрерывна в , то она непрерывна слева и справа в этой точке.
3. Поскольку существует конечный предел производной
.
то существуют односторонние равные пределы:
.
4. Все условия для доказанных пунктов 2 и 3 выполнены. На их основе существуют левая и правая равные производные функции в точке :
.
5. По лемме об односторонних производных, функция имеет в производную
.

Теорема доказана.

Доказательство 2 (через определение предела по Гейне)

Предел (4) можно найти другим способом, используя определение предела функции по Гейне.

Перепишем исходные данные для функции .
Функция :
определена и непрерывна при (в непрерывна справа);
имеет производную при ;
(6)   .
Необходимо показать, что она имеет правую производную в , равную предельному значению производной:
.

Для этого найдем предел
(7)   , где .
Введем обозначение
(8)   .

Применим определение предела по Гейне.
Предварительно заметим, что в силу (6), для любой последовательности , сходящейся справа к ,
(9)   .

Возьмем произвольную последовательность , сходящуюся справа к :
.
Для вычисления предела (7), нам нужно найти предел последовательности с общим членом
(10)   .
Воспользуемся теоремой Лагранжа конечных приращений.
Поскольку непрерывна при и дифференцируема при , то существует точка
(11)   , в которой
.
Если таких точек несколько, возьмем одну из них. Подставляя в (10), имеем:
(12)   .

Поскольку, согласно (11), заключена между точкой и сходящейся к последовательностью , то по теореме о двух милиционерах
.
То есть последовательность сходится справа к . Используя (12)   и   (9), находим:
.
Поскольку это выполняется для любой последовательности , сходящейся справа к , то
.
Вспоминая (8)   и   (7), получаем, что существует производная справа в , и она равна предельному значению производной A:
.

Третий пункт теоремы доказан.

Таким же способом доказывается второй пункт, который отличается только тем, что произвольная последовательность сходится к слева. Доказательство первого пункта одинаково для обоих способов и приведено выше.