Методы решения физико-математических задач

Теорема Ферма о необходимом условии экстремума функции

Теорема Ферма о необходимом условии экстремума
Формулировка и доказательство теоремы Ферма о необходимом условии локального экстремума дифференцируемой функции. Геометрический смысл.
Содержание

Теорема о необходимом условии экстремума (Ферма)

Если точка x = x0 является точкой строгого или нестрогого локального экстремума функции  f (x)‍,
и она дифференцируема в этой точке,
то ее производная в x0 равна нулю:
 f  ′(x0) = 0‍.
Доказательство

Для доказательства применим определение локального экстремума и лемму об односторонних производных

Пусть точка x0 является точкой локального минимума. Тогда существует такая проколотая окрестность  ○U(x0) этой точки, на которой  f (x) определена, и
 f (x) –  f (x0) ≥ 0‍.
Оценим левую производную в x0‍. Слева от x0‍, x – x0 < 0‍. Поэтому
 f (x) –  f (x0)x – x0 ≤ 0 при x ∈ ○ U(x0) и x – x0 < 0‍.
По свойству пределов функций, связанных неравенством,
limx → x – 0  f (x) –  f (x0)x – x0 ≤ 0‍.
Но этот предел является левой производной. Отсюда получаем, что левая производная не может быть положительной:
(1)    f  ′–(x0) ≤ 0‍.

Аналогичным образом, справа от x0‍, x – x0 > 0‍;
 f (x) –  f (x0)x – x0 ≥ 0 при x ∈ ○ U(x0) и x – x0 > 0‍.
limx → x – 0  f (x) –  f (x0)x – x0 ≥ 0‍.
Отсюда получаем, что правая производная не может быть отрицательной:
(2)    f  ′+(x0) ≥ 0‍.

Согласно лемме об односторонних производных, у дифференцируемой функции левая производная равна правой и равна производной:
(3)    f  ′–(x0) =  f  ′+(x0) =  f  ′(x0)‍.
Тогда из (1), (2) и (3) следует, что производная не может быть положительной, и не может быть отрицательной. То есть она может только быть равной нулю:
 f  ′(x0) = 0‍.

Аналогично, если x0 является точкой локального максимума, то существует такая проколотая окрестность  ○U(x0)‍, на которой  f (x) определена, и
 f (x) –  f (x0) ≤ 0‍.
Слева от x0‍, x – x0 < 0‍;
 f (x) –  f (x0)x – x0 ≥ 0 при x ∈ ○ U(x0) и x – x0 < 0‍;
limx → x – 0  f (x) –  f (x0)x – x0 ≥ 0‍;
 f  ′–(x0) ≥ 0‍.

Справа от x0‍, x – x0 > 0‍;
 f (x) –  f (x0)x – x0 ≤ 0 при x ∈ ○ U(x0) и x – x0 > 0‍;
limx → x – 0  f (x) –  f (x0)x – x0 ≤ 0‍;
 f  ′+(x0) ≤ 0‍.
Отсюда
 f  ′(x0) =  f  ′–(x0) =  f  ′+(x0) = 0‍.

Теорема доказана.

Замечания

Производная равна нулю, но локального экстремума нет
Производная функции y = x3 при x = 0 равна нулю, но локального экстремума в этой точке нет.

Условие  f  ′(x0) = 0 является необходимым условием экстремума, но не достаточным. Например, для функции  f (x) = x 3‍,  f  ′(0) = 0‍, но точка x0 = 0 не является локальным экстремумом.

Однако, для нахождения локальных минимумов или максимумов, часто находят корни уравнения  f  ′(x) = 0‍. После чего исследуют каждый корень, применяя достаточное условие экстремума. Например условие, чтобы производная меняла знак при переходе через точку xn‍, в которой  f  ′(xn) = 0‍.

Односторонняя производная слева больше нуля в точке локального максимума
Функция имеет локальный максимум на границе области определения. Она не дифференцируема в этой точке. Поэтому производная слева может быть отличной от нуля.

Если точка x0 находится на границе области определения функции  f (x)‍, то в ней может существовать только односторонняя производная. В этом случае  f (x) не является дифференцируемой в x0‍. Поэтому она может иметь в x0 локальный экстремум несмотря на то, что односторонняя производная не равна нулю.

Геометрический смысл

Касательные к графику функции в точках локальных экстремумов параллельны оси x
Касательные к графику функции в точках локальных экстремумов параллельны оси x.

Условие  f (x0) = 0 означает, что касательная к графику функции y =  f (x)‍, проведенная в точке локального экстремума, параллельна оси абсцисс.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

▲
Меню