Методы решения физико-математических задач

Предел функции – определения, теоремы и свойства

Предел функции
Приводятся формулировки основных теорем и свойств предела функции. Приводятся определения конечных и бесконечных пределов в конечных точках и на бесконечности (двусторонних и односторонних) по Коши и Гейне. Даны арифметические свойства; теоремы, связанные с неравенствами; критерий сходимости Коши; свойства бесконечно малых, бесконечно больших и монотонных функций. Определение функции.

Определение функции

Функцией y = f(x) называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y.

Элемент x X называют аргументом функции или независимой переменной.
Элемент y Y называют значением функции или зависимой переменной.

Множество X называется областью определения функции.
Множество элементов y Y, которые имеют прообразы в множестве X, называется областью или множеством значений функции.

Далее, если это особо не оговорено, мы рассматриваем функции, области определения и множества значений которых принадлежат множеству действительных чисел.

Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M, что для всех выполняется неравенство:
.
Числовая функция называется ограниченной, если существует такое число M, что для всех :
.

Верхней гранью или точной верхней границей действительной функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s, для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′: .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.

Соответственно нижней гранью или точной нижней границей действительной функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i, для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′: .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.

Определение предела функции

Определение предела функции по Коши

Конечные пределы функции в конечных точках

Пусть функция определена в некоторой окрестности конечной точки за исключением, может быть, самой точки . Число a называется пределом функции в точке , если для любого существует такое , зависящее от , что для всех x, для которых , выполняется неравенство
.
Предел функции обозначается так:
.
Или     при   .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.

Односторонние пределы.
Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
;   .

Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках

Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках.
.
.
.
Их часто обозначают так:
;   ;   .

Использование понятия окрестности точки

Если ввести понятие проколотой окрестности точки , то можно дать единое определение конечного предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках:
.
Здесь для конечных точек
;   ;   .
В бесконечно удаленных точках функции не определены. Поэтому любые их окрестности являются проколотыми:
;   ;   .

Бесконечные пределы функции

Определение
Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Предел функции  f(x)  при  x → x0  равен бесконечности, если для любого, сколь угодно большого числа M, существует такое число δM, зависящее от M, что для всех x, принадлежащих δM – окрестности точки : , выполняется неравенство:
.
Бесконечный предел обозначают так:
.
Или   при  .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение бесконечного предела функции можно записать так:
.

Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.

Универсальное определение предела функции

Используя понятие окрестности точки, можно дать универсальное определение конечного и бесконечно предела функции, применимое как для конечных (двусторонних и односторонних), так и для бесконечно удаленных точек:
.

Определение предела функции по Гейне

Пусть функция определена на некотором множестве X: .
Число a называется пределом функции в точке :
,
если для любой последовательности , сходящейся к x0:
,
элементы которой принадлежат множеству X: ,
.

Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.

Если в качестве множества X взять левостороннюю окрестность точки x0, то получим определение левого предела. Если правостороннюю – то получим определение правого предела. Если в качестве множества X взять окрестность бесконечно удаленной точки, то получим определение предела функции на бесконечности.

Свойства и теоремы предела функции

Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей окрестности точки .

Основные свойства

Теорема
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

Если существует конечный предел , то существует такая проколотая окрестность точки x0, на которой функция f(x) ограничена:
.

Здесь x0 является конечным числом или одним из символов: . Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего.

Пусть функция имеет в точке x0 конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c из интервала , существует такая проколотая окрестность точки x0, что для ,
,   если ;
,   если .

Если   – постоянная, то .

Если существуют конечные пределы   и   и на некоторой проколотой окрестности точки x0
,
то .

Если на некоторой проколотой окрестности точки x0:
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
, то
.

Арифметические свойства предела функции

Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки . И пусть существуют конечные пределы:
  и  .
И пусть C – постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
,   если .
В случае частного предполагается, что .

Если , то .

Критерий Коши существования предела функции

Теорема
Для того, чтобы функция , определенная на некоторой проколотой окрестности точки x0, имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовала такая проколотая окрестность точки x0, что для любых точек   и   из этой окрестности, выполнялось неравенство:
.

Предел сложной функции

Пусть функции f и g определены в некоторых проколотых окрестностях точек и , соответственно. И пусть существуют конечные или бесконечные пределы:
,   .
Тогда при существует предел сложной функции :
.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Бесконечно малые функции

Определение
Функция называется бесконечно малой при , если
.

Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .

Произведение ограниченной функции на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .

Для того, чтобы функция имела предел , необходимо и достаточно, чтобы
,
где – бесконечно малая функция при .

Бесконечно большие функции

Определение
Функция называется бесконечно большой при , если
.

Свойства бесконечно больших функций

Сумма или разность ограниченной функции на некоторой окрестности точки и бесконечно большой функции при является бесконечно большой функцией при .

Если функция являются бесконечно большой при , а функция – ограничена, то
.

Если функция на некоторой окрестности точки удовлетворяет неравенству:
,
а функция является бесконечно малой при :
, и  , то
.

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Если функция являются бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .

Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
,   .

Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при , то есть положительна (или отрицательна) в некоторой окрестности точки , то этот факт можно выразить так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при , то пишут:
.

Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
,   ,
,   .

Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства».

Пределы монотонных функций

Определение
Функция , определенная на некотором множестве действительных чисел X называется строго возрастающей, если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Соответственно, для строго убывающей функции выполняется неравенство:
.
Для неубывающей:
.
Для невозрастающей:
.

Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.

Функция называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.

Теорема
Пусть функция не убывает на интервале , где .
Если она ограничена сверху числом M: , то существует конечный предел . Если не ограничена сверху, то .
Если ограничена снизу числом m: , то существует конечный предел . Если не ограничена снизу, то .

Если точки a и b являются бесконечно удаленными, то подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.

Пусть функция не убывает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы в точках a и b:
;
.

Аналогичная теорема для невозрастающей функции.

Пусть функция не возрастает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы:
;
.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

.     Опубликовано: