Равнодействующая системы параллельных сил

Теорема о равнодействующей параллельных сил

Пусть имеется система сил , каждая из которых параллельна некоторой оси.
И пусть их геометрическая сумма не равна нулю:
,
тогда эта система сил имеет равнодействующую
,
проходящую через центр параллельных сил, радиус вектор которого определяется по формуле:
,
где – радиус вектор точки приложения силы , – проекция силы на направление равнодействующей . Если сила сонаправлена равнодействующей, то . Если противоположна, то .

Равнодействующая системы сонаправленных параллельных сил

Система сонаправленных n параллельных сил , приложенных к твердому телу в точках A_k с радиус векторами ,
имеет равнодействующую , сонаправленную силам .
Абсолютная величина равнодействующей равна сумме абсолютных значений сил:
.
Линия действия равнодействующей проходит через точку C с радиус вектором
.

Доказательство с помощью аксиом статики

На странице «Равнодействующая системы двух параллельных сил», с помощью аксиом статики, мы показали, что две сонаправленные параллельные силы и , приложенные в точках A₁ и A₂, имеют равнодействующую
,
проходящую через точку C с радиус вектором
.

Для случая произвольного количества n сил, применим метод математической индукции.
Для теорема доказана.

Предположим, что теорема верна для . То есть система, состоящая из параллельных сонаправленных сил имеет равнодействующую
(1.1)   ,
проходящую через точку C_m-1 с радиус вектором
(1.2)   .
Нам нужно доказать, что система из m сил имеет равнодействующую
(1.3)   ,
проходящую через точку
(1.4)   .

Рассмотрим систему, состоящую из m параллельных сил . Воспользуемся предположением, и заменим силы равнодействующей (1.1), приложенной в точке C_m-1 с радиус вектором (1.2). Тогда мы получим систему, состоящую из двух параллельных сонаправленных сил и . Применим теорему, доказанную для двух сил. Эта система имеет равнодействующую
(1.5)   ,
приложенную в точке
(1.6)   .

Подставим (1.1) в (1.5).
.
Получили (1.3).

Подставим (1.2) в (1.6).
;
;
.
Мы получили (1.4).

Теорема доказана.

Доказательство, используя уравнения статики

Согласно определению, равнодействующая – это одна сила, действие которой на твердое тело эквивалентно действию заданной системы сил. То есть при замене системы сил на равнодействующую, законы движения твердого тела (или законы статики) должны быть неизменными. В законы движения твердого тела входит только векторная сумма сил и векторная сумма моментов сил относительно произвольного центра (главный вектор и главный момент). Поэтому при замене системы сил на равнодействующую значения главного вектора и главного момента должны оставаться неизменными.

Поскольку , то при замене системы сил на вектор , главный вектор очевидно не изменится.

Рассмотрим сумму моментов сил относительно некоторого центра O.
(1.7)   .
Здесь – вектор, проведенный из точки O в точку приложения силы. Воспользуемся тем, что силы параллельны и сонаправлены. Тогда
,
где – абсолютное значение силы, – вектор единичной длины, задающий направление сил. Подставим в (1.7) и выполним преобразования.


.
Теперь преобразуем вектор .

,
где .
Окончательно имеем.
. То есть главный момент системы сонаправленных параллельных сил равен моменту силы , приложенной в точке с радиус вектором
.

Теорема доказана.

Равнодействующая сил, параллельных некоторой оси

Система n сонаправленных и противоположно направленных параллельных сил , приложенных к твердому телу в точках A_i с радиус векторами ,
геометрическая сумма которых отлична от нуля
,
имеет равнодействующую .
Линия действия равнодействующей проходит через точку C с радиус вектором
.
Здесь – проекция силы на направление равнодействующей. Если сила сонаправлена с равнодействующей, то . Если направлена противоположно, то .

Пронумеруем силы так, чтобы первые m сил были направлены в одну сторону, а последние – в противоположную. И пусть
.
Введем единичный вектор , сонаправленный первой группе сил.

Первые m сил сонаправлены. Поэтому, согласно предыдущей теореме, они имеют равнодействующую
(2.1)   ,
приложенную в точке с радиус вектором
(2.2)   .
Последние сил также сонаправлены. И также имеют равнодействующую
(2.3)   ,
приложенную в точке с радиус вектором
(2.4)   .

Заменим первые m сил равнодействующей , приложенной в точке ; а последние сил – равнодействующей , приложенной в точке . Получим эквивалентную систему, состоящую из двух, противоположно направленных, не равных по абсолютной величине, сил.

Ранее мы нашли, что система двух противоположно направленных параллельных сил имеет равнодействующую , абсолютная величина которой
(2.5)   .
Ее точка приложения определяется по формуле
(2.6)   .

Умножив (2.5) на , и применяя (2.1) и (2.3), получим.
.

Найдем точку приложения равнодействующей . Для этого подставляем (2.2) и (2.4) в (2.6), и выполняем преобразования.
;
,
где , если сила сонаправлена с , и , если противоположна .

Теорема доказана.