Методы решения физико-математических задач

Непрерывность функций – теоремы и свойства

Определение непрерывной функции
Приводятся определения и формулировки основных теорем и свойств непрерывной функции одной переменной. Рассмотрены свойства непрерывной функции в точке, на отрезке, предел и непрерывность сложной функции, классификация точек разрыва. Даны определения и теоремы, связанные с обратной функцией. Изложены свойства элементарных функций.

Определение непрерывности функции

Определение
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена на некоторой окрестности этой точки, и если предел при x стремящемся к x0 равен значению функции в x0:
.

Используя определения предела функции по Коши и по Гейне, можно дать развернутые определения непрерывности функции в точке.

Можно сформулировать понятие непрерывности в терминах приращений. Для этого мы вводим новую переменную , которая называется приращением переменной x в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если
.
Введем новую функцию:
.
Ее называют приращением функции в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если
.

Определение непрерывности справа (слева)
Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке x0, если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x0 равен значению функции в x0:
.

Более подробно, см. «Определение непрерывности функции в точке».

Свойства непрерывных в точке функций

Теорема об ограниченности непрерывной функции
Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0. Тогда существует такая окрестность U(x0), на которой функция ограничена.

Теорема о сохранении знака непрерывной функции
Пусть функция непрерывна в точке . И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке:
.
Тогда существует такая окрестность точки , на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:
  при  .

Арифметические свойства непрерывных функций
Пусть функции   и   непрерывны в точке .
Тогда функции , и непрерывны в точке .
Если , то и функция непрерывна в точке .

Свойство непрерывности слева и справа
Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в справа и слева.

Доказательства свойств приводятся на странице «Свойства непрерывных в точке функций».

Непрерывность сложной функции

Теорема о непрерывности сложной функции
Пусть функция   непрерывна в точке . И пусть функция   непрерывна в точке .
Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Предел сложной функции

Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции при , и он равен :
.
Здесь точка t0 может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция   непрерывна в точке .
Тогда существует предел сложной функции , и он равен :
.

Теорема о пределе сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки . Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.

Подробнее, см. «Предел и непрерывность сложной функции».

Точки разрыва

Определение точки разрыва
Пусть функция определена на некоторой проколотой окрестности точки . Точка называется точкой разрыва функции , если выполняется одно из двух условий:
1) не определена в ;
2) определена в , но не является непрерывной ⇑ в этой точке.

Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.

Определение скачка функции
Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.

Определение точки устранимого разрыва
Точка называется точкой устранимого разрыва, если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .

Таким образом, точка устранимого разрыва – это точка разрыва 1-го рода, в которой скачек функции равен нулю.

Определение точки разрыва 2-го рода
Точка называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

Подробнее, см. «Точки разрыва функции – определения, классификация и примеры».

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение функции, непрерывной на отрезке
Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и непрерывна справа и слева ⇑ в точках a и b, соответственно.

Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции
Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Определение достижимости максимума (минимума)
Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве , если существует такой аргумент , для которого
для всех .

Определение достижимости верхней (нижней) грани
Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве , если существует такой аргумент , для которого
.

Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции
Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.

Теорема Больцано – Коши о промежуточном значении
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть C есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и . Тогда существует точка , для которой
.

Следствие 1
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: или . Тогда существует точка , значение функции в которой равно нулю:
.

Следствие 2
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть . Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:
  при  .

Подробнее, см. «Свойства функций, непрерывных на отрезке».

Обратные функции

Определение обратной функции
Пусть функция имеет область определения X и множество значений Y. И пусть она обладает свойством:
для всех .
Тогда для любого элемента из множества Y можно поставить в соответствие только один элемент множества X, для которого . Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией к . Обратная функция обозначается так:
.

Из определения следует, что
;
  для всех  ;
  для всех  .

Лемма о взаимной монотонности прямой и обратной функций
Если функция строго возрастает (убывает), то существует обратная функция , которая также строго возрастает (убывает).

Свойство о симметрии графиков прямой и обратной функций
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой .

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке . Тогда на отрезке определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (убывает).

Для возрастающей функции . Для убывающей – .

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале . Тогда на интервале определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (убывает).

Для возрастающей функции .
Для убывающей: .

Аналогичным образом можно сформулировать теорему о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале.

Подробнее, см. «Обратные функции – определение и свойства».

Свойства и непрерывность элементарных функций

Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. Далее мы приводим формулировки соответствующих теорем и даем ссылки на их доказательства.

Показательная функция

Показательная функция f(x) = ax, с основанием a > 0 – это предел последовательности
,
где есть произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к x:
.

Теорема. Свойства показательной функции
Показательная функция имеет следующие свойства:
(П.0)   определена, при , для всех ;
(П.1)   при a ≠ 1 имеет множество значений ;
(П.2)   строго возрастает при , строго убывает при , является постоянной при ;
(П.3)   ;
(П.3*)   ;
(П.4)   ;
(П.5)   ;
(П.6)   ;
(П.7)   ;
(П.8)   непрерывна для всех ;
(П.9)     при ;
  при .

Подробнее, см. «Определение и доказательство свойств показательной функции».

Логарифм

Логарифмическая функция, или логарифм, y = loga x, с основанием a – это функция, обратная к показательной функции с основанием a.

Теорема. Свойства логарифма
Логарифмическая функция с основанием a,   y = loga x, имеет следующие свойства:
(Л.1)   определена и непрерывна, при и , для положительных значений аргумента,;
(Л.2)   имеет множество значений ;
(Л.3)   строго возрастает при , строго убывает при ;
(Л.4)     при ;
  при ;
(Л.5)   ;
(Л.6)   при ;
(Л.7)     при  ;
(Л.8)     при  ;
(Л.9)     при  .

Подробнее, см. «Определение и доказательство свойств логарифма».

Экспонента и натуральный логарифм

В определениях показательной функции и логарифма фигурирует постоянная a, которая называется основанием степени или основанием логарифма. В математическом анализе, в подавляющем большинстве случаев, получаются более простые вычисления, если в качестве основания использовать число e:
.
Показательную функцию с основанием e называют экспонентой: , а логарифм по основанию e – натуральным логарифмом: .

Свойства экспоненты и натурального логарифма изложены на страницах
«Экспонента, е в степени х»,
«Натуральный логарифм, функция ln x»

Степенная функция

Степенная функция с показателем степени p – это функция  f(x) = x p, значение которой в точке x равно значению показательной функции с основанием x в точке p.
Кроме этого,  f(0) = 0 p = 0  при  p > 0.

Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции y = x p при неотрицательных значениях аргумента . Для рациональных , при нечетных m, степенная функция определена и для отрицательных x. В этом случае, ее свойства можно получить, используя четность или нечетность.
Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице «Степенная функция, ее свойства и графики».

Теорема. Свойства степенной функции (x ≥ 0)
Степенная функция,   y = x p, с показателем p имеет следующие свойства:
(С.1)   определена и непрерывна на множестве
при ,
при ;
(С.2)   имеет множество значений
при ,
при ;
(С.3)   строго возрастает при ,
строго убывает при ;
(С.4)     при ;
  при ;
(С.5)   ;
(С.5*)   ;
(С.6)   ;
(С.7)   ;
(С.8)   ;
(С.9)   .

Подробнее, см. «Непрерывность и свойства степенной функции».

Тригонометрические функции

Теорема о непрерывности тригонометрических функций
Тригонометрические функции: синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x) и котангенс (ctg x), непрерывны на своих областях определения.

Теорема о непрерывности обратных тригонометрических функций
Обратные тригонометрические функции: арксинус (arcsin x), арккосинус (arccos x), арктангенс (arctg x) и арккотангенс (arcctg x), непрерывны на своих областях определения.

Подробнее, см. «Доказательство непрерывности тригонометрических функций».

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

.     Опубликовано:   Изменено: