Все свойства производной
Здесь перечислены основные свойства производной функции, которые включают в себя как свойства производной в точке (непрерывность функции, арифметические свойства), так и на промежутке (равномерная непрерывность, промежуточные значения, разрывы и неравенства).
Все определения и теоремы приводятся на страницах Производная функции в точке и Производная функции на интервале.
Теорема о непрерывности
Тогда она непрерывна в этой точке.
Доказательство
Теорема о равномерной непрерывности
имеет ограниченную производную,
то она равномерно непрерывна на этом промежутке.
Доказательство
Арифметические свойства
Тогда в этой точке
( f (x) ± g(x)) ′ = f ′(x) ± g ′(x) производная суммы функций
( f (x) ⋅ g(x)) ′ = f ′(x) ⋅ g(x) + f (x) ⋅ g ′(x) производная произведения
( f (x)g(x) ) ′ = f ′(x) g(x) – f (x) g ′(x)g 2 (x), при g(x) ≠ 0 производная частного
(Cf (x)) ′ = C f ′(x) вынесение постоянной за знак производной
Промежуточные значения производной
Тогда ее производная принимает на интервале (a, b) все значения, заключенные между f ′(a) и f ′(b).
Доказательство
Свойство предела производной
непрерывна в этой точке,
и существует конечный предел производной
limx → x0 f ′(x) = A,
то существует производная в x0, равная этому пределу:
f ′(x0) = A.
Доказательство
Теорема также справедлива, если A = +∞ или A = –∞, а также для односторонних пределов и, соответственно, односторонних производных в точке x0. Правда, в случаях A = ±∞ говорят, что производная равна (плюс минус) бесконечности. В этом случае, в отличие от пределов, говорят, что производной не существует. См. Существование производной
Свойство о разрывах производной
то ее производная не может иметь точек разрыва первого рода (скачков и точек устранимого разрыва) на этом интервале,
но может иметь точки разрыва второго рода (в которых не существует, хотя бы одного одностороннего предела f ′(x) при x → x0 ± 0).
То есть в точке x0 ∈ (a, b) производная или непрерывна, или имеет разрыв второго рода.
Доказательство
Пример:
| x 2 sin 1x , | x ≠ 0 |
| 0, | x = 0 |
Производная определена для всех x, f ′(0) = limx → 0 f (x) – f (0)x – 0 = limx → 0( x sin 1x ) = 0. Но в точке x = 0 производная имеет разрыв второго рода, поскольку предела limx → 0 f ′(x) = limx → 0( 2x sin 1x – cos 1x ) не существует.
Свойство неравенств
и выполняются условия:
u(x0) = v(x0),
u ′(x) > v ′(x) при x > x0.
Тогда
u(x) > v(x) при x > x0.
Рассмотрим функцию
F(x) = u(x) – v(x).
По условию теоремы
F(x0) = u(x0) – v(x0) = 0
F ′(x) = u ′(x) – v ′(x) > 0 при x > x0.
Нам нужно доказать, что
F(x) > 0 при x > x0.
Допустим противное. Пусть существует точка x1 > x0, в которой
F(x1) ≤ 0.
Но по теореме Лагранжа конечных приращений, существует точка ξ : x0 < ξ < x1, в которой
F(x1) – F(x0) = F ′(ξ)(x1 – x0).
Поскольку F(x0) = 0, F ′(ξ) > 0, x1 – x0 > 0, то
F(x1) > 0.
Это противоречит предположению F(x1) ≤ 0.
Свойство доказано.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: