Методы решения физико-математических задач

Непрерывность функций – теоремы и свойства

Определение непрерывной функции
Приводятся определения и формулировки основных теорем и свойств непрерывной функции одной переменной. Рассмотрены свойства непрерывной функции в точке, на отрезке, предел и непрерывность сложной функции, классификация точек разрыва. Даны определения и теоремы, связанные с обратной функцией. Изложены свойства элементарных функций.

Непрерывность функции в точке

Определение
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена на некоторой окрестности этой точки, и если предел при x стремящемся к x0 равен значению функции в x0:
.

Теорема о сохранении знака непрерывной функции
Пусть функция непрерывна в точке . И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке:
.
Тогда существует такая окрестность точки , на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:
  при  .

Арифметические свойства непрерывных функций
Пусть функции   и   непрерывны в точке .
Тогда функции , и непрерывны в точке .
Если , то и функция непрерывна в точке .

Определение непрерывности справа (слева)
Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке x0, если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x0 равен значению функции в x0:
.

Свойство
Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в справа и слева.

Непрерывность сложной функции

Теорема о непрерывности сложной функции
Пусть функция   непрерывна в точке . И пусть функция   непрерывна в точке .
Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Предел сложной функции

Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции при , и он равен :
.
Здесь точка t0 может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция   непрерывна в точке .
Тогда существует предел сложной функции , и он равен :
.

Эта теорема означает, что знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции:
.

Теорема о пределе сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки . Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.

Точки разрыва

Определение точки разрыва
Пусть функция определена на некоторой проколотой окрестности точки . Точка называется точкой разрыва функции , если выполняется одно из двух условий:
1) не определена в ;
2) определена в , но не является непрерывной ⇑ в этой точке.

Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.

Определение скачка функции
Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.

Определение точки устранимого разрыва
Точка называется точкой устранимого разрыва, если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .

Таким образом, точка устранимого разрыва – это точка разрыва 1-го рода, в которой скачек функции равен нулю.

Определение точки разрыва 2-го рода
Точка называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

Непрерывность на отрезке

Определение функции, непрерывной на отрезке
Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и непрерывна справа и слева ⇑ в точках a и b, соответственно.

Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции
Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Определение достижимости максимума (минимума)
Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве , если существует такой аргумент , для которого
для всех .

Определение достижимости верхней (нижней) грани
Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве , если существует такой аргумент , для которого
.

Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции
Непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.

Теорема Больцано – Коши о промежуточном значении
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть C есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и . Тогда существует точка , для которой
.

Следствие 1
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: или . Тогда существует точка , значение функции в которой равно нулю:
.

Следствие 2
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть . Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:
  при  .

Обратные функции

Определение обратной функции
Пусть функция имеет область определения X и множество значений Y. И пусть она обладает свойством:
для всех .
Тогда для любого элемента из множества Y можно поставить в соответствие только один элемент множества X, для которого . Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией к . Обратная функция обозначается так:
.

Из определения следует, что
;
  для всех  ;
  для всех  .

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке . Тогда на отрезке определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (убывает).

Для возрастающей функции . Для убывающей – .

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале . Тогда на интервале определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (убывает).

Для возрастающей функции .
Для убывающей: .

Свойства и непрерывность элементарных функций

Показательная функция

При натуральных n, выражение обозначает произведение n равных множителей:
.
Тогда выражение является функцией, определенной на множестве натуральных чисел, , которая называется показательной функцией. Она обладает следующими свойствами:
(1)   ;
(2)   ;
(3)   .

При , определение показательной функции можно расширить на множество действительных чисел.

Пусть . Тогда показательная функция обладает следующими свойствами:
определена и непрерывна для всех действительных чисел: ;
строго убывает при ;
строго возрастает при ;
обладает свойствами (1–3).

См. «Показательная функция: ее графики, свойства и формулы».

Логарифм

Пусть   и  . Тогда показательная функция строго монотонна и, поэтому, имеет обратную функцию, которая называется логарифмом.

Логарифм по основанию a есть функция , обратная к показательной функции :
.
Логарифм обладает следующими свойствами:
определен и непрерывен при положительных значениях аргумента: ;
строго убывает при ;
строго возрастает при ;
;
;
.

См. «Логарифм – свойства, формулы, график».

Экспонента и натуральный логарифм

В определениях показательной функции и логарифма фигурирует постоянная a, которая называется основанием степени или основанием логарифма. Переход от одного основания к другому выполняется по формулам:
;
.

В математическом анализе, в подавляющем большинстве случаев, получаются более простые вычисления, если в качестве основания использовать число e:
.
Показательную функцию с основанием e называют экспонентой: , а логарифм по основанию e – натуральным логарифмом: .

Поэтому, там где это возможно, в качестве показательной функции мы будем использовать экспоненту: , а в качестве логарифма – натуральный логарифм: .

Свойства экспоненты и натурального логарифма изложены на страницах
«Экспонента, е в степени х»,
«Натуральный логарифм, функция ln x»

Степенная функция

Степенная функция, , зависит от основания степени при некотором фиксированном значении показателя степени α, который может принимать любые действительные значения: . Ее можно представить как сложную функцию, выразив через экспоненту и натуральный логарифм:
.

Тогда степенная функция обладает следующими свойствами:
определена и непрерывна при положительных значениях аргумента: ;
строго убывает при ;
строго возрастает при .

При степенную функцию можно доопределить в точке значением . Тогда она будет определена и непрерывна при  .

См. «Степенная функция и корни, формулы и график».

Тригонометрические функции

Функции синус (sin x) и косинус (cos x) определены и непрерывны для всех x: .

Функция   строго возрастает при

и строго убывает при
.
Здесь и далее – целое число.

Функция   строго возрастает при

и строго убывает при
.

См. «Синус и косинус – свойства, графики, формулы».

Функция тангенс:
.
Тангенс определен и непрерывен при .
Он возрастает на всей области определения.

Функция котангенс:
.
Котангенс определен и непрерывен при .
Он убывает на всей области определения.

См. «Тангенс и котангенс – свойства, графики, формулы».

Обратные тригонометрические функции

Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции многозначны. Однако, если ограничить аргумент тригонометрической функции интервалом, на котором эта функция строго монотонна, то можно определить однозначную обратную функцию. Такую процедуру можно выполнить бесчисленным числом способов. Поэтому под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяют так, чтобы область их значений была как можно близкой к нулю и, по возможности имела положительные значения.

Более подробное изложение свойств обратных тригонометрических функций дано в разделе
«Обратные тригонометрические функции, их графики и формулы».

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

.     Опубликовано: