Точки разрыва функции – определения, классификация и примеры
Определения и классификация точек разрыва функции
- Точка разрыва функции
- Конечная точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), если функция определена на некоторой проколотой окрестности ○U(x0) точки x0, но не является непрерывной в этой точке.
То есть, в точке разрыва, функция либо не определена, либо определена, но хотя бы один односторонний предел в этой точке или не существует, или не равен значению f(x0) функции в точке x0. См. Определение непрерывности функции в точке
- Точка разрыва 1-го рода
- Точка x0 называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы слева f (x0 – 0) и справа f (x0 + 0):
f (x0 – 0) ≡ limx → x0 – 0 f (x), f (x0 + 0) ≡ limx → x0 + 0 f (x),
но x0 является точкой разрыва (то есть или функция не определена в x0, или односторонние пределы не равны значению функции в x0). - Скачек функции
- Скачком Δ функции f (x) в точке x0 называется разность пределов справа и слева
Δ = f (x0 + 0) – f (x0 – 0).
- Точка устранимого разрыва
- Точка x0 называется точкой устранимого разрыва, если существует предел
limx → x0 f (x) = a,
но функция в точке x0 или не определена, или не равна предельному значению: f (x0) ≠ a.
Таким образом, точка устранимого разрыва – это точка разрыва первого рода, в которой скачек функции равен нулю.
- Точка разрыва 2-го рода
- Точка разрыва x0 называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в x0 равен бесконечности.
Исследование функций на непрерывность
При исследовании функций на непрерывность мы используем следующие факты.
- Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. К ним относятся следующие функции:
x a, a x, sin x, cos x, tg x, ctg x, sh x, ch x, th x, cth x, а также постоянная и обратные к ним функции. См. «Справочник по элементарным функциям». - Сумма, разность и произведение непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве.
Частное двух непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. См. «Арифметические свойства непрерывных функций» - Сложная функция f (g(t)) непрерывна в точке t0, если функция x = g(t) непрерывна в точке t0, а функция f (x) непрерывна в точке x0 = g(t0). См. «Предел и непрерывность сложной функции»
Примеры
Все примеры Далее мы приводим подробные решения примеров, в которых требуется исследовать функцию на непрерывность и установить вид точек разрыва, если есть.
| x, | x < –1 |
| x 2 + 1, | –1 ≤ x < 1 |
| 2x, | x ≥ 1 |
Пример 1
Все примеры ⇑ Задана функция y = f (x) и два значения аргумента x1 и x2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа, установить вид разрыва; 3) сделать схематический чертеж.
f (x) = 4 1 / (x + 2), x1 = –4, x2 = –2.
Решение
Заданная функция является сложной. Ее можно рассматривать как композицию двух функций:
z = z(x) = 1 / (x + 2), y = g(z) = 4 z. Тогда
y = f (x) = g(z(x)).
Рассмотрим функцию z = z(x) = 1 / (x + 2). Она составлена из функции z1 (x) = x и постоянных с помощью арифметических операций сложения и деления. Функция z1 (x) = x является элементарной – степенной функцией с показателем степени 1. Она определена и непрерывна для всех значений переменной x : –∞ < x < +∞. Поэтому функция z(x) = 1 / (x + 2) определена и непрерывна для всех x, кроме точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем уравнение:
x + 2 = 0 ⇒ x = –2.
Получаем единственный корень x = –2.
Итак, функция z(x) = 1 / (x + 2) определена и непрерывна для всех x, кроме точки x = –2.
Рассмотрим функцию y = g(z) = 4 z. Это показательная функция с положительным основанием степени. Она определена и непрерывна для всех значений переменной z : –∞ < z < +∞.
Поэтому заданная функция y = g(z(x)) определена и непрерывна для всех значений переменной x, кроме точки x = –2.
Таким образом, в точке x1 = –4, заданная функция является непрерывной.
Рассмотрим точку x2 = –2. В этой точке функция не определена. Поэтому она не является непрерывной. Установим род разрыва. Для этого находим односторонние пределы.
Используя связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями, для предела слева имеем:
при x → –2 – 0,
(x + 2) → (–2 – 0 + 2) = 0 – 0 = –0,
1x + 2 → 1–0 = –∞,
4 1 / (x + 2) → 4 –∞ = 0.
Здесь мы использовали следующие общепринятые обозначения:
F(x0 ± 0) ≡ limx → x0 ± 0 F(x), F(±∞) ≡ limx → ±∞ F(x).
Также мы использовали свойство показательной функции с основанием a = 4 > 1:
a –∞ ≡ limx → –∞ a x = 0.
Аналогично, для предела справа имеем:
при x → –2 + 0,
(x + 2) → (–2 + 0 + 2) = 0 + 0 = +0,
1x + 2 → 1+0 = +∞,
4 1 / (x + 2) → 4 +∞ = +∞.
Поскольку один из односторонних пределов равен бесконечности, то в точке x2 = –2 разрыв второго рода.
Ответ
В точке x1 = –4 функция непрерывна.
В точке x2 = –2 разрыв второго рода,
limx → –2 – 0 4 1 / (x + 2) = 0, limx → –2 + 0 4 1 / (x + 2) = +∞.
Пример 2
Все примеры ⇑ Задана функция y = f (x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Указать род разрыва и скачек функции, если есть. Сделать чертеж.
| x, | x < –1 |
| x 2 + 1, | –1 ≤ x < 1 |
| 2x, | x ≥ 1 |
Решение
Функция y1 = x = x 1 является степенной функцией с целым показателем степени, равным 1. Такую функцию также называют линейной. Она определена и непрерывна для всех значений переменной x : –∞ < x < +∞.
В f (x) входят еще две функции: y2 = x 2 + 1 и y3 = 2x. Они составлены из функции y1 = x и постоянных с помощью арифметических операций сложения и умножения:
y2 = x ⋅ x + 1, y3 = 2 ⋅ x.
Поэтому они также непрерывны для всех x.
Поскольку функции, входящие в состав f (x) непрерывны для всех x, то f (x) может иметь точки разрыва только в точках склейки ее составляющих. Это точки x1 = –1 и x2 = 1. Исследуем f (x) на непрерывность в этих точках. Для этого найдем односторонние пределы.
Рассмотрим точку x1 = –1. Чтобы найти левый предел функции в этой точке, мы должны использовать значения этой функции в любой левой проколотой окрестности точки x1. Возьмем окрестность {x : –2 < x < –1}. На ней f (x) = x. Тогда предел слева:
f (–1 – 0) ≡ limx → –1 – 0 f (x) = limx → –1 – 0 x = –1.
Здесь мы использовали тот факт, что функция y1 = x является непрерывной в точке x1 = –1 (как и в любой другой точке). Поэтому ее левый (как и правый) предел равен значению функции в этой точке.
Найдем правый предел в точке x1. Для этого мы должны использовать значения функции f (x) в любой правой проколотой окрестности этой точки. Возьмем окрестность {x : –1 < x < 0}. На ней f (x) = x 2 + 1. Тогда предел справа:
f (–1 + 0) ≡ limx → –1 + 0 f (x) = limx → –1 + 0(x 2 + 1) = (–1) 2 + 1 = 2.
Здесь мы также воспользовались непрерывностью функции y2 = x 2 + 1.
Поскольку, в точке x1 = –1, предел слева не равен пределу справа, то в ней функция не является непрерывной – это точка разрыва. Поскольку односторонние пределы конечны, то это точка разрыва первого рода. Скачек функции:
Δ = f (–1 + 0) – f (–1 – 0) = 2 – (–1) = 3.
Теперь рассмотрим точку x2 = 1. Тем же способом вычисляем односторонние пределы:
f (1 – 0) ≡ limx → 1 – 0 f (x) = limx → 1 – 0(x 2 + 1) = 1 2 + 1 = 2;
f (1 + 0) ≡ limx → 1 + 0 f (x) = limx → 1 + 0 2x = 2 ⋅ 1 = 2.
Поскольку функция определена в точке x2 = 1 и левый предел равен правому, то функция непрерывна в этой точке.
Ответ
Функция y = f (x) имеет разрыв первого рода в точке x = –1. Скачек функции в ней: Δ = 3. В остальных точках функция непрерывна.
Пример 3
Все примеры ⇑ Определить точки разрыва функции y = f (x) и исследовать характер этих точек, если
f (x) = x 3 + 1x 2 – x – 2.
Решение
Воспользуемся тем, что линейная функция y1 = x определена и непрерывна для всех x. Заданная функция составлена из линейной функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления:
f (x) = x ⋅ x ⋅ x + 1x ⋅ x – x – 2.
Поэтому она определена и непрерывна для всех x, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль.
Найдем эти точки. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем квадратное уравнение:
x 2 – x – 2 = 0;
x1,2 = 1 ± √ (–1) 2 – 4 ⋅ (–2) 2 = 1 ± 32;
x1 = 1 – 32 = –1; x2 = 1 + 32 = 2.
Тогда
x 2 – x – 2 = (x – x1)(x – x2) = (x + 1)(x – 2).
Используем формулу:
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2).
С ее помощью, разложим числитель на множители:
x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1).
Тогда заданная функция примет вид:
(П1) f (x) = (x + 1)(x 2 – x + 1)(x + 1)(x – 2).
Она определена и непрерывна для всех x, кроме точек x1 = –1 и x2 = 2. Поэтому точки x1 и x2 являются точками разрыва функции.
Разделим числитель и знаменатель дроби в (П1) на x + 1:
(П2) f 1 (x) = x 2 – x + 1x – 2.
Такую операцию мы можем проделать, если x + 1 ≠ 0. Таким образом,
f (x) = f 1 (x) при x + 1 ≠ 0.
То есть функции f (x) и f 1 (x) отличаются только в одной точке: f 1 (x) определена при x = –1, а f (x) в этой точке не определена.
Чтобы определить род точек разрыва, нам нужно найти односторонние пределы функции f (x) в точках x1 и x2. Для их вычисления мы воспользуемся тем, что если значения функции изменить, или сделать неопределенными в конечном числе точек, то это не окажет ни какого влияние на величину или существование предела в произвольной точке (см. «Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела»). То есть пределы функции f (x) в любых точках равны пределам функции f 1 (x).
Рассмотрим точку x1 = –1. Знаменатель дроби в функции f 1 (x), при x = –1 в нуль не обращается. Поэтому она определена и непрерывна при x = –1. Отсюда следует, что существует предел при x → –1 и он равен значению функции в этой точке:
limx → –1 f (x) = limx → –1 f 1 (x) = x 2 – x + 1x – 2 = (–1) 2 – (–1) + 1–1 – 2 = –1.
Поэтому точка x1 = –1 является точкой устранимого разрыва первого рода.
Рассмотрим точку x2 = 2. Используя связь бесконечно малых и бесконечно больших функций, имеем:
f (2 – 0) = f 1 (2 – 0) = limx → 2 – 0 x 2 – x + 1x – 2 = (2 – 0) 2 – 2 + 0 + 12 – 0 – 2 = 3–0 = –∞;
f (2 + 0) = f 1 (2 + 0) = limx → 2 + 0 x 2 – x + 1x – 2 = (2 + 0) 2 – 2 – 0 + 12 + 0 – 2 = 3+0 = +∞.
Поскольку пределы бесконечные, то в этой точке разрыв второго рода.
Ответ
Функция имеет точку устранимого разрыва первого рода при x = –1, и точку разрыва второго рода при x = 2.
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: