Методы решения физико-математических задач

Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной

Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной
Формулировка и доказательство теоремы Дарбу о промежуточных значениях производной.

Теорема

Пусть функция дифференцируема на отрезке .
Тогда ее производная принимает на интервале все значения, заключенные между и :
, если , и
, если .

Прежде всего заметим, что, по условию теоремы, производная принимает значения из открытого интервала
(1)   , или
где x принадлежит открытому интервалу , хотя функция дифференцируема на закрытом интервале .

Если интервал (1) сделать закрытым:
,
то теорема не верна. Пример: функция на отрезке . Ее производная . На концах отрезка: . Но при производная не принимает ни значение , ни значение .

Однако если все интервалы сделать закрытыми, то теорема будет справедливой. Поэтому в ее формулировке, возможно заменить все интервалы на закрытые.

Доказательство

Идея доказательства состоит в том, что функция имеет локальный экстремум, в котором . Осталось соблюсти все формальности.

1. Рассмотрим случай .

1.1. Введем функцию
.
По условию теоремы,
(2)   .
Функция дифференцируема на отрезке , ее производная
(3)   .
По теореме о непрерывности дифференцируемой функции, непрерывна на отрезке . По теореме Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции, она имеет минимум на отрезке . То есть существует такое , что
для всех .

1.2. Покажем, что минимум не может быть на границах отрезка, то есть в точках и .
1.2.1. Допустим противное. Пусть минимум в точке a:
(4)   для всех .
Из (2)   и   (3) следует, что производная в этой точке отрицательна:
;
.
То есть функция g убывает в этой точке и поэтому в ней не может быть максимума. Но докажем это математически строгим образом.

По определению, производная это предел:
.
Поскольку , то по теореме об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел, существует такое положительное число c, и такая проколотая окрестность точки a, что для всех x, принадлежащих этой окрестности,
  при   .
Поскольку , то
, или
  при     и   ,
что противоречит (4).

1.2.2. Тем же способом докажем, что минимум не может быть в точке b.
Действительно, из (2) и (3) имеем:
;
.
Используем определение производной:
.
По теореме об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел, существует такое положительное число c, и такая проколотая окрестность точки b, что для всех x, принадлежащих этой окрестности,
  при   .
Поскольку , то
, или
  при     и   .
Это показывает, что не является минимумом функции на отрезке .

1.3. Итак, мы показали, что g(x) имеет минимум в некоторой точке . Тогда по теореме Ферма о необходимом условии экстремума функции, производная в этой точке равна нулю:
;
;
.
Для теорема доказана.

2. Осталось рассмотреть случай . Все рассуждения такие же как в п. 1. Только в качестве вспомогательной функции возьмем
.
Она дифференцируема на , поэтому имеет минимум на этом отрезке. Поскольку   и   , то, как показано выше, минимум не может быть на концах отрезка. То есть он находится в некоторой точке . По теореме Ферма,
,
откуда .

Теорема доказана.

Использованная литература:
Я.М. Дымарский. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Функции одной переменной. Москва, МФТИ, 2020.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

Меню