Предел функции – определения, теоремы и свойства

Приводятся формулировки основных теорем и свойств предела функции. Даны определения конечных и бесконечных пределов в конечных точках и на бесконечности (двусторонних и односторонних) по Коши и Гейне. Рассмотрены арифметические свойства; теоремы, связанные с неравенствами; критерий сходимости Коши; предел сложной функции; свойства бесконечно малых, бесконечно больших и монотонных функций. Дано определение функции.

Определение предела функции

Первое определение предела функции по Гейне

Предел функции (по Гейне)

при ее аргументе x , стремящемся к x₀ – это такое конечное число или бесконечно удаленная точка a , для которой выполняются следующие условия:
1) существует такая проколотая окрестность ^○U (x₀ )  точки x₀ , на которой функция f(x) определена;
2) для любой последовательности {x_n }  ,  сходящейся к x₀   : 
lim_{n → ∞} x_n  = x₀  , 
элементы которой принадлежат окрестности ^○U (x₀ )  ,  последовательность { f (x_n ) }  сходится к a:
lim_{n → ∞}  f (x_n )  = a . 
Предел функции обозначают так:
lim_x → x0  f (x )  = a . 
Или    f (x )  → a   при   x → x₀  . 
Здесь a и x₀ могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками: ∞,   – ∞,   + ∞ . 
Для бесконечно удаленных точек x₀  приняты следующие обозначения:
 f (∞ )  = lim_{x → ∞}  f (x ) ,    f (– ∞ )  = lim_{x →  – ∞}  f (x ) ,    f (+ ∞ )  = lim_{x →  + ∞}  f (x )  . 
Проколотая окрестность ^○U (x₀ )  конечной точки x₀  может быть как двусторонней, так и односторонней. В последнем случае, для левой окрестности пишут:
 f (x₀  – 0 )  = lim_{x → x0  – 0}  f (x )  = a . 
Для правой окрестности:
 f (x₀  + 0 )  = lim_{x → x0  + 0}  f (x )  = a . 

С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать следующим образом:
a = lim_x → x0  f (x )  ^def⇐⇒ 
 {∃ ^○U (x₀ ) , ∀x_n  ∈ ^○U (x₀ ) ,  n = 1, 2, 3, ... , lim_{n → ∞} x_n  = x₀  ⇒  lim_{n → ∞}  f (x_n )  = a }  . 

Второе определение по Коши

Предел функции (по Коши)

при ее аргументе x , стремящемся к x₀ – это такое конечное число или бесконечно удаленная точка a , для которой выполняются следующие условия:
1) существует такая проколотая окрестность ^○U₀ (x₀ )  точки x₀ , на которой функция f(x) определена;
2) для любой окрестности U (a )  точки a , принадлежащей ^○U₀ (x₀ )  ,  существует такая проколотая окрестность ^○U (x₀ )  точки x₀ , на которой значения функции принадлежат выбранной окрестности точки a :
 f (x )  ∈ U (a )   при  x ∈ ^○U (x₀ )  . 

Здесь a и x₀ также могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать следующим образом:
a = lim_x → x0  f (x )  ^def⇐⇒  ∃^○U₀ (x₀ )   ∀ U (a )    ∃ ^○U (x₀ )  ⊂ ^○U₀ (x₀ )   ∀x ∈ ^○U (x₀ )  :   f (x )  ∈ U (a )  . 

Если в качестве множества ^○U₀ (x₀ )  взять левую или правую окрестность конечной точки, то получим определение предела по Коши слева или справа.

Теорема
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство

Применяемые окрестности точек

В приведенном выше определении применяются произвольные окрестности точек. Например, проколотой окрестностью конечной точки x₀  является множество {x :  x ∈ (x₀  – δ₁ , x₀ )  ∪ (x₀ , x₀  + δ₂ ) }  ,  где δ₁  > 0,  δ₂  > 0 – два положительных числа, которые определяют размер окрестности. Более подробно, см. «Окрестность точки».

Тогда, фактически, определение по Коши означает следующее.
Для любых положительных чисел δ₁  > 0,  δ₂  > 0 ,  существуют числа ε₁ ,  ε₂  ,  так что для всех x, принадлежащих проколотой окрестности точки x₀   :  x ∈ ^○U (x₀ , δ₁ , δ₂ )  ,  значения функции  f (x )  принадлежат окрестности U (a, ε₁ , ε₂ )  точки a:  f (x )  ∈ U (a, ε₁ , ε₂ )  , 
где ^○U (x₀ , δ₁ , δ₂ )  =  {x : x ∈ (x₀  – δ₁ , x₀ )  ∪  (x₀ , x₀  + δ₂ ) }  ,  U (a, ε₁ , ε₂ )  =  {y : – ε₁  < y – a < ε₂ }  . 

С таким определением не совсем удобно работать, поскольку окрестности определяются с помощью четырех чисел δ₁ , δ₂ , ε₁ , ε₂  .  Но его можно упростить, если ввести окрестности с равноудаленными концами. То есть можно положить ε = ε₁  = ε₂  ,  δ = δ₁  = δ₂  .  Тогда мы получим определение, которое проще использовать при доказательстве теорем. При этом оно является эквивалентным определению, в котором используются произвольные окрестности. Доказательство этого факта приводится в разделе «Эквивалентность определений предела функции по Коши».

Тогда можно дать единое определение предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках:
a = lim_x → x0  f (x )  ^def⇐⇒ ∀ε > 0  ∃δ_ε  > 0   ∀x ∈ ^○U (x₀ , δ_ε )  :  f (x )  ∈ U (a, ε )  . 
Здесь для конечных точек
^○U (x₀ , δ )  = {x : 0 <  | x – x₀  |  < δ }  ;    ^○U (x₀  – 0, δ )  =  {x : 0 < x₀  – x < δ }  ; 
^○U (x₀  + 0, δ )  =  {x : 0 < x – x₀  < δ }  . 
Любые окрестности бесконечно удаленных точек являются проколотыми:
^○U (∞, δ )  = U (∞, δ )  =  { x :  | x |  > 1δ  }  ;    ^○U (+ ∞, δ )  = U (+ ∞, δ )  =  { x : x > 1δ  }  ;    ^○U (– ∞, δ )  = U (– ∞, δ )  =  { x : x < – 1δ  }  . 

Далее мы приводим формулировки определений предела функции по Коши для разных случаев, используя определения окрестностей с равноудаленными концами.

Конечные пределы функции в конечных точках

Число a называется пределом функции f(x) в точке x₀ ,

если
1) функция  f (x )  определена на некоторой проколотой окрестности конечной точки x₀  ; 
2) для любого ε > 0 существует такое δ_ε  > 0 ,  зависящее от ε ,  что для всех x , для которых 0 <  | x – x₀  |  < δ_ε  ,  выполняется неравенство
 |  f (x )  – a |  < ε . 

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
a = lim_x → x0  f (x )  ^def⇐⇒  ∀ε > 0  ∃δ_ε  > 0  ∀x,   0 <  | x – x₀  |  < δ_ε  :  |  f (x )  – a |  < ε . 

Односторонние пределы.
Левый предел в точке x₀  (левосторонний предел):
a = lim_{x → x0  – 0}  f (x )  ^def⇐⇒  ∀ε > 0  ∃δ_ε  > 0  ∀x,   0 < x₀  – x < δ_ε  :  |  f (x )  – a |  < ε . 
Правый предел в точке x₀  (правосторонний предел):
a = lim_{x → x0  + 0}  f (x )  ^def⇐⇒  ∀ε > 0  ∃δ_ε  > 0  ∀x,   0 < x – x₀  < δ_ε  :  |  f (x )  – a |  < ε . 
Пределы слева и справа часто обозначают так:
 f (x₀  – 0 )  = lim_{x → x0  – 0}  f (x )  ;     f (x₀  + 0 )  = lim_{x → x0  + 0}  f (x )  . 

Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках

Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках.
a = lim_{x → ∞}  f (x )  ^def⇐⇒ ∀ε > 0  ∃N_ε  > 0   ∀x,   | x |  > N_ε  :  |  f (x )  – a |  < ε . 
a = lim_{x →  + ∞}  f (x )  ^def⇐⇒ ∀ε > 0  ∃N_ε  > 0   ∀x > N_ε  :  |  f (x )  – a |  < ε . 
a = lim_{x →  – ∞}  f (x )  ^def⇐⇒ ∀ε > 0  ∃N_ε  > 0   ∀x < – N_ε  :  |  f (x )  – a |  < ε . 

Бесконечные пределы функции

lim_x → x0  f (x )  = ∞ ^def⇐⇒  ∀M > 0  ∃δ_M  > 0  ∀x ∈ ^○U (x₀ , δ_M )  :   |  f (x )  |  > M . 

Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных + ∞ и – ∞  : 
lim_x → x0  f (x )  = + ∞ ^def⇐⇒  ∀M > 0  ∃δ_M  > 0  ∀x ∈ ^○U (x₀ , δ_M )  :   f (x )  > M . 
lim_x → x0  f (x )  = – ∞ ^def⇐⇒  ∀M > 0  ∃δ_M  > 0  ∀x ∈ ^○U (x₀ , δ_M )  :   f (x )  < – M . 

См. Бесконечный предел функции в конечной точке
Бесконечный предел функции на бесконечности

Свойства и теоремы предела функции

Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей проколотой окрестности точки x₀  ,  которая является конечным числом или одним из символов: ∞,   + ∞,   – ∞ .  Также x₀  может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид α – 0 или α + 0 .  Окрестность ^○U (x₀ )  является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего.

Основные свойства

Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x₁, x₂, x₃, ... x_n , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x₀ . Доказательство

Если существует конечный предел lim_x → x0  f (x )  = a ,  то существует такая проколотая окрестность ^○U (x₀ )  точки x₀ , на которой функция f(x) ограничена:
 |  f (x )  |  ≤ M,  x ∈ ^○U (x₀ ) ,  M > 0 .  Доказательство

Пусть функция  f (x )  имеет в точке x₀ конечный предел, отличный от нуля:
lim_x → x0  f (x )  = a ≠ 0 . 
Тогда, для любого числа c из интервала 0 < c <  | a |  ,  существует такая проколотая окрестность ^○U (x₀ )  точки x₀ , что для x ∈ ^○U (x₀ )  , 
 f (x )  > c ,    если a > 0 ; 
 f (x )  < – c ,    если a < 0 .  Доказательство

Если, на некоторой проколотой окрестности точки x₀  ,   f (x )  = c  – постоянная, то lim_x → x0  f (x )  = c .  Доказательство

Функция имеет предел в точке x₀  тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке равные односторонние пределы. Доказательство

Если на некоторой проколотой окрестности ^○U (x₀ )  точки x₀ :
φ (x )  ≤  f (x )  ≤ ψ (x )  , 
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
lim_x → x0 φ (x )  = lim_x → x0 ψ (x )  = a ,  то
lim_x → x0  f (x )  = a . 
См. Теорема о пределе промежуточной функции

Если lim_x → x0 g (x )  = ∞ ,  и на некоторой окрестности точки x₀ 
 |  f (x )  |  ≥  | g (x )  |  , 
то lim_x → x0  f (x )  = ∞ . 
В частности, если на некоторой окрестности точки x₀ 
 f (x )  ≥ g (x )  , 
то если lim_x → x0 g (x )  = + ∞ ,  то и lim_x → x0  f (x )  = + ∞ ; 
если lim_x → x0  f (x )  = – ∞ ,  то и lim_x → x0 g (x )  = – ∞ .  Доказательство

Арифметические свойства предела функции

Пусть функции  f (x )  и g (x )  определены в некоторой проколотой окрестности точки x₀  .  И пусть существуют конечные пределы:
lim_x → x0  f (x )  = a  и  lim_x → x0 g (x )  = b . 
И пусть C – постоянная, то есть заданное число. Тогда
lim_x → x0 ( C ⋅  f (x )  )  = C ⋅ a ; 
lim_x → x0 ( f (x )  ± g (x ) )  = a ± b ; 
lim_x → x0 ( f (x )  ⋅ g (x ) )  = a ⋅ b ; 
lim_x → x0  f (x ) g (x )  = ab  ,    если b ≠ 0 .  Доказательство

Если lim_x → x0  f (x )  = a ,  то lim_x → x0  |  f (x )  |  =  | a |  . 

Критерий Коши существования предела функции

Теорема
Для того, чтобы функция  f (x )  ,  определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x₀ , имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовала такая проколотая окрестность ^○U (x₀ , δ_ε )  точки x₀ , что для любых точек x^′ ∈ ^○U (x₀ , δ_ε )   и  x^′′ ∈ ^○U (x₀ , δ_ε )  из этой окрестности, выполнялось неравенство:
 |  f (x^′ )  –  f (x^′′ )  |  < ε .  Доказательство

Предел сложной функции

Теорема о пределе сложной функции
Пусть функции t = g (x )   и  y =  f (t )  имеют пределы:
lim_x → x0 g (x )  = t₀  ; 
lim_t → t0  f (t )  = y₀  . 
И пусть существует такая проколотая окрестность ^○U₀ (x₀ )  точки x₀  ,  на которой
g (x )  ≠ t₀ ;  x ∈ ^○U₀ (x₀ )  . 
Тогда существует предел сложной функции  f (g (x ) )  ,  и он равен y₀   : 
lim_x → x0  f (g (x ) )  = y₀  . 
Здесь x₀ ,  t₀ ,  y₀  – конечные или бесконечно удаленные точки: x₀ , t₀ , y₀  ∈ R .  Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Доказательство

Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция  f (t )  не определена в точке t₀  или имеет значение, отличное от предельного y₀  .  Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность ^○U₀ (x₀ )  точки x₀  ,  на которой множество значений функции g не содержит точку t₀   : 
t₀  ∉ g (^○U (x₀ ) )  . 

Теорема о пределе функции от монотонной функции
Пусть функции t = g (x )   и  y =  f (t )  имеют пределы:
lim_x → x0 g (x )  = t₀  ; 
lim_t → t0  f (t )  = y₀  . 
И пусть существует такая проколотая окрестность ^○U₀ (x₀ )  точки x₀  ,  на которой функция g (x )  строго монотонна. Причем монотонность слева и справа от x₀  может иметь разные знаки.
Тогда существует предел сложной функции  f (g (x ) )  ,  и он равен y₀   : 
lim_x → x0  f (g (x ) )  = y₀  . 
Здесь x₀ ,  t₀ ,  y₀  – конечные или бесконечно удаленные точки: x₀ , t₀ , y₀  ∈ R .  Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Доказательство

Предел сложной непрерывной функции

Если функция  f (t )  непрерывна в точке t₀  ,  то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции:
lim_x → x0  f (g (x ) )  =  f ( lim_x → x0 g (x )  )  . 
Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.

Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции t = g(x) при x → x₀ , и он равен t₀ :
lim_x → x0 g (x )  = t₀  . 
Здесь точка x₀ может быть конечной или бесконечно удаленной: x₀  ∈ R . 
И пусть функция f(t)  непрерывна в точке t₀ .
Тогда существует предел сложной функции f(g(x)) , и он равен f(t₀) :
lim_x → x0  f (g (t ) )  =   f ( lim_x → x0 g (t )  )  =  f (t₀ )  . 
Доказательство

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Бесконечно малые функции

Бесконечно малая функция

при x → x₀  – это такая функция α (x )  ,  предел которой при x → x₀  равен нулю:
lim_x → x0 α (x )  = 0 . 

Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x₀  является бесконечно малой функцией при x → x₀  . 

Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки x₀  ,  на бесконечно малую при x → x₀  является бесконечно малой функцией при x → x₀  . 
Доказательство

Для того, чтобы функция  f (x )  имела конечный предел lim_x → x0  f (x )  = A ,  необходимо и достаточно, чтобы
 f (x )  = A + α (x )  , 
где α (x )  – бесконечно малая функция при x → x₀  .  Доказательство

Бесконечно большие функции

Бесконечно большая функция

при x → x₀  – это такая функция  f (x )  ,  предел которой при x → x₀  равен бесконечности:
lim_x → x0  f (x )  = ∞ . 

Свойства бесконечно больших функций

Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки x₀  ,  и бесконечно большой функции при x → x₀  является бесконечно большой функцией при x → x₀  .  Доказательство

Если функция  f (x )  является бесконечно большой при x → x₀  ,  а функция g (x )  – ограничена, на некоторой проколотой окрестности точки x₀  ,  то
lim_x → x0 g (x )  f (x )  = 0 .  Доказательство

Если функция  f (x )  ,  на некоторой проколотой окрестности точки x₀  ,  удовлетворяет неравенству:
 |  f (x )  |  ≥ M > 0 , 
а функция α (x )  является бесконечно малой при x → x₀   : 
lim_x → x0 α (x )  = 0 ,  и  α (x )  ≠ 0 (на некоторой проколотой окрестности точки x₀ ), то
lim_x → x0  f (x ) α (x )  = ∞ .  Доказательство

Cм. также: Свойства неравенств с бесконечно большими функциями ⇑.

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Если функция  f (x )  являются бесконечно большой при x → x₀  ,  то функция 1 f (x )   является бесконечно малой при x → x₀  . 

Если функция α (x )  являются бесконечно малой при x → x₀  ,  и α (x )  ≠ 0 ,  то функция 1α (x )   является бесконечно большой при x → x₀  . 

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
1∞ = 0 ,    10 = ∞ . 

Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при x → x₀  ,  то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки x₀  ,  то этот факт можно выразить так:
lim_x → x0 α (x )  = + 0  ( lim_x → x0 α (x )  = – 0  )  . 
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при x → x₀  ,  то пишут:
lim_x → x0  f (x )  = + ∞  ( lim_x → x0  f (x )  = – ∞  )  . 

Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
1+ 0 = + ∞ ,    1– 0 = – ∞ , 
1+ ∞ = + 0 ,    1– ∞ = – 0 . 

Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства».

Пределы монотонных функций

Строго возрастающая функция

Функция  f (x )  ,  определенная на некотором множестве действительных чисел X называется строго возрастающей, если для всех x^′,  x^′′ ∈ X таких что x^′ < x^′′ выполняется неравенство:
 f (x^′ )  <  f (x^′′ )  . 

Строго убывающая функция

Функция называется строго убывающей, если для всех x^′,  x^′′ ∈ X таких что x^′ < x^′′ выполняется неравенство:
 f (x^′ )  >  f (x^′′ )  . 

Неубывающая функция

Функция называется неубывающей, если для всех x^′ < x^′′ ;    x^′,  x^′′ ∈ X  : 
 f (x^′ )  ≤  f (x^′′ )  . 

Невозрастающая функция

Функция называется невозрастающей, если для всех x^′ < x^′′ ;    x^′,  x^′′ ∈ X  : 
 f (x^′ )  ≥  f (x^′′ )  . 

Монотонная функция

Функция называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.

Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.

Теорема
Пусть функция  f (x )  не убывает на интервале (a, b )  ,  где – ∞ ≤ a < b ≤ + ∞ . 
Если она ограничена сверху числом M :  f (x )  ≤ M ,  то существует конечный предел lim_{x → b – 0}  f (x )  ≤ M .  Если  f (x )  не ограничена сверху, то lim_{x → b – 0}  f (x )  = + ∞ . 
Если  f (x )  ограничена снизу числом m :  f (x )  ≥ m ,  то существует конечный предел lim_{x → a + 0}  f (x )  ≥ m .  Если  f (x )  не ограничена снизу, то lim_{x → a + 0}  f (x )  = – ∞ . 
Доказательство

Если точки a и b являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что + ∞ – 0 = + ∞;   – ∞ + 0 = – ∞ . 
Эту теорему можно сформулировать более компактно.

Пусть функция  f (x )  не убывает на интервале (a, b )  ,  где – ∞ ≤ a < b ≤ + ∞ .  Тогда существуют односторонние пределы в точках a и b :
lim_{x → b – 0}  f (x )  = sup_(a,b )  f (x )  ; 
lim_{x → a + 0}  f (x )  = inf_(a,b )  f (x )  . 

Аналогичная теорема для невозрастающей функции.

Пусть функция  f (x )  не возрастает на интервале (a, b )  ,  где – ∞ ≤ a < b ≤ + ∞ .  Тогда существуют односторонние пределы:
lim_{x → b – 0}  f (x )  = inf_(a,b )  f (x )  ; 
lim_{x → a + 0}  f (x )  = sup_(a,b )  f (x )  . 

Определение функции, верхней и нижней грани

Функцией

y = f(x) называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .

Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной.
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной.

Множество X называется областью определения функции.
Множество элементов y ∈ Y , которые имеют прообразы в множестве X , называется областью или множеством значений функции.

Если это особо не оговорено, мы рассматриваем функции, области определения и множества значений которых принадлежат множеству действительных чисел.

Ограниченная функция

Действительная функция  f (x )  называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M , что для всех x ∈ X выполняется неравенство:
 f (x )  ≤ M  ( f (x )  ≥ M  )  . 
Числовая функция  f (x )  называется ограниченной, если существует такое число M , что для всех x ∈ X  : 
 |  f (x )  |  ≤ M . 

Верхняя грань функции

Верхней гранью или точной верхней границей sup  f  действительной функции  f (x )  называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s , для которого  f (x )  ≤ s для всех x ∈ X и для любого s^′ < s ,  найдется такой аргумент x₀  ∈ X ,  значение функции от которого превосходит s′ :  f (x₀ )  > s^′ . 
Верхняя грань функции  f (x )  может обозначаться так:
sup  f ,  sup_X  f ,  sup_x ∈ X  f (x )  . 

Нижняя грань функции

Нижней гранью или точной нижней границей inf  f  действительной функции  f (x )  называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i , для которого  f (x )  ≥ i для всех x ∈ X и для любого i^′ > i ,  найдется такой аргумент x₀  ∈ X ,  значение функции от которого меньше чем i′ :  f (x₀ )  < i^′ . 
Нижняя грань функции  f (x )  может обозначаться так:
inf  f ,  inf_X  f ,  inf_x ∈ X  f (x )  . 

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 04-04-2018   Изменено: 28-11-2021