Теорема о пределе производной
Теорема о пределе производной
1. Пусть функция f (x ) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности ○ U (x0 ) точки x0 ,непрерывна в этой точке,
и существует конечный предел производной
limx → x0 f ′(x ) = A ,
то существует производная в x0 , равная этому пределу:
f ′(x0 ) = A .
2. Если функция f (x ) дифференцируема в левой проколотой окрестности точки x0 ,
непрерывна слева в этой точке,
и существует конечный левый предел производной
limx → x0 – 0 f ′(x ) = A ,
то существует левая производная в x0 , равная этому пределу:
f ′– (x0 ) = A .
3. Если функция f (x ) дифференцируема в правой проколотой окрестности точки x0 ,
непрерывна справа в этой точке,
и существует конечный правый предел производной
limx → x0 + 0 f ′(x ) = A ,
то существует правая производная в x0 , равная этому пределу:
f ′+ (x0 ) = A .
Эту теорему можно записать в символическом виде.
limx → ~x0 f ′(x ) = A ∈ R ,
∃ f ′(~x0 ) = limx → ~x0 f ′(x ) .
Здесь ~x0 = x0 , x0 – 0 или x0 + 0 .
Теорема также справедлива, если предел A принимает одно из бесконечных значений: + ∞ или – ∞ . Этот случай исключен из формулировки ради соблюдения формальности. Если значение производной, то есть значение соответствующего предела равно бесконечности, то говорят, что производной не существует. Это связано с тем, что наиболее фундаментальным понятием (для функций многих переменных) является не наличие производной, а свойство дифференцируемости функции, которое нельзя ввести при бесконечной производной.
| x 2 sin 1x , | x ≠ 0 |
| 0, | x = 0 |
имеет производную f ′(0 ) = 0 , но не имеет предела limx → 0 f ′(x ) .
Пусть условия теоремы о пределе производной выполняются. Выразим производную в x0 через приращения. По теореме о пределе производной и определению производной:
f ′(x0 ) = limx → x0 f ′(x ) = limx → x0 limΔx → 0 f (x + Δx ) – f (x ) Δx ≡ limx → x0 limΔx → 0 Δ f (x ) Δx .
По определению производной и в силу непрерывности функции в x0 :
f ′(x0 ) = limΔx → 0 Δ f (x0 ) Δx ≡ limΔx → 0 f (x0 + Δx ) – f (x0 ) Δx =
limΔx → 0 limx → x0 f (x + Δx ) – f (x ) Δx ≡ limΔx → 0 limx → x0 Δ f (x ) Δx .
Сравнивая, получаем:
limx → x0 limΔx → 0 Δ f (x ) Δx = limΔx → 0 limx → x0 Δ f (x ) Δx .
То есть, при указанных условиях, предельные переходы можно переставлять.
Доказательство 1 (через сложную функцию)
Доказательство для правого предела
Доказательство начнем для случая с правой производной. По условию, функция f (x ) дифференцируема в некоторой проколотой правой окрестности точки x0 , скажем при x ∈ (x0 , x0 + δ ) , и непрерывна справа в этой точке. Поскольку дифференцируемая функция автоматически является непрерывной, то она непрерывна при x ∈ [x0 , x0 + δ ) .
Сформулируем исходные данные теоремы.
Функция f (x ) :
(1) определена и непрерывна при x0 ≤ x < x0 + δ (в x0 непрерывна справа);
(2) имеет производную f ′(x ) при x0 < x < x0 + δ ;
(3) limx → x0 + 0 f ′(x ) = A .
Необходимо показать, что она имеет правую производную в x0 , равную предельному значению:
f ′+ (x0 ) = A .
Для этого найдем предел, который является определением производной:
(4) f ′+ (x0 ) = limx1 → x0 + 0 f (x1 ) – f (x0 ) x1 – x0 , где x0 < x1 < x0 + δ .
Воспользуемся теоремой Лагранжа конечных приращений.
Поскольку f (x ) непрерывна при x0 ≤ x ≤ x1 и дифференцируема при x0 < x < x1 , то существует точка ξ : x0 < ξ < x1 , в которой
(5) f ′(ξ ) = f (x1 ) – f (x0 ) x1 – x0 .
Подставляя в (4), имеем:
f ′+ (x0 ) = limx1 → x0 + 0 f ′(ξ ) .
При фиксированном значении x0 , ξ является функцией от x1 . Она может быть многозначной, поскольку (5) может выполняться для различных значений ξ . Мы выберем одно из них. Тогда ξ будет однозначной функцией от x1 :
ξ = ξ (x1 ) .
Таким образом, нам нужно вычислить предел сложной функции:
f ′+ (x0 ) = limx1 → x0 + 0 f ′(ξ (x1 ) ) .
Применим теорему о пределе сложной функции.
1. Поскольку x0 < ξ (x1 ) < x1 , и limx1 → x0 + 0 x1 = x0 , то по теореме о пределе промежуточной функции,
limx1 → x0 + 0 ξ (x1 ) = x0 .
2. По условию теоремы (3):
limξ → x0 + 0 f ′(ξ ) = A .
3. Кроме этого, ξ (x1 ) ≠ x0 .
Все условия теоремы о пределе сложной функции выполнены. По этой теореме
limx1 → x0 + 0 f ′(ξ (x1 ) ) = A , или
f ′+ (x0 ) = A = limx → x0 + 0 f ′(x ) .
Пункт 3 теоремы доказан.
Доказательство для левого предела
Для левой производной точка x1 находится слева от x0 . Выпишем основные формулы для этого случая, не повторяя рассуждений, поскольку они идентичны рассмотренным выше.
Сформулируем исходные данные теоремы.
Функция f (x ) :
определена и непрерывна при x0 – δ < x ≤ x0 (в x0 непрерывна слева);
имеет производную f ′(x ) при x0 – δ < x < x0 ;
limx → x0 – 0 f ′(x ) = A .
Необходимо показать, что она имеет левую производную в x0 , равную предельному значению:
f ′– (x0 ) = A .
По определению производной и теореме Лагранжа конечных приращений:
f ′– (x0 ) = limx1 → x0 – 0 f (x0 ) – f (x1 ) x0 – x1 = limx1 → x0 – 0 f ′(ξ (x1 ) ) .
Применяем теорему о пределе сложной функции.
1. x1 < ξ (x1 ) < x0 , limx1 → x0 – 0 x1 = x0 ⇒ limx1 → x0 – 0 ξ (x1 ) = x0 .
2. limξ → x0 – 0 f ′(ξ ) = A .
3. ξ (x1 ) ≠ x0 .
⇓
f ′– (x0 ) = limx1 → x0 – 0 f ′(ξ (x1 ) ) = limξ → x0 – 0 f ′(ξ ) = A = limx → x0 – 0 f ′(x ) .
Пункт 2 теоремы доказан.
Доказательство для двустороннего предела
Теперь докажем теорему для двустороннего предела.
1. Если функция f (x ) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки x0 , то существуют левая и правая проколотые окрестности этой точки, в которой она дифференцируема.
2. Если функция непрерывна в x0 , то она непрерывна слева и справа в этой точке.
3. Поскольку существует конечный предел производной
limx → x0 f ′(x ) = A .
то существуют односторонние равные пределы:
limx → x0 – 0 f ′(x ) = A; limx → x0 + 0 f ′(x ) = A .
4. Все условия для доказанных пунктов 2 и 3 выполнены. На их основе существуют левая и правая равные производные функции в точке x0 :
f ′– (x0 ) = A; f ′+ (x0 ) = A .
5. По лемме об односторонних производных, функция имеет в x0 производную
f ′(x0 ) = A .
Теорема доказана.
Доказательство 2 (через определение предела по Гейне)
Предел (4) можно найти другим способом, используя определение предела функции по Гейне.
Перепишем исходные данные для функции f (x ) .
Функция f (x ) :
определена и непрерывна при x0 ≤ x < x0 + δ (в x0 непрерывна справа);
имеет производную f ′(x ) при x0 < x < x0 + δ ;
(6) limx → x0 + 0 f ′(x ) = A .
Необходимо показать, что она имеет правую производную в x0 , равную предельному значению производной:
f ′+ (x0 ) = A .
Для этого найдем предел
(7) f ′+ (x0 ) = limx → x0 + 0 f (x ) – f (x0 ) x – x0 , где x0 < x < x0 + δ .
Введем обозначение
(8) F (x ) = f (x ) – f (x0 ) x – x0 .
Применим определение предела по Гейне.
Предварительно заметим, что в силу (6), для любой последовательности {zn } , сходящейся справа к x0 ,
(9) limn → ∞ f ′(zn ) = A .
Возьмем произвольную последовательность {xn } , сходящуюся справа к x0 :
limn → ∞ xn = x0 , x0 < xn < x0 + δ .
Для вычисления предела (7), нам нужно найти предел последовательности {F (xn ) } с общим членом
(10) F (xn ) = f (xn ) – f (x0 ) xn – x0 .
Воспользуемся теоремой Лагранжа конечных приращений.
Поскольку f (x ) непрерывна при x0 ≤ x ≤ xn и дифференцируема при x0 < x < xn , то существует точка
(11) ξn : x0 < ξn < xn , в которой
f (xn ) – f (x0 ) xn – x0 = f ′(ξn ) .
Если таких точек несколько, возьмем одну из них. Подставляя в (10), имеем:
(12) F (xn ) = f ′(ξn ) .
Поскольку, согласно (11), ξn заключена между точкой x0 и сходящейся к x0 последовательностью xn , то по теореме о двух милиционерах
limn → ∞ ξn = x0 .
То есть последовательность {ξn } сходится справа к x0 . Используя (12) и (9), находим:
limn → ∞ F (xn ) = limn → ∞ f ′(ξn ) = A .
Поскольку это выполняется для любой последовательности {xn } , сходящейся справа к x0 , то
limx → x0 + 0 F (x ) = A .
Вспоминая (8) и (7), получаем, что существует производная справа в x0 , и она равна предельному значению производной A:
f ′+ (x0 ) = A .
Третий пункт теоремы доказан.
Таким же способом доказывается второй пункт, который отличается только тем, что произвольная последовательность {xn } сходится к x0 слева. Доказательство первого пункта одинаково для обоих способов и приведено выше.
Использованная литература:
Я.М. Дымарский. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Функции одной переменной. Москва, МФТИ, 2020.
Г.Е. Иванов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. ©Иванов Г.Е., 2018.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
А.Ю. Петрович. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Введение в математический анализ. Москва, МФТИ, 2017.
А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. Курс математического анализа. Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2001.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: