Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной
Теорема
Пусть функция f (x) дифференцируема на отрезке [a, b].Тогда ее производная принимает на интервале (a, b) все значения, заключенные между f ′(a) и f ′(b):
∀u ∈ ( f ′(a), f ′(b)) ∃ ξ ∈ (a, b) : f ′(ξ) = u, если f ′(a) < f ′(b), и
∀u ∈ ( f ′(b), f ′(a)) ∃ ξ ∈ (a, b) : f ′(ξ) = u, если f ′(b) < f ′(a).
Прежде всего заметим, что, по условию теоремы, производная принимает значения из открытого интервала
(1) f ′(a) < f ′(x) < f ′(b), или f ′(b) < f ′(x) < f ′(a)
где x принадлежит открытому интервалу a < x < b, хотя функция дифференцируема на замкнутом интервале a ≤ x ≤ b.
Если интервал (1) сделать замкнутым:
f ′(a) ≤ f ′(x) ≤ f ′(b),
то теорема не верна. Пример: функция f (x) = x 2 на отрезке [0, 1]. Ее производная f ′(x) = 2x. На концах отрезка: f ′(0) = 0, f ′(1) = 2. Но при 0 < x < 1 производная не принимает ни значение f ′(x) = 0, ни значение f ′(x) = 2.
Однако если все интервалы сделать замкнутыми, то теорема будет справедливой. Поэтому в ее формулировке, возможно заменить все интервалы на замкнутые.
Доказательство
Идея доказательства состоит в том, что функция g(x) = f (x) – ux имеет локальный экстремум, в котором f ′(x) = u. Осталось соблюсти все формальности.
1. Рассмотрим случай f ′(a) < u < f ′(b).
1.1. Введем функцию
g(x) = f (x) – ux.
По условию теоремы,
(2) f ′(a) < u < f ′(b).
Функция g дифференцируема на отрезке [a, b], ее производная
(3) g ′(x) = f ′(x) – u.
По теореме о непрерывности дифференцируемой функции, g(x) непрерывна на отрезке [a, b]. По теореме Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции, она имеет минимум на отрезке [a, b]. То есть существует такое ξ ∈ [a, b], что
g(ξ) ≤ g(x) для всех x ∈ [a, b].
1.2. Покажем, что минимум не может быть на границах отрезка, то есть в точках ξ = a и ξ = b.
1.2.1. Допустим противное. Пусть минимум в точке a:
(4) g(a) ≤ g(x) для всех x ∈ [a, b].
Из (2) и (3) следует, что производная в этой точке отрицательна:
f ′(a) – u < 0;
g ′(a) = f ′(a) – u < 0.
То есть функция g убывает в этой точке и поэтому в ней не может быть максимума. Но докажем это математически строгим образом.
По определению, производная это предел:
g ′(a) = limx → a g(x) – g(a)x – a.
Поскольку g ′(a) < 0, то по теореме об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел, существует такое положительное число c, и такая проколотая окрестность ○U(a) точки a, что для всех x, принадлежащих этой окрестности,
g(x) – g(a)x – a < –c < 0 при x ∈ ○ U(a).
Поскольку x – a > 0, то
g(x) – g(a) < –c(x – a) < 0, или
g(x) < g(a) при x ∈ ○ U(a) и x > a,
что противоречит (4).
1.2.2. Тем же способом докажем, что минимум не может быть в точке b.
Действительно, из (2) и (3) имеем:
f ′(b) – u > 0;
g ′(b) = f ′(b) – u > 0.
Используем определение производной:
g ′(b) = limx → b g(x) – g(b)x – b > 0.
По теореме об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел, существует такое положительное число c, и такая проколотая окрестность ○U(b) точки b, что для всех x, принадлежащих этой окрестности,
g(x) – g(b)x – b > c > 0 при x ∈ ○ U(b).
Поскольку x – b < 0, то
g(x) – g(b) < c(x – b) < 0, или
g(x) < g(b) при x ∈ ○ U(b) и x < b.
Это показывает, что g(b) не является минимумом функции g(x) на отрезке [a, b].
1.3. Итак, мы показали, что g(x) имеет минимум в некоторой точке x = ξ ∈ (a, b). Тогда по теореме Ферма о необходимом условии экстремума функции, производная в этой точке равна нулю:
g ′(ξ) = 0;
( f (x) – ux) ′ | x = ξ = 0;
f ′(ξ) = u.
Для f ′(a) < f ′(b) теорема доказана.
2. Осталось рассмотреть случай f ′(b) < u < f ′(a). Все рассуждения такие же как в п. 1. Только в качестве вспомогательной функции возьмем
g(x) = ux – f (x).
Она дифференцируема на [a, b], поэтому имеет минимум на этом отрезке. Поскольку g ′(a) = u – f ′(a) < 0 и g ′(b) = u – f ′(b) > 0, то, как показано выше, минимум не может быть на концах отрезка. То есть он находится в некоторой точке x = ξ ∈ (a, b). По теореме Ферма,
g ′(ξ) = 0,
откуда f ′(ξ) = u.
Теорема доказана.
Использованная литература:
Я.М. Дымарский. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Функции одной переменной. Москва, МФТИ, 2020.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: