Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной

Теорема
Пусть функция дифференцируема на отрезке .Тогда ее производная принимает на интервале все значения, заключенные между и :
, если , и
, если .
Прежде всего заметим, что, по условию теоремы, производная принимает значения из открытого интервала
(1) , или
где x принадлежит открытому интервалу , хотя функция дифференцируема на закрытом интервале .
Если интервал (1) сделать закрытым:
,
то теорема не верна. Пример: функция на отрезке . Ее производная . На концах отрезка: . Но при производная не принимает ни значение , ни значение .
Однако если все интервалы сделать закрытыми, то теорема будет справедливой. Поэтому в ее формулировке, возможно заменить все интервалы на закрытые.
Доказательство
Идея доказательства состоит в том, что функция имеет локальный экстремум, в котором . Осталось соблюсти все формальности.
1. Рассмотрим случай .
1.1. Введем функцию
.
По условию теоремы,
(2) .
Функция дифференцируема на отрезке , ее производная
(3) .
По теореме о непрерывности дифференцируемой функции, непрерывна на отрезке . По теореме Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции, она имеет минимум на отрезке . То есть существует такое , что
для всех .
1.2. Покажем, что минимум не может быть на границах отрезка, то есть в точках и .
1.2.1. Допустим противное. Пусть минимум в точке a:
(4) для всех .
Из (2) и (3) следует, что производная в этой точке отрицательна:
;
.
То есть функция g убывает в этой точке и поэтому в ней не может быть максимума. Но докажем это математически строгим образом.
По определению, производная это предел:
.
Поскольку , то по теореме об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел, существует такое положительное число c, и такая проколотая окрестность точки a, что для всех x, принадлежащих этой окрестности,
при .
Поскольку , то
, или
при и ,
что противоречит (4).
1.2.2. Тем же способом докажем, что минимум не может быть в точке b.
Действительно, из (2) и (3) имеем:
;
.
Используем определение производной:
.
По теореме об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел, существует такое положительное число c, и такая проколотая окрестность точки b, что для всех x, принадлежащих этой окрестности,
при .
Поскольку , то
, или
при и .
Это показывает, что не является минимумом функции на отрезке .
1.3. Итак, мы показали, что g(x) имеет минимум в некоторой точке . Тогда по теореме Ферма о необходимом условии экстремума функции, производная в этой точке равна нулю:
;
;
.
Для теорема доказана.
2. Осталось рассмотреть случай . Все рассуждения такие же как в п. 1. Только в качестве вспомогательной функции возьмем
.
Она дифференцируема на , поэтому имеет минимум на этом отрезке. Поскольку и , то, как показано выше, минимум не может быть на концах отрезка. То есть он находится в некоторой точке . По теореме Ферма,
,
откуда .
Теорема доказана.
Использованная литература:
Я.М. Дымарский. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Функции одной переменной. Москва, МФТИ, 2020.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: