Непрерывность функций – теоремы и свойства

Приводятся определения и формулировки основных теорем и свойств непрерывной функции одной переменной. Рассмотрены свойства непрерывной функции в точке, на отрезке, предел и непрерывность сложной функции, классификация точек разрыва. Даны определения и теоремы, связанные с обратной функцией. Изложены свойства элементарных функций.

Содержание

См. также:

Определение

Непрерывная функция в точке: Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она определена на некоторой окрестности U(x₀) этой точки, если существует предел при x стремящемся к x₀, и если этот предел равен значению функции в x₀:
lim_{x → x₀} f (x) = f (x₀).

Используя определения предела функции по Коши и по Гейне, можно дать развернутые определения непрерывности функции в точке.

Можно сформулировать понятие непрерывности в терминах приращений. Для этого мы вводим новую переменную Δx = x – x₀, которая называется приращением переменной x в точке x₀. Тогда функция непрерывна в точке x₀, если
lim_{Δx → 0} f (x₀ + Δx) = f (x₀).
Введем новую функцию:
Δ f = f (x) – f (x₀) = f (x₀ + Δx) – f (x₀).
Ее называют приращением функции в точке x₀. Тогда функция непрерывна в точке x₀, если
lim_{Δx → 0} Δ f = 0.

Непрерывность функции справа (слева): Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке x₀, если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности U(x₀ + 0) (U(x₀ – 0)) этой точки, и если правый (левый) предел в точке x₀ равен значению функции в x₀:
f (x₀ + 0) ≡ lim_{x → x₀ + 0} f (x) = f (x₀) ( f (x₀ – 0) ≡ lim_{x → x₀ – 0} f (x) = f (x₀)).

Свойства непрерывных в точке функций

Теорема об ограниченности непрерывной функции

Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀.
Тогда существует такая окрестность U(x₀), на которой функция ограничена.
Доказательство

Теорема о сохранении знака непрерывной функции

Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀.
И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке:
f(x₀) > 0 ( f(x₀) < 0 ).
Тогда существует такая окрестность U(x₀) точки x₀, на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:
f(x) > 0 ( f(x) < 0 ) при x ∈ U(x₀).
Доказательство

Арифметические свойства непрерывных функций

Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны в точке x₀.
Тогда их сумма f (x) + g(x), разность f (x) – g(x) и произведение f (x) ⋅ g(x) непрерывны в точке x₀.
Если g(x₀) ≠ 0,
то и частное функций f (x)g(x) непрерывно в точке x₀.
Доказательство

Свойство непрерывности слева и справа

Функция f непрерывна в точке x₀ тогда и только тогда,
когда она непрерывна в x₀ слева и справа.
Доказательство

Непрерывность сложной функции

Теорема о непрерывности сложной функции

Пусть функция t = g(x) непрерывна в точке x₀.
И пусть функция f(t) непрерывна в точке t₀ = g(x₀).
Тогда сложная функция f(g(x)) непрерывна в точке x₀.
Доказательство

Предел сложной функции

Теорема о пределе непрерывной функции от функции

Пусть существует предел функции t = g(x) при x → x₀, и он равен t₀:
lim_{x → x₀} g(x) = t₀.
Здесь точка x₀ может быть конечной или бесконечно удаленной: x₀ ∈ R.
И пусть функция f(t) непрерывна в точке t₀.
Тогда существует предел сложной функции f(g(x)), и он равен f(t₀):
lim_{x → x₀} f (g(x)) = f ( lim_{x → x₀} g(x) ) = f (t₀).
Доказательство

Теорема о пределе сложной функции

Пусть функции t = g(x) и y = f (t) имеют пределы:
lim_{x → x₀} g(x) = t₀;
lim_{t → t₀} f (t) = y₀.
И пусть существует такая проколотая окрестность ^○U₀ (x₀) точки x₀, на которой
g(x) ≠ t₀; x ∈ ^○U₀ (x₀).
Здесь x₀, t₀, y₀ – конечные или бесконечно удаленные точки: x₀, t₀, y₀ ∈ R.
Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции f (g(x)), и он равен y₀:
lim_{x → x₀} f (g(x)) = y₀.
Доказательство

Точки разрыва – определения и классификация

Точка разрыва функции: Пусть функция f (x) определена на некоторой проколотой окрестности ^○U(x₀) точки x₀ ∈ R. Точка x₀ называется точкой разрыва функции f (x), если выполняется одно из двух условий:
1) f (x) не определена в x₀;
2) f (x) определена в x₀, но не является непрерывной ⇑ в этой точке.
Точка разрыва первого рода: Точка x₀ называется точкой разрыва первого рода, если x₀ является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева f (x₀ – 0) и справа f (x₀ + 0):
f (x₀ – 0) ≡ lim_{x → x₀ – 0} f (x), f (x₀ + 0) ≡ lim_{x → x₀ + 0} f (x).
Скачок функции: Скачком Δ функции f (x) в точке x₀ называется разность пределов справа и слева
Δ = f (x₀ + 0) – f (x₀ – 0).
Точка устранимого разрыва: Точка x₀ называется точкой устранимого разрыва, если существует предел
lim_{x → x₀} f (x) = a,
но функция в точке x₀ или не определена, или не равна предельному значению: f (x₀) ≠ a.

Таким образом, точка устранимого разрыва – это точка разрыва 1-го рода, в которой скачек функции равен нулю.

Точка разрыва второго рода: Точка x₀ называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке x₀ равен бесконечности.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Непрерывная функция на отрезке: Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [a, b] (при a ≤ x ≤ b), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (a, b) (при a < x < b) и непрерывна справа и слева ⇑ в точках a и b, соответственно.

Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции

Если функция f непрерывна на отрезке [a, b],
то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство

Достижимость максимума (минимума): Функция f достигает своего максимума (минимума) на множестве X, если существует такой аргумент x_m ∈ X, для которого
f (x_m) ≥ f (x) ( f (x_m) ≤ f (x)) для всех x ∈ X.
Достижимость верхней (нижней) грани: Функция f достигает своей верхней (нижней) грани на множестве X, если существует такой аргумент x_m ∈ X, для которого
f (x_m) = sup_X f (x) ( f (x_m) = inf_X f (x)).

Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции

Непрерывная на отрезке [a,b] функция f
достигает на нем своих нижней и верхней граней.
Или, что тоже самое, достигает на отрезке своего минимума и максимума.
То есть существуют такие точки x₁, x₂ ∈ [a,b], так что для любого x ∈ [a,b], выполняются неравенства:
f(x₁) ≤ f(x) ≤ f(x₂).
Доказательство

Вторая теорема Больцано – Коши о промежуточном значении

Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b].
И пусть C есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: A = f (a) и B = f (b).
Тогда существует точка ξ ∈ [a, b], для которой
f (ξ) = C.
Доказательство

Следствие 1 (первая теорема Больцано – Коши)

Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b].
И пусть значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: f (a) > 0, f (b) < 0 или f (a) < 0, f (b) > 0.
Тогда существует точка ξ ∈ (a, b), значение функции в которой равно нулю:
f (ξ) = 0.

Следствие 2

Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b].
И пусть m = min_[a,b] f , M = max_[a,b] f .
Тогда функция принимает на отрезке все значения из [m, M] и только эти значения:
m ≤ f (x) ≤ M при a ≤ x ≤ b.

Обратные функции

Обратная функция: Пусть функция y = f (x) имеет область определения X и множество значений Y. И пусть она обладает свойством:
f (x₁) ≠ f (x₂) для всех x₁, x₂ ∈ X, x₁ ≠ x₂.
Тогда для любого элемента y ∈ Y из множества Y можно поставить в соответствие только один элемент множества X, для которого y = f (x). Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией к f . Обратная функция обозначается так:
x = f ^–1 (y).

Из определения следует, что
y = f (x) ⇔ x = f ^–1 (y);
f ^–1 ( f (x)) = x для всех x ∈ X;
f ( f ^–1 (y)) = y для всех y ∈ Y.

Теорема о существовании и монотонности обратной функции

Если функция f строго возрастает (убывает),
то существует обратная функция f ^–1, которая также строго возрастает (убывает).
Доказательство

Свойство симметрии графиков обратных функций

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X,
и имеет множество значений Y: f (X) ∈ Y.
И пусть она имеет на множестве X обратную функцию f^-1: f ^–1 (Y) ∈ X.
Тогда графики прямой f и обратной f ^–1 функций, построенные при значениях их аргументов x ∈ X и x ∈ Y, соответственно, симметричны относительно прямой y = x.
Доказательство

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке

Пусть функция f непрерывна
и строго возрастает (строго убывает) на отрезке [a, b].
Тогда на отрезке [ min_[a,b] f , max_[a,b] f ] определена и непрерывна обратная функция f ^–1, которая строго возрастает (строго убывает).
Для возрастающей функции min_[a,b] f = f (a), max_[a,b] f = f (b).
Для убывающей: min_[a,b] f = f (b), max_[a,b] f = f (a).
Доказательство

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале

Пусть функция f непрерывна
и строго возрастает (строго убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале (a, b).
Тогда на интервале ( inf_(a,b) f , sup_(a,b) f ) определена и непрерывна обратная функция f ^–1, которая строго возрастает (строго убывает).
Для возрастающей функции inf_(a,b) f = lim_{x → a + 0} f (x), sup_(a,b) f = lim_{x → b – 0} f (x).
Для убывающей: inf_(a,b) f = lim_{x → b – 0} f (x), sup_(a,b) f = lim_{x → a + 0} f (x).
Доказательство

Аналогичным образом можно сформулировать теорему о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале.

Свойства и непрерывность элементарных функций

Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. Далее мы приводим формулировки соответствующих теорем и даем ссылки на их доказательства.

Показательная функция

Показательная функция: Показательная функция f(x) = a^x, с основанием a > 0 – это предел последовательности
a^x = lim_{n → ∞} a^r_n,
где {r_n} есть произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к x:
lim_{n → ∞} r_n = x.

Теорема. Свойства показательной функции

Показательная функция y = a^x
имеет на множестве действительных чисел x следующие свойства:
(П.0) определена, при a > 0, для всех x : –∞ < x < +∞;
(П.1) при a ≠ 1 имеет множество значений y : 0 < y < +∞;
(П.2) строго возрастает при a > 1, строго убывает при 0 < a < 1, является постоянной y = 1 при a = 1;
(П.3) a^{x₁ + x₂} = a^x₁ ⋅ a^x₂;
(П.3*) a^{x₁ – x₂} = a^x₁a^x₂;
(П.4) ( a^x₁ )^x₂ = a^{x₁ ⋅ x₂} = ( a^x₂ )^x₁;
(П.5) (a ⋅ b)^x = a^x ⋅ b^x;
(П.5*) ( ab )^x = a^xb^x;
(П.6) a⁰ = 1;
(П.7) a^–x = 1a^x;
(П.8) непрерывна для всех x : –∞ < x < +∞;
(П.9) lim_{x → –∞} a^x = 0, lim_{x → +∞} a^x = +∞ при a > 1;

lim_{x → –∞} a^x = +∞, lim_{x → +∞} a^x = 0 при 0 < a < 1.
Доказательство

Логарифм

Логарифмическая функция: Логарифмическая функция, или логарифм, y = log_a x, с основанием a – это функция, обратная к показательной функции с основанием a.

