Центр системы параллельных сил

Теорема о центре параллельных сил

Пусть имеется система сил , каждая из которых параллельна некоторой оси.
И пусть их геометрическая сумма не равна нулю:
(1.1)   ,
тогда эта система сил имеет равнодействующую
(1.2)   ,
проходящую через центр параллельных сил, радиус вектор которого определяется по формуле:
(1.3)   ,
где – радиус вектор точки приложения силы , – проекция силы на направление равнодействующей . Если сила сонаправлена равнодействующей, то . Если противоположна, то .
Доказательство, используя уравнения статики
Доказательство с помощью аксиом статики

Доказательство, используя уравнения статики

Согласно определению, равнодействующая – это одна сила, действие которой на твердое тело эквивалентно действию заданной системы сил. То есть при замене системы сил на равнодействующую, законы движения твердого тела (или законы статики) должны быть неизменными. В законы движения твердого тела входит только векторная сумма сил и векторная сумма моментов сил относительно произвольного центра (главный вектор и главный момент). Поэтому при замене системы сил на равнодействующую значения главного вектора и главного момента должны оставаться неизменными.

Математически это означает, что при замене системы n сил , каждая из которых приложена в точке с радиус вектором на одну равнодействующую силу , приложенную в точке , должны выполняться следующие векторные уравнения.
(2.1)   ;
(2.2)   .
Подразумевается, что начало системы отсчета выбрано в произвольной точке O.

Такая замена возможно не всегда. Например, пару двух равных по абсолютной величине, но противоположных по направлению сил нельзя заменить одной равнодействующей. Покажем, что систему параллельных сил, векторная сумма которых отлична от нуля, можно заменить равнодействующей, приложенной к центру параллельных сил.

По условию теоремы, уравнение (2.1) выполняется автоматически (см. (1.2)). Остается найти точку приложения силы , для которой выполняется (2.2).

Поскольку , то . Введем единичный вектор , направленный вдоль . Тогда
(2.3)   ,
(2.4)   .
Здесь – абсолютная величина равнодействующей; – проекция вектора силы на направление . Если сила сонаправлена равнодействующей, то , если направлена противоположно, то ; – абсолютная величина силы .

Уравнение (1.1) примет вид:
(2.5)   .

Преобразуем правую часть (2.2), используя свойства векторного произведения и (2.5).


.

Тем самым мы нашли, что сумму моментов сил в правой части (2.2) можно заменить одной силой , приложенной в точке с радиус вектором
.
При такой замене не изменится векторная сумма сил и сумма моментов сил относительно произвольно выбранного начала координат.

Теорема доказана.

Доказательство с помощью аксиом статики

Сначала рассмотрим случай параллельных сонаправленных сил. А затем, отталкиваясь от него, докажем теорему, когда могут присутствовать силы в противоположном направлении.

Доказательство для параллельных сонаправленных сил

На странице «Равнодействующая системы двух параллельных сил», с помощью аксиом статики, мы показали, что две сонаправленные параллельные силы и , приложенные в точках A₁ и A₂, имеют равнодействующую
,
проходящую через точку C с радиус вектором
.

В случае произвольного количества n сил, применим метод математической индукции.

Для теорема доказана.

Предположим, что теорема верна для . То есть система, состоящая из параллельных сонаправленных сил имеет равнодействующую
(3.1)   ,
проходящую через точку C_m-1 с радиус вектором
(3.2)   .
Нам нужно доказать, что система из m сил имеет равнодействующую
(3.3)   ,
проходящую через точку
(3.4)   .

Рассмотрим систему, состоящую из m параллельных сил . Воспользуемся предположением, и заменим силы равнодействующей (3.1), приложенной в точке C_m-1 с радиус вектором (3.2). Тогда мы получим систему, состоящую из двух параллельных сонаправленных сил и . Применим теорему, доказанную для двух сил. Эта система имеет равнодействующую
(3.5)   ,
приложенную в точке
(3.6)   .

Подставим (3.1) в (3.5).
.
Получили (3.3).

Подставим (3.2) в (3.6).
;
;
.
Получили (3.4).

Для случая сонаправленных сил, теорема доказана.

Доказательство для сонаправленных и противоположно направленных сил

Пронумеруем силы так, чтобы первые m были направлены в одну сторону, а последние – в противоположную. И пусть
.
Введем единичный вектор , сонаправленный первой группе сил.

Согласно доказанному выше, первые m сил имеют равнодействующую
(4.1)   ,
приложенную в точке с радиус вектором
(4.2)   .
Последние сил также сонаправлены и имеют равнодействующую
(4.3)   ,
приложенную в точке с радиус вектором
(4.4)   .

Заменим первые m сил равнодействующей , приложенной в точке ; а последние сил – равнодействующей , приложенной в точке . Получим эквивалентную систему, состоящую из двух, противоположно направленных, не равных по абсолютной величине, сил.

Ранее мы нашли, что система двух противоположно направленных параллельных сил имеет равнодействующую , абсолютная величина которой
(4.5)   .
Ее точка приложения определяется по формуле
(4.6)   .

Умножив (4.5) на , и применяя (4.1) и (4.3), получим.
.

Найдем точку приложения равнодействующей . Для этого подставляем (4.2) и (4.4) в (4.6), и выполняем преобразования.
;
,
где , если сила сонаправлена с , и , если противоположна .

Теорема доказана.