Определение
- Непрерывная функция в точке
- Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена на некоторой окрестности этой точки, если существует предел при x стремящемся к x0, и если этот предел равен значению функции в x0:
.
Используя определения предела функции по Коши и по Гейне, можно дать развернутые определения непрерывности функции в точке.
Можно сформулировать понятие непрерывности в терминах приращений. Для этого мы вводим новую переменную , которая называется приращением переменной x в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если
.
Введем новую функцию:
.
Ее называют приращением функции в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если
.
- Непрерывность функции справа (слева)
- Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке x0, если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x0 равен значению функции в x0:
.
Более подробно, см. «Определение непрерывности функции в точке».
Свойства непрерывных в точке функций
Теорема об ограниченности непрерывной функции
Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0. Тогда существует такая окрестность U(x0), на которой функция ограничена.
Теорема о сохранении знака непрерывной функции
Пусть функция непрерывна в точке . И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке:
.
Тогда существует такая окрестность точки , на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:
при .
Арифметические свойства непрерывных функций
Пусть функции и непрерывны в точке .
Тогда функции , и непрерывны в .
Если , то и функция непрерывна в точке .
Свойство непрерывности слева и справа
Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в справа и слева.
Доказательства свойств приводятся на странице «Свойства непрерывных в точке функций».
Непрерывность сложной функции
Теорема о непрерывности сложной функции
Пусть функция t = g(x) непрерывна в точке x0. И пусть функция f(t) непрерывна в точке t0 = g(x0).
Тогда сложная функция f(g(x)) непрерывна в точке x0.
Доказательство
Предел сложной функции
Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции t = g(x) при x → x0, и он равен t0:
.
Здесь точка x0 может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f(t) непрерывна в точке t0.
Тогда существует предел сложной функции f(g(x)), и он равен f(t0):
.
Доказательство
Теорема о пределе сложной функции
Пусть функции и имеют пределы:
;
.
И пусть существует такая проколотая окрестность точки , на которой
.
Тогда существует предел сложной функции , и он равен :
.
Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Доказательство
Определения точек разрыва
- Точка разрыва функции
- Пусть функция определена на некоторой проколотой окрестности точки . Точка называется точкой разрыва функции , если выполняется одно из двух условий:
1) не определена в ;
2) определена в , но не является непрерывной ⇑ в этой точке.
- Точка разрыва первого рода
- Точка называется точкой разрыва первого рода, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.
- Скачок функции
- Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.
- Точка устранимого разрыва
- Точка называется точкой устранимого разрыва, если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .
Таким образом, точка устранимого разрыва – это точка разрыва 1-го рода, в которой скачек функции равен нулю.
- Точка разрыва второго рода
- Точка называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.
Подробнее, см. «Точки разрыва функции – определения, классификация и примеры».
Свойства функций, непрерывных на отрезке
- Непрерывная функция на отрезке
- Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и непрерывна справа и слева ⇑ в точках a и b, соответственно.
Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции
Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.
- Достижимость максимума (минимума)
- Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве , если существует такой аргумент , для которого
для всех .
- Достижимость верхней (нижней) грани
- Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве , если существует такой аргумент , для которого
.
Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции
Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.
Теорема Больцано – Коши о промежуточном значении
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть C есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и . Тогда существует точка , для которой
.
Следствие 1
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: или . Тогда существует точка , значение функции в которой равно нулю:
.
Следствие 2
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть . Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:
при .
Подробнее, см. «Свойства функций, непрерывных на отрезке».
Обратные функции
- Обратная функция
- Пусть функция имеет область определения X и множество значений Y. И пусть она обладает свойством:
для всех .
Тогда для любого элемента из множества Y можно поставить в соответствие только один элемент множества X, для которого . Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией к . Обратная функция обозначается так:
.
Из определения следует, что
;
для всех ;
для всех .
Лемма о взаимной монотонности прямой и обратной функций
Если функция строго возрастает (убывает), то существует обратная функция , которая также строго возрастает (убывает).
Свойство о симметрии графиков прямой и обратной функций
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой .
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (строго убывает) на отрезке . Тогда на отрезке определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (строго убывает).
Для возрастающей функции .
Для убывающей: .
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (строго убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале . Тогда на интервале определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (строго убывает).
Для возрастающей функции .
Для убывающей: .
Аналогичным образом можно сформулировать теорему о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале.
Подробнее, см. «Обратные функции – определение и свойства».
Свойства и непрерывность элементарных функций
Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. Далее мы приводим формулировки соответствующих теорем и даем ссылки на их доказательства.
Показательная функция
- Показательная функция
- Показательная функция f(x) = ax, с основанием a > 0 – это предел последовательности
,
где есть произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к x:
.
Показательная функция имеет следующие свойства:
(П.0) определена, при , для всех ;
(П.1) при a ≠ 1 имеет множество значений ;
(П.2) строго возрастает при , строго убывает при , является постоянной при ;
(П.3) ;
(П.3*) ;
(П.4) ;
(П.5) ;
(П.6) ;
(П.7) ;
(П.8) непрерывна для всех ;
(П.9) при ;
при .
Подробнее, см. «Определение и доказательство свойств показательной функции».
Логарифм
- Логарифмическая функция
- Логарифмическая функция, или логарифм, y = loga x, с основанием a – это функция, обратная к показательной функции с основанием a.
Функция, y = loga x, имеет следующие свойства:
(Л.1) определена и непрерывна, при и , для положительных значений аргумента,;
(Л.2) имеет множество значений ;
(Л.3) строго возрастает при , строго убывает при ;
(Л.4) при ;
при ;
(Л.5) ;
(Л.6) при ;
(Л.7) при ;
(Л.8) при ;
(Л.9) при .
Подробнее, см. «Определение и доказательство свойств логарифма».
Экспонента и натуральный логарифм
В определениях показательной функции и логарифма фигурирует постоянная a, которая называется основанием степени или основанием логарифма. В математическом анализе, в подавляющем большинстве случаев, получаются более простые вычисления, если в качестве основания использовать число e:
.
Показательную функцию с основанием e называют экспонентой: , а логарифм по основанию e – натуральным логарифмом: .
Свойства экспоненты и натурального логарифма изложены на страницах
«Число e – его смысл и доказательство сходимости последовательности»;
«Экспонента, е в степени х»;
«Натуральный логарифм, функция ln x».
Степенная функция
- Степенная функция
- с показателем степени p – это функция f(x) = x p, значение которой в точке x равно значению показательной функции с основанием x в точке p.
Кроме этого, f(0) = 0 p = 0 при p > 0.
Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции y = x p при неотрицательных значениях аргумента . Для рациональных , при нечетных m, степенная функция определена и для отрицательных x. В этом случае, ее свойства можно получить, используя четность или нечетность.
Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице «Степенная функция, ее свойства и графики».
Степенная функция, y = x p, с показателем p имеет следующие свойства:
(С.1) определена и непрерывна на множестве
при ,
при ;
(С.2) имеет множество значений
при ,
при ;
(С.3) строго возрастает при ,
строго убывает при ;
(С.4) при ;
при ;
(С.5) ;
(С.5*) ;
(С.6) ;
(С.7) ;
(С.8) ;
(С.9) .
Подробнее, см. «Непрерывность и свойства степенной функции».
Тригонометрические функции
Теорема о непрерывности тригонометрических функций
Тригонометрические функции: синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x) и котангенс (ctg x), непрерывны на своих областях определения.
Теорема о непрерывности обратных тригонометрических функций
Обратные тригонометрические функции: арксинус (arcsin x), арккосинус (arccos x), арктангенс (arctg x) и арккотангенс (arcctg x), непрерывны на своих областях определения.
Подробнее, см. «Доказательство непрерывности тригонометрических функций».
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.