Теорема. Свойства логарифма

Логарифмическая функция с основанием a, y = log_a x
имеет следующие свойства:
(Л.1) определена и непрерывна, при a > 0 и a ≠ 1, для положительных значений аргумента,x > 0;
(Л.2) имеет множество значений y : –∞ < y < +∞;
(Л.3) строго возрастает при a > 1, строго убывает при 0 < a < 1;
(Л.4) lim_{x → 0 + 0} log_a x = –∞, lim_{x → +∞} log_a x = +∞ при a > 1;

lim_{x → 0 + 0} log_a x = +∞, lim_{x → +∞} log_a x = –∞ при 0 < a < 1;
(Л.5) log_a a^x = x;
(Л.6) a^log_a x = x при x > 0;
(Л.7) log_a (x₁ ⋅ x₂) = log_a x₁ + log_a x₂ при x₁, x₂ > 0;
(Л.8) log_a x^p = p log_a x при x > 0;
(Л.9) log_a x = log_b xlog_b a при x > 0, b > 0, b ≠ 1.
Доказательство

Экспонента и натуральный логарифм

В определениях показательной функции и логарифма фигурирует постоянная a, которая называется основанием степени или основанием логарифма. В математическом анализе, в подавляющем большинстве случаев, получаются более простые вычисления, если в качестве основания использовать число e:
e = lim_{n → ∞}( 1 + 1n )ⁿ ≈ 2, 718281828459045... .
Показательную функцию с основанием e называют экспонентой: y = e^x, а логарифм по основанию e – натуральным логарифмом: y = ln x ≡ log_e x.

Свойства экспоненты и натурального логарифма изложены на страницах
«Число e – его смысл и доказательство сходимости последовательности»;
«Экспонента, е в степени х»;
«Натуральный логарифм, функция ln x».

Степенная функция

Степенная функция: с показателем степени p – это функция f(x) = x^p, значение которой в точке x равно значению показательной функции с основанием x в точке p.
Кроме этого, f(0) = 0^p = 0 при p > 0.

Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции y = x^p при неотрицательных значениях аргумента x ≥ 0. Для рациональных p = n / m, при нечетных m, степенная функция определена и для отрицательных x. В этом случае, ее свойства можно получить, используя четность или нечетность.
Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице «Степенная функция, ее свойства и графики».

Теорема. Свойства степенной функции (x ≥ 0)

Степенная функция, y = x^p, с показателем p
имеет следующие свойства:
(С.1) определена и непрерывна на множестве
{x : x ≥ 0} при p > 0,
{x : x > 0} при p < 0;
(С.2) имеет множество значений
{y : y ≥ 0} при p > 0,
{y : y > 0} при p < 0;
(С.3) строго возрастает при p > 0,
строго убывает при p < 0;
(С.4) 0^p = 0, lim_{x → +∞} x^p = +∞ при p > 0;

lim_{x → 0 + 0} x^p = +∞, lim_{x → +∞} x^p = 0 при p < 0;
(С.5) x^p + q = x^p ⋅ x^q;
(С.5*) x^p – q = x^px^q;
(С.6) ( x^p )^q = x^p ⋅ q = ( x^q )^p;
(С.7) (x₁ ⋅ x₂)^p = x^p₁ ⋅ x^p₂;
(С.7*) ( x₁x₂ )^p = x^p₁x^p₂;
(С.8) x⁰ = 1;
(С.9) x^–p = 1x^p.
Доказательство

Тригонометрические функции

Теорема о непрерывности тригонометрических функций

Тригонометрические функции: синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x) и котангенс (ctg x),
непрерывны на своих областях определения.
Доказательство

Теорема о непрерывности обратных тригонометрических функций

Обратные тригонометрические функции: арксинус (arcsin x), арккосинус (arccos x), арктангенс (arctg x) и арккотангенс (arcctg x),
непрерывны на своих областях определения.
Доказательство

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 15-08-2018 Изменено: 09-06-2020

См. также: