Производная функции на интервале

Приводятся формулировки свойств и теорем, применяемых для исследования поведения функции на интервале с помощью производных.

Содержание

Локальные экстремумы

Локальный минимум (максимум): Пусть функция f (x ) определена в некоторой окрестности точки x₀ .
Функция f (x ) имеет в точке x₀ локальный минимум, если существует такая проколотая окрестность ^○U (x₀ ) точки x₀ , на которой
f (x ) ≥ f (x₀ ) при x ∈ ^○U (x₀ ) .
Если выполняется строгое неравенство f (x ) > f (x₀ ) , то говорят, что в точке x₀
строгий локальный минимум. В противном случае – нестрогий локальный минимум.

Функция f (x ) имеет в точке x₀ локальный максимум, если
f (x ) ≤ f (x₀ ) при x ∈ ^○U (x₀ ) .
Если выполняется строгое неравенство f (x ) < f (x₀ ) , то говорят, что в точке x₀
строгий локальный максимум. В противном случае – нестрогий локальный максимум.
Локальный экстремум: – это локальный минимум или локальный максимум.
Строгий локальный экстремум: – это строгий локальный минимум или строгий локальный максимум.
Нестрогий локальный экстремум: – это нестрогий локальный минимум или нестрогий локальный максимум.

Теоремы о среднем

Теорема о необходимом условии экстремума (Ферма)

Если точка x = x₀ является точкой локального экстремума (строгого или нестрогого) функции f (x )
и она дифференцируема в этой точке,
то f ^′(x₀ ) = 0 .
Доказательство

Теорема Ролля о нулях производной

Пусть функция f (x )
1) непрерывна при a ≤ x ≤ b ;
2) дифференцируема при a < x < b ;
3) f (a ) = f (b ) .
Тогда существует точка ξ ∈ (a, b ) такая, что производная функции в ней равна нулю:
f ^′(ξ ) = 0 , где a < ξ < b .
Доказательство

Теорема Лагранжа конечных приращений

Пусть функция f (x )
1) непрерывна при a ≤ x ≤ b ;
2) дифференцируема при a < x < b .
Тогда существует точка ξ ∈ (a, b ) такая, что производная функции в ней равна угловому коэффициенту прямой, проведенной через точки (a, f (a ) ) и (b, f (b ) ) :
f ^′(ξ ) = f (b ) – f (a ) b – a , где a < ξ < b .
Или
f (b ) – f (a ) = f ^′(ξ ) (b – a ) , где a < ξ < b .
Доказательство

Формула конечных приращений Лагранжа: – это следующая формула:
f (b ) – f (a ) = f ^′(ξ ) (b – a ) , где a < ξ < b ;
где функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ] и дифференцируема внутри него.
Ее также можно записать в следующем виде:
f (x₀ + Δx ) – f (x₀ ) = f ^′(x₀ + θΔx ) Δx , где 0 < θ < 1 ;
где функция f (x ) непрерывна на отрезке с концами x₀ , x₀ + Δx и дифференцируема внутри него.
Формула бесконечно малых приращений: f (x₀ + Δx ) – f (x₀ ) ≈ f ^′(x₀ ) Δx ,
где функция f (x ) дифференцируема в точке x₀ .

Теорема Коши обобщенных конечных приращений

Пусть функции y (t ) , x (t )
1) непрерывны при α ≤ t ≤ β ;
2) дифференцируемы при α < t < β ;
3) x^′(t ) ≠ 0 при α < t < β .
Тогда существует точка ξ ∈ (α, β ) , для которой справедлива формула конечных приращений Коши:
y^′(ξ ) x^′(ξ ) = y (β ) – y (α ) x (β ) – x (α ) .
Если обозначить x_a = x (α ) , x_b = x (β ) , y_a = y (α ) , y_b = y (β ) , x_ξ = x (ξ ) , то предыдущая формула примет вид:
dydx (x_ξ ) = y_b – y_a x_b – x_a .
Доказательство

Следствия из теоремы Лагранжа

Свойство функции с равной нулю производной

Если функция f (x ) дифференцируема на интервале a < x < b
и ее производная равна нулю:
f ^′(x ) = 0 при x ∈ (a, b ) ,
то функция f есть постоянная, не зависящая от x величина:
f (x ) = C при x ∈ (a, b ) .

Свойство двух функций с равными производными

Пусть функции f (x ) и g (x ) дифференцируемы на интервале a < x < b .
И пусть f ^′(x ) = g^′(x ) при x ∈ (a, b ) .
Тогда функции f и g различаются на постоянную величину:
f (x ) = g (x ) + C при x ∈ (a, b ) .

Свойства производной

Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной

Пусть функция f (x ) дифференцируема на отрезке [a, b ] .
Тогда ее производная принимает на интервале (a, b ) все значения, заключенные между f ^′(a ) и f ^′(b ) :
∀u ∈ ( f ^′(a ) , f ^′(b ) ) ∃ ξ ∈ (a, b ) : f ^′(ξ ) = u , если f ^′(a ) < f ^′(b ) , и
∀u ∈ ( f ^′(b ) , f ^′(a ) ) ∃ ξ ∈ (a, b ) : f ^′(ξ ) = u , если f ^′(b ) < f ^′(a ) .
Доказательство

Теорема о пределе производной

1. Пусть функция f (x ) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности ^○U (x₀ ) точки x₀ ,
непрерывна в этой точке,
и существует конечный предел производной
lim_{x → x₀} f ^′(x ) = A ,
то существует производная в x₀ , равная этому пределу:
f ^′(x₀ ) = A .

2. Если функция f (x ) дифференцируема в левой проколотой окрестности точки x₀ ,
непрерывна слева в этой точке,
и существует конечный левый предел производной
lim_{x → x₀ – 0} f ^′(x ) = A ,
то существует левая производная в x₀ , равная этому пределу:
f ^′_–(x₀ ) = A .

3. Если функция f (x ) дифференцируема в правой проколотой окрестности точки x₀ ,
непрерывна справа в этой точке,
и существует конечный правый предел производной
lim_{x → x₀ + 0} f ^′(x ) = A ,
то существует правая производная в x₀ , равная этому пределу:
f ^′₊(x₀ ) = A .
Доказательство

Теорема также справедлива, если A = + ∞ или A = – ∞ . Ее можно записать в символическом виде.

lim_{x → ^~x₀} f (x ) = f (x₀ ) , x₀ ∈ R ,
lim_{x → ^~x₀} f ^′(x ) = A ∈ R ,
∃ f ^′(^~x₀ ) = lim_{x → ^~x₀} f ^′(x ) .
Здесь ^~x₀ = x₀ , x₀ – 0 или x₀ + 0 .

Выразим производную в x₀ через приращения. По теореме о пределе производной и определению производной:
f ^′(x₀ ) = lim_{x → x₀} f ^′(x ) = lim_{x → x₀} lim_{Δx → 0} f (x + Δx ) – f (x ) Δx ≡ lim_{x → x₀} lim_{Δx → 0} Δ f (x ) Δx .
По определению производной и в силу непрерывности функции в x₀ :
f ^′(x₀ ) = lim_{Δx → 0} Δ f (x₀ ) Δx ≡ lim_{Δx → 0} f (x₀ + Δx ) – f (x₀ ) Δx =
lim_{Δx → 0} lim_{x → x₀} f (x + Δx ) – f (x ) Δx ≡ lim_{Δx → 0} lim_{x → x₀} Δ f (x ) Δx .
Сравнивая, получаем:
lim_{x → x₀} lim_{Δx → 0} Δ f (x ) Δx = lim_{Δx → 0} lim_{x → x₀} Δ f (x ) Δx .
То есть, при указанных условиях, предельные переходы можно переставлять.

Теорема о разрывах производной

Если функция f (x ) дифференцируема на интервале a < x < b ,
то ее производная не может иметь точек разрыва первого рода на этом интервале,
но может иметь точки разрыва второго рода.
То есть в точке x₀ ∈ (a, b ) производная или непрерывна, или имеет разрыв второго рода.
Доказательство

Это означает, что производная дифференцируемой функции не может иметь скачков. Однако возможны точки, при стремлении к которым, предела производной не существует.
Пример:

f (x ) = {

x² sin 1x ,	x ≠ 0
0,	x = 0

Производная определена для всех x , f ^′(0 ) = lim_x → 0 f (x ) – f (0 ) x – 0 = lim_x → 0 ( x sin 1x ) = 0 . Но в точке x = 0 производная имеет разрыв второго рода, поскольку предела lim_x → 0 f ^′(x ) = lim_x → 0 ( 2x sin 1x – cos 1x ) не существует.

Следствие о неравенствах

Если функции u (x ) и v (x ) дифференцируемы при x ≥ x₀ ,
и выполняются условия:
u (x₀ ) = v (x₀ ) ,
u^′(x ) > v^′(x ) при x > x₀ .
Тогда
u (x ) > v (x ) при x > x₀ .

Правило Лопиталя

См. также Решение пределов по правилу Лопиталя

Теорема о раскрытии неопределенности 0/0
Пусть функции f и g имеют производные в проколотой (двусторонней или односторонней) окрестности конечной или бесконечно удаленной (∞, + ∞, – ∞) точке x₀ , причем g и g^′ не равны нулю в этой окрестности. И пусть
lim_{x → ^~x₀} f (x ) = lim_{x → ^~x₀} g (x ) = 0 .
Тогда, если существует конечный или бесконечный предел
lim_{x → ^~x₀} f ^′(x ) g^′(x ) = a ,
то существует равный ему предел
lim_{x → ^~x₀} f (x ) g (x ) = lim_{x → ^~x₀} f ^′(x ) g^′(x ) = a .
Здесь ^~x₀ = x₀ для двусторонней окрестности. Для односторонней окрестности, ^~x₀ = x₀ ± 0 , или ^~x₀ = ± ∞ .

Теорема о раскрытии неопределенности ∞/∞
Пусть функции f и g имеют производные в проколотой (двусторонней или односторонней) окрестности конечной или бесконечно удаленной (∞, + ∞, – ∞) точке x₀ , причем g^′ не равна нулю в этой окрестности. И пусть
lim_{x → ^~x₀} f (x ) = lim_{x → ^~x₀} g (x ) = ∞ (± ∞ ) .
Тогда, если существует конечный или бесконечный предел
lim_{x → ^~x₀} f ^′(x ) g^′(x ) = a ,
то существует равный ему предел
lim_{x → ^~x₀} f (x ) g (x ) = lim_{x → ^~x₀} f ^′(x ) g^′(x ) = a .
Здесь ^~x₀ = x₀ для двусторонней окрестности. Для односторонней окрестности, ^~x₀ = x₀ ± 0 , или ^~x₀ = ± ∞ .

Формула Тейлора

Определения

Формула Тейлора: Пусть функция f (x ) имеет в точке x₀ производную n-го порядка: f ^(n ) (x₀ ) . Формула
f (x ) = ⁿΣ_k = 0 f ^(k ) (x₀ ) k! (x – x₀ ) ^k + r_n (x ) = P_n (x ) + r_n (x )
называется формулой Тейлора функции f в точке x₀ .
Многочлен Тейлора: – это многочлен
P_n (x ) = ⁿΣ_k = 0 f ^(k ) (x₀ ) k! (x – x₀ ) ^k .
k-й член формулы Тейлора: – это степенная функция
f ^(k ) (x₀ ) k! (x – x₀ ) ^k
Остаточный член формулы Тейлора: – это разность функции f (x ) и ее многочленом Тейлора:
r_n (x ) = f (x ) – P_n (x ) .
Формула Маклорена: – это формула Тейлора в точке x₀ = 0 .

Остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано и Лагранжа

Теорема. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Если существует производная n-го порядка функции f (x ) в точке x₀ , то
(Т1) f (x ) = ⁿΣ_k = 0 f ^(k ) (x₀ ) k! (x – x₀ ) ^k + o ((x – x₀ ) ⁿ ) при x → x₀ .

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано: – это формула (Т1).

Теорема. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Пусть функция f (x ) имеет производные до (n + 1 ) - го порядка включительно в некоторой окрестности U (x₀ ) точки x₀ :
∃ f ^{(n + 1 )} (x ) при x ∈ U (x₀ ) .
Тогда для любого x ∈ U (x₀ ) существует точка ξ ∈ (x₀ , x ) , или ξ ∈ (x, x₀ ) , так что
(Т2) f (x ) = ⁿΣ_k = 0 f ^(k ) (x₀ ) k! (x – x₀ ) ^k + f ^{(n + 1 )} (ξ ) (n + 1 ) ! (x – x₀ ) ^n + 1 .

Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа: – это функция r_n (x ) = f ^{(n + 1 )} (ξ ) (n + 1 ) ! (x – x₀ ) ^n + 1 из (Т2).

Теорема единственности

Пусть в окрестности точки x₀ имеют место следующие разложения функции f в степенные ряды:
f (x ) = a₀ + a₁ (x – x₀ ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a_n (x – x₀ ) ⁿ + o ((x – x₀ ) ⁿ ) ;
f (x ) = b₀ + b₁ (x – x₀ ) + ⋅ ⋅ ⋅ + b_n (x – x₀ ) ⁿ + o ((x – x₀ ) ⁿ ) .
Тогда a₀ = b₀ , a₁ = b₁ , . . . a_n = b_n .

Разложение элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Далее приводится разложение элементарных функций в степенной ряд по формуле Маклорена.

e^x = 1 + x + x² 2! + x³ 3! + ⋅ ⋅ ⋅ + xⁿ n! + o (xⁿ ) ;
ln (1 + x ) = x – x² 2 + x³ 3 – ⋅ ⋅ ⋅ + (– 1 ) ^n – 1 xⁿ n + o (xⁿ ) ;
(1 + x ) ^a = 1 + ax + a (a – 1 ) 2! x² + a (a – 1 ) (a – 2 ) 3! x³ + ⋅ ⋅ ⋅ + Cⁿ_a xⁿ + o (xⁿ ) ,
где Cⁿ_a = a (a – 1 ) ⋅ ⋅ ⋅(a – (n – 1 ) ) n! ;
sin x = x – x³ 3! + x⁵ 5! + ⋅ ⋅ ⋅ + (– 1 ) ⁿ x^2n + 1 (2n + 1 ) ! + o (x^2n + 2 ) ;
cos x = 1 – x² 2! + x⁴ 4! + ⋅ ⋅ ⋅ + (– 1 ) ⁿ x²ⁿ (2n ) ! + o (x^2n + 1 ) ;
tg x = x + 13 x³ + 215 x⁵ + ⋅ ⋅ ⋅ + (– 1 ) ^n – 1 2²ⁿ (2²ⁿ – 1 ) B_2n (2n ) ! x^2n – 1 + o (x²ⁿ ) ,
где B_n – числа Бернулли: B₀ = 1 , 1 + C¹_n B₁ + C²_n B₂ + ⋅ ⋅ ⋅ + C^n – 1_n B_n – 1 , C^m_n = n!m!(n – m ) ! ;
ctg x = 1x – 13 x – 145 x³ – ⋅ ⋅ ⋅ + (– 1 ) ⁿ 2²ⁿ B_2n (2n ) ! x^2n – 1 + o (x²ⁿ ) ;
arcsin x = x + 12 ⋅ x³ 3 + 1 ⋅ 32 ⋅ 4 ⋅ x⁵ 5 + ⋅ ⋅ ⋅ + (2n – 1 ) !!(2n ) !! x^2n + 1 2n + 1 + o (x^2n + 2 ) ;
arccos x = π2 – arcsin x ;
arctg x = x – x³ 3 + x⁵ 5 – ⋅ ⋅ ⋅ + (– 1 ) ⁿ x^2n + 1 2n + 1 + o (x^2n + 2 ) ;
arcctg x = π2 – arctg x ;
sh x = x + x³ 3! + x⁵ 5! + ⋅ ⋅ ⋅ + x^2n + 1 (2n + 1 ) ! + o (x^2n + 2 ) ;
ch x = 1 + x² 2! + x⁴ 4! + ⋅ ⋅ ⋅ + x²ⁿ (2n ) ! + o (x^2n + 1 ) ;
th x = x – 13 x³ + 215 x⁵ – ⋅ ⋅ ⋅ + 2²ⁿ (2²ⁿ – 1 ) B_2n (2n ) ! x^2n – 1 + o (x²ⁿ ) ,
cth x = 1x + 13 x – 145 x³ + ⋅ ⋅ ⋅ + 2²ⁿ B_2n (2n ) ! x^2n – 1 + o (x²ⁿ ) ;
arsh x = x – 12 ⋅ x³ 3 + 1 ⋅ 32 ⋅ 4 ⋅ x⁵ 5 – ⋅ ⋅ ⋅ + (– 1 ) ⁿ (2n – 1 ) !!(2n ) !! x^2n + 1 2n + 1 + o (x^2n + 2 ) ;
arth x = x + x³ 3 + x⁵ 5 + ⋅ ⋅ ⋅ + x^2n + 1 2n + 1 + o (x^2n + 2 ) .

Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора

Одним из самых мощных методов раскрытия неопределенностей и вычисления пределов является разложение функций в степенной ряд, используя формулу Тейлора. Применение этого метода состоит из следующих шагов.
1) Приводим неопределенность к виду 0/0 при переменной x , стремящейся к нулю.
2) Раскладываем числитель и знаменатель в ряд Тейлора в окрестности точки x₀ = 0 . При этом выполняем разложение до такой степени xⁿ , которая необходима для устранения неопределенности. Остальные члены включаем в o (xⁿ ) .

Исследование функций с помощью производных

Возрастание и убывание функции

Монотонность на интервале

Критерий нестрогой монотонности дифференцируемой функции на интервале

Пусть функция f (x ) дифференцируема на интервале (a, b ) .
Для того чтобы функция f (x ) не строго возрастала на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы
f ^′(x ) ≥ 0 при a < x < b .
Для того чтобы функция f (x ) не строго убывала на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы
f ^′(x ) ≤ 0 при a < x < b .

Достаточное условие строгого возрастания (убывания) дифференцируемой функции на интервале

Пусть функция f (x ) дифференцируема на интервале (a, b ) .
Если f ^′(x ) > 0 при a < x < b ,
то функция строго возрастает при a < x < b .
Если f ^′(x ) < 0 при a < x < b ,
то функция строго убывает при a < x < b .

Условие только достаточное. Например, f (x ) = x³ строго возрастает для всех x . Но условие f ^′(x ) > 0 не выполняется, поскольку f ^′(0 ) = 0 .

Монотонность на отрезке

Критерий нестрогой монотонности дифференцируемой функции на отрезке

Пусть функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ] и
дифференцируема на интервале (a, b ) .
Для того чтобы функция f (x ) не строго возрастала на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы
f ^′(x ) ≥ 0 при a < x < b .
Для того чтобы функция f (x ) не строго убывала на отрезке, необходимо и достаточно, чтобы
f ^′(x ) ≤ 0 при a < x < b .

Достаточное условие строгого возрастания (убывания) дифференцируемой функции на отрезке

Пусть функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ] ,
дифференцируема на интервале (a, b ) .
Если f ^′(x ) > при x ∈ (a, b ) ,
то f (x ) строго возрастает на отрезке [a, b ] .
Если f ^′(x ) < при x ∈ (a, b ) ,
то f (x ) строго убывает на отрезке [a, b ] .

Монотонность в точке

Возрастание функции в точке: Функция f (x ) строго возрастает в точке x₀ , если существует такая проколотая окрестность ^○U (x₀ ) точки x₀ , на которой
f (x ) – f (x₀ ) x – x₀ > 0 при x ∈ ^○U (x₀ ) .
Убывание функции в точке: Функция f (x ) строго убывает в точке x₀ , если существует такая проколотая окрестность ^○U (x₀ ) точки x₀ , на которой
f (x ) – f (x₀ ) x – x₀ < 0 при x ∈ ^○U (x₀ ) .

Теорема о монотонности в точке

Пусть функция f (x ) имеет производную в точке x₀ .
Если f ^′(x₀ ) > 0 , то
функция строго возрастает в x₀ .
Если f ^′(x₀ ) < 0 , то
функция строго убывает в x₀ .

Экстремумы

См. также Локальные экстремумы

Стационарная точка: – это точка, в которой производная равна нулю.
Критическая точка: – это точка, в которой производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Изменение знака функции при переходе чарез точку: Пусть на некоторой проколотой окрестности ^○U (x₀ ) точки x₀ функция g (x ) определена, и
g (x ) < 0 при x < x₀ , x ∈ ^○U (x₀ ) ,
g (x ) > 0 при x > x₀ , x ∈ ^○U (x₀ ) .
То говорят, что функция g (x ) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку x₀ .
Если
g (x ) > 0 при x < x₀ , x ∈ ^○U (x₀ ) ,
g (x ) < 0 при x > x₀ , x ∈ ^○U (x₀ ) .
То говорят, что функция g (x ) меняет знак с плюса на минус при переходе через точку x₀ .

Необходимое условие экстремума

Если точка x₀ является точкой локального экстремума, то
x₀ – критическая точка. То есть либо f ^′(x₀ ) = 0 , либо производной в x₀ не существует.

Первое достаточное условие строгого экстремума

Пусть функция f (x ) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки x₀ ,
и непрерывна в x₀ .
Если производная меняет знак с минуса на плюс, при переходе через точку x₀ ,
то x₀ – точка строгого минимума функции f .
Если производная меняет знак с плюса на минус, при переходе через точку x₀ ,
то x₀ – точка строгого максимума функции f .

Второе достаточное условие строгого экстремума

Пусть функция f (x ) определена в некоторой окрестности точки x₀ .
И пусть первые n – 1 > 1 производных в этой точке равны нулю, а n-я производная отлична от нуля:
f ^′(x₀ ) = 0, f ^′′(x₀ ) = 0, . . . , f ^{(n – 1 )} (x₀ ) = 0, f ^(n ) (x₀ ) ≠ 0 .
Пусть n четно.
Если f ^(n ) (x₀ ) > 0 ,
то x₀ – точка строгого локального минимума функции f .
Если f ^(n ) (x₀ ) < 0 ,
то x₀ – точка строгого локального максимума функции f .
Если n нечетно,
то x₀ – точка не является точкой нестрогого локального экстремума функции f .

Выпуклость

Выпуклость функции: Функция f называется строго выпуклой вниз на открытом или замкнутом интервале ❬a, b ❭ , если для любых точек x₁ , x₂ ∈ ❬a, b ❭ , x₁ < x₂ из этого интервала и для любого t ∈ (0, 1 ) выполняется неравенство
f ((1 – t ) x₁ + tx₂ ) < (1 – t ) f (x₁ ) + tf (x₂ ) .
Функция f называется строго выпуклой вверх, если при тех же условиях,
f ((1 – t ) x₁ + tx₂ ) > (1 – t ) f (x₁ ) + tf (x₂ ) .
Функция f называется нестрого выпуклой вниз, если
f ((1 – t ) x₁ + tx₂ ) ≤ (1 – t ) f (x₁ ) + tf (x₂ ) .
Функция f называется нестрого выпуклой вверх, если
f ((1 – t ) x₁ + tx₂ ) ≥ (1 – t ) f (x₁ ) + tf (x₂ ) .

Геометрически это означает, что если мы проведем через любые две точки (x₁ , f (x₁ ) ) , (x₂ , f (x₂ ) ) хорду, то, в случае выпуклости вниз, график функции f (x ) будет ниже хорды при строгом условии, или не выше ее, при нестрогом условии. В случае выпуклости вверх, график f (x ) будет располагаться выше хорды, или не ниже ее.

Критерий нестрогой выпуклости

Пусть функция f дважды дифференцируема на интервале (a, b ) .
Функция f нестрого выпукла вверх (вниз) на (a, b ) тогда и только тогда, когда
f ^′′(x ) ≥ 0 ( f ^′′(x ) ≤ 0 ) для всех x ∈ (a, b ) .

Достаточные условия строгой выпуклости

Пусть функция f дважды дифференцируема на интервале (a, b ) .
Если f ^′′(x ) > 0 ( f ^′′(x ) < 0 ) для всех x ∈ (a, b ) ,
то функция f строго выпукла вверх (вниз) на (a, b ) .

Точка перегиба: Точка x₀ называется точкой перегиба функции f , если функция при переходе через эту точку меняет направление выпуклости. То есть выполняются следующие условия:
1) функция непрерывна в x₀ ,
2) фyнкция имеет в этой точке конечную или бесконечную производную f ^′(x₀ ) ,
3) существует такая окрестность U (x₀ ) точки x₀ , на которой
функция нестрого выпукла вверх (вниз) при x < x₀ , x ∈ ^○U (x₀ ) ,
функция нестрого выпукла вниз (вверх) при x > x₀ , x ∈ ^○U (x₀ ) .

Критерий точки перегиба

Пусть функция f непрерывна в некоторой окрестности U (x₀ ) точки x₀ ,
и дважды дифференцируема в проколотой окрестности ^○U (x₀ ) .
Пусть существует конечная или бесконечная производная f ^′(x₀ ) .
Точка x₀ является точкой перегиба тогда и только тогда, когда вторая производная меняет знак в этой точке. То есть
f ^′′(x ) ≥ 0 при x < x₀ , x ∈ U (x₀ ) и
f ^′′(x ) ≤ 0 при x > x₀ , x ∈ U (x₀ ) .
Либо
f ^′′(x ) ≤ 0 при x < x₀ , x ∈ U (x₀ ) и
f ^′′(x ) ≥ 0 при x > x₀ , x ∈ U (x₀ ) .

Необходимое условие наличия точки перегиба

Если x₀ – точка перегиба функции f ,
и если функция f (x ) имеет в некоторой окрестности точки x₀ вторую производную, непрерывную в точке x₀ , то
f ^′′(x₀ ) = 0 .

Точка распрямления графика: – это точка x₀ , в которой
f ^′′(x₀ ) = 0 .

Асимптоты

Асимптота наклонная, горизонтальная: Прямая y = kx + b называется асимптотой графика функции f (x ) при x → ± ∞ , если
lim_{x → ± ∞} ( f (x ) – kx – b ) = 0 .
Если k ≠ 0 , асимптота называется наклонной. Если k = 0 – горизонтальной.
Под выражением x → ± ∞ подразумевается либо x → + ∞ , либо x → – ∞ .
Асимптота вертикальная: Прямая x = x₀ называется вертикальной асимптотой графика функции f (x ) , если выполняется хотя бы одно из условий:
lim_{x → x₀ – 0} f (x ) = ± ∞ ,
lim_{x → x₀ + 0} f (x ) = ± ∞ .

Теорема о наклонных асимптотах

Для того чтобы прямая y = kx + b была асимптотой графика функции y = f (x ) при x → + ∞ , необходимо и достаточно,
чтобы существовали конечные пределы
lim_{x → + ∞} f (x ) x = k ,
lim_{x → + ∞} ( f (x ) – kx ) = b .

Для асимптоты при x → – ∞ , условия теоремы аналогичны.

План построения графиков функций

Найти область определения функции. Выяснить, является функция четной, нечетной, периодической.
Найти точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки, на которых f (x ) > 0 и f (x ) < 0 .
Найти асимптоты графика.
Вычислить первую производную f ^′(x ) . Найти критические точки из уравнения f ^′(x ) = 0 и добавляя точки, в которых производная не существует. Найти промежутки возрастания ( f ^′(x ) > 0), убывания ( f ^′(x ) < 0) и экстремумы.
Вычислить вторую производную f ^′′(x ) и, приравнивая ее к нулю, найти корни уравнения f ^′′(x ) = 0 и точки, в которых f ^′′(x ) не существует. Найти промежутки выпуклости вниз ( f ^′′(x ) > 0), вверх ( f ^′′(x ) < 0) и точки перегиба.
Если возможно, найти значения функции в экстремумах и точках перегиба.
Построить график.

Использованная литература:
Я.М. Дымарский. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Функции одной переменной. Москва, МФТИ, 2020.
Г.Е. Иванов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. ©Иванов Г.Е., 2018.
А.Ю. Петрович. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Введение в математический анализ. Москва, МФТИ, 2017.
А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. Курс математического анализа. Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2001.

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 06-03-2024