Определение реакций опор составной конструкции – решение задачи

Рассмотрен метод решения задач на определение реакций опор составных конструкций для статически определимых систем. Приводится пример решения задачи, в которой требуется определить реакции в опорах и в точке соединения частей составной конструкции.

Как определить реакции опор составной конструкции

Для определения реакций опор составной конструкции, мы выполняем следующие шаги.

• Мысленно разбиваем конструкцию на отдельные элементы, каждый из которых является твердым телом или материальной точкой.
• Вместо связей в опорах и точках соединений составных элементов прикладываем силы реакций. Вид сил реакций зависит от крепления опоры или точки соединения тел.
• Для каждого тела, входящего в конструкцию, составляем уравнения равновесия.
• В результате получаем систему уравнений. Если задача является статически определимой, то эта система имеет единственное решение. Решаем ее, и получаем искомые значения реакций опор и сил реакций, действующих между отдельными элементами конструкции.
• Если задача не является статически определимой, то система уравнений имеет бесконечно много решений. Выбрать единственное решение, методами статики, нельзя. Это можно сделать методами сопротивления материалов.

При составлении уравнений стоит заметить, что иногда целесообразно составлять уравнения равновесия для всей конструкции в целом, или к группе ее элементов, рассматривая их как единое целое.

Силы, возникающие в точках соприкосновения частей конструкции, связаны между собой законом равенства действия и противодействия:
Сила, с которой первое тело действует на второе, равна по абсолютной величине и противоположна по направлению силе, с которой второе тело действует на первое.

Методы определения реакций опор твердых тел рассмотрены на странице
«Определение реакций опор твердого тела».

Далее рассмотрен пример решения задачи на определение реакций опор составной конструкции.

Пример решения задачи на определение реакций опор составной конструкции

Для составной конструкции, изображенной на рисунке, определить реакции опор в шарнирах A и B, а также реакции в скользящей заделке C. Расстояния указаны в метрах.

Дано:
P₁ = 5 kН;   P₂ = 7 kН;   M = 22 kН·м;   q = 2 kН/м;   α = 60°.

Решение задачи

Равновесие стержня CB

Мысленно разъединим конструкцию. Рассмотрим равновесие стержня CB. Проводим систему координат Axyz с началом в точке A. Ось Az перпендикулярна плоскости рисунка и направлена на нас.

Соединение в точке C является скользящей заделкой. Заменим это соединение силами реакций. Разложим их на две составляющие: на силу , параллельную оси y; и на момент (пару сил) M_C. Их направления выбираем произвольно. Если мы не угадаем с направлением, то значение соответствующей реакции будет иметь отрицательное значение.

Шарнирную опору в точке B заменим силами реакций и , параллельными осям координат.

Рассмотрим геометрию системы. Из прямоугольного треугольника OBC имеем:
м;
м;
;
.
Здесь β – угол между стержнем CB и вертикалью CO. Поскольку , то угол между направлением силы и горизонталью также равен β.

Составляем уравнения равновесия. Сумма проекций сил на ось x равна нулю.
;
;
;
(П1)   .

Сумма проекций сил на ось y равна нулю.
;
;
;
(П2)   .

Составляем уравнение для моментов. Возьмем ось Bz′, проходящую через точку B перпендикулярно плоскости рисунка. Сумма моментов сил относительно этой оси равна нулю:
;
(П3.1)   .

Вычисляем моменты сил. Ось Bz′ направлена на нас. По правилу правого винта, положительным направлением моментов сил является направление против часовой стрелки.
Силы реакций пересекают ось Bz′. Поэтому их моменты равны нулю.
Плечом силы является отрезок OB. Тогда
.
Поскольку , то отрезок DB является плечом силы . Момент этой силы:
.

Подставим в (П3.1):
;
(П3)   .

Равновесие конструкции в целом

Рассмотрим равновесие всей конструкции в целом. Шарнирную опору в точке A заменим силами реакций и , параллельными осям координат.

Заменим равномерно распределенную нагрузку q равнодействующей . Абсолютное значение равнодействующей равно площади эпюры:
kН.
Точка приложения равнодействующей находится в центре тяжести эпюры – в точке L, посередине отрезка KA:
|KL| = |LA| = 2 м.

Силы и разложим на составляющие вдоль осей координат:
;   ;
;   ;
;   .

Составляем уравнения равновесия. Сумма проекций сил, действующих на всю конструкцию, на ось x равна нулю.
;
;
;
(П4)   .

Сумма проекций сил на ось y равна нулю.
;
;
;
(П5)   .

Сумма моментов сил относительно оси z, проходящей через точку A перпендикулярно плоскости рисунка, равна нулю:
;
(П6.1)  
.

Вычисляем моменты сил. Силы реакций и пересекают ось Az. Поэтому их моменты равны нулю.
Момент от некоторой силы относительно оси Az равен произведению плеча силы на абсолютное значение этой силы, взятое с соответствующим знаком. Если сила направлена в положительном направлении (против часовой стрелки), то знак момента положительный. В противном случае – отрицательный. Чтобы найти плечо, через вектор силы проводим прямую. Длина перпендикуляра, опущенного из точки A на эту прямую равна плечу силы относительно оси Az.

В результате уравнение (П6.1) принимает вид:

;
(П6)  
.

Решение уравнений равновесия

Итак, мы получили следующую систему линейных уравнений:
(П1)   ;
(П2)   ;
(П3)   ;
(П4)   ;
(П5)   ;
(П6)  
.
В ней шесть уравнений и шесть неизвестных. Решаем систему.

Из уравнения (П1): kН.
Из уравнения (П4) имеем:

kН.
Из уравнения (П6) находим:



kН.
Далее из уравнений (П2), (П3) и (П5) последовательно находим:
kН.
kН.
kН.

Решение системы уравнений оказалось простым во многом благодаря тому, что мы подходящим образом выбрали оси, относительно которых вычисляли моменты. А также за счет того, что мы удачно выбрали части конструкции, для которых составляли уравнения (правую часть и всю конструкцию в целом). Можно составить уравнения равновесия и другими способами. Например, можно составить уравнения равновесия для левой и правой частей конструкции и выбрать другие оси для вычисления моментов. Если бы мы сделали это неудачно, то нам пришлось бы решать систему из шести линейных уравнений с шестью неизвестными другим способом, например, методом Крамера. Количество вычислений было бы больше, но в результате мы все равно получили бы одни и те же значения сил реакций.

Проверка правильности решения

Сделаем проверку правильности решения задачи. Для этого рассмотрим равновесие левой части конструкции.

По закону равенства действия и противодействия, в скользящей заделке C, на раму действуют сила и момент M_C. Их направления противоположны силе и моменту, действующих в точке C на правую часть конструкции, а абсолютные значения равны.

Через точку V проведем ось Vz′′, перпендикулярно плоскости рисунка. Если мы определили значения реакций правильно, то сумма моментов сил относительно этой оси должна равняться нулю:

.

Все правильно.

Ответ

kН;   kН;   kН;   kН;   kН;   kН·м.

Отрицательные значения реакций и указывают на то, что они направлены в сторону, противоположную той, которая изображена на рисунке.

Использованная литература:
Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике, под редакцией проф. А.А. Яблонского, Москва «Интеграл-пресс», 2006.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 08-11-2017   Изменено: 22-12-2021