Равнодействующая системы двух параллельных сил

Расчет равнодействующей системы двух параллельных сил тремя способами, используя аксиомы статики и уравнения равновесия.

Равнодействующая двух сонаправленных параллельных сил

Две однонаправленные параллельные силы ^→F₁  и ^→F₂  ,  приложенные к твердому телу в точках A и B,
имеют равнодействующую ^→R ,  сонаправленную параллельно ^→F₁  и ^→F₂  .  Абсолютная величина равнодействующей равна сумме абсолютных величин сил:
(1.1)   R = F₁  + F₂  . 
Линия действия равнодействующей проходит через точку C, которая принадлежит отрезку AB, и делит его обратно пропорционально модулям сил:
(1.2)   ACBC = F₂ F₁  
(1.3)    | AC |  = F₂ R ⋅  | AB | ;    | BC |  = F₁ R ⋅  | AB |  . 
Радиус вектор точки приложения C определяется по формуле
(1.4)   ^→r_C  = F₁  ⋅ ^→r_A  + F₂  ⋅ ^→r_B F₁  + F₂   , 
где ^→r_A ,  ^→r_B  – радиус векторы точек A и B.
Доказательство
Доказательство с помощью аксиом статики

Точка C отличается от других возможных точек приложения равнодействующей тем, что ее положение определяется только модулями сил ^→F₁  и ^→F₂  ,  и не зависит от их направления. Такую точку называют центром параллельных сил.

Равнодействующая двух противоположно направленных параллельных сил

Две не равные по модулю противоположно направленные силы ^→F₁  и ^→F₂  ,  приложенные к твердому телу в точках A и B,
имеют равнодействующую ^→R ,  направление которой совпадает с направлением наибольшей по абсолютной величине силы ^→F₁  или ^→F₂  .  Абсолютная величина равнодействующей равна модулю разности абсолютных величин сил:
(2.1)   R =  | F₁  – F₂  |  . 
Линия действия равнодействующей проходит через точку C, находящуюся на продолжении отрезка AB, причем:
(2.2)   ACBC = F₂ F₁  
(2.3)   AC = F₂ R ⋅  | AB | ;   BC = F₁ R ⋅  | AB |  . 
Радиус вектор точки приложения C определяется по формуле
(2.4)   ^→r_C  = F₁  ⋅ ^→r_A  – F₂  ⋅ ^→r_B F₁  – F₂   , 
где ^→r_A ,  ^→r_B  – радиус векторы точек A и B.
Доказательство
Доказательство с помощью аксиом статики

Две равные по абсолютной величине и противоположно направленные силы, линии действия которых не совпадают, не имеют равнодействующей. Такая система называется парой сил и характеризуется моментом.

Наконец, приведем общую формулу равнодействующей, применимую как для сонаправленных, так и противоположно направленных сил ^→F₁  и ^→F₂  . 

Точку приложения равнодействующей, как и сил ^→F₁  и ^→F₂  ,  можно перемещать вдоль их линий действия. Поэтому в качестве точки приложения равнодействующей ^→R можно выбрать любую точку C′ с радиус вектором
^→r_C^′  = ^→r_C  + γ^→R , 
где γ – произвольная постоянная. Однако такая точка уже не будет центром параллельных сил, поскольку ее положение зависит от направления вектора ^→R ,  параллельного силам ^→F₁  и ^→F₂  . 

Вывод формул

Определение равнодействующей, используя уравнения статики

Напомним, что равнодействующая – это одна сила, действие которой эквивалентно действию заданной системы сил. То есть законы движения твердого тела должны сохранить свой вид при замене заданной системы сил на равнодействующую. В уравнения движения тела твердого входит только векторная сумма внешних сил и сумма моментов этих сил относительно любой точки. Поэтому, при замене системы сил на равнодействующую, должны выполняться два условия.
1. Векторная сумма внешних сил ^→F_i  должна равняться равнодействующей:
(3.1)   ^→R = Σ_i ^→F_i  . 
2. Сумма моментов внешних сил относительно произвольной точки O должна равняться моменту от равнодействующей силы относительно этой точки:
(3.2)   ^→M_O (C, ^→R ) = Σ_i ^→M_O (A_i , ^→F_i ) . 
Здесь ^→M_O (C, ^→R ) – момент равнодействующей ^→R ,  приложенной в точке C, относительно точки O; ^→M_O (A_i , ^→F_i ) – момент силы ^→F_i  ,  приложенной в точке A_i, относительно точки O. Моменты можно выразить посредством векторного произведения: ^→M_O (A_i , ^→F_i ) = [^→r_i  × ^→F_i ] ,  где ^→r_i  – радиус вектор, проведенный из точки O в A_i. Тогда последнее уравнение можно записать так:
(3.3)   [^→r_C  × ^→R ] = Σ_i [^→r_i  × ^→F_i ] . 

Эквивалентные преобразования сил применяются только для сил, приложенных к абсолютно твердому телу, или к системе тел, которая, согласно принципу отвердевания, может рассматриваться как твердое. Нельзя производить преобразования сил, приложенных к различным точкам и телам, которые могут совершать относительное движение.

Сонаправленные силы

Найдем равнодействующую ^→R и точку ее приложения C двух параллельных сонаправленных сил ^→F₁  и ^→F₂  ,  приложенных в точках A и B.

Выберем прямоугольную систему координат Axyz с началом в точке A. Ось Ay направим вдоль направлений сил; ось Az – перпендикулярно плоскости рисунка (на нас). Из точек C и B опустим перпендикуляры CC′ и BB′ на ось Ax.

Вектор равнодействующей определяется по формуле (3.1):
^→R = ^→F₁  + ^→F₂  . 
Отсюда следует, что он параллелен и сонаправлен силам ^→F₁  и ^→F₂  ,  и также направлен вдоль оси Ay. Спроектировав это векторное уравнение на эту ось, найдем абсолютную величину равнодействующей:
R = F₁  + F₂  . 

Спроектируем уравнение (3.2) на ось Az.
(4.1)   M_Az (C, ^→R ) =  M_Az (A, ^→F₁ ) + M_Az (B, ^→F₂ ) . 
Сила ^→F₁  проходит через эту ось. Поэтому ее момент равен нулю: M_Az (A, ^→F₁ ) = 0 .  Поскольку ^→R⊥AC^′ и ^→F₂ ⊥AB^′ ,  то отрезки AC' и AB' будут плечами сил ^→R и ^→F₂  .  Находим их моменты как произведения плеча силы на абсолютное значение:
M_Az (C, ^→R ) =  | AC^′ |  ⋅ R,   M_Az (B, ^→F₂ ) =  | AB^′ |  ⋅ F₂  . 
Подставляем в (4.1):
 | AC^′ |  ⋅ R = 0 +  | AB^′ |  ⋅ F₂  ; 
 | AC^′ |  = F₂ R ⋅  | AB^′ |  . 
Поскольку  | AC^′ |  =  | AC |  cos α;    | AB^′ |  =  | AB |  cos α ,  где α = BAB^′ ,  то
 | AC |  = F₂ R ⋅  | AB |  . 

Получим остальные формулы (1.2) – (1.4).
 | BC |  =  | AB |  –  | AC |  =   | AB | RR – F₂ R ⋅  | AB |  =  R – F₂ R ⋅  | AB |  = F₁ R ⋅  | AB |  ; 
 | AC |  | BC |  = F₂ R ⋅  | AB |  / F₁ R ⋅  | AB |  = F₂ F₁   ; 
^→r_C  = ^→r_A  + ^→AC = ^→r_A  +  | AC |  | AB |  ^→AB =  RR ^→r_A  + F₂ R ⋅ (^→r_B  – ^→r_A ) = 
 (R – F₂ ) ⋅ ^→r_A  + F₂  ⋅ ^→r_B R =  F₁  ⋅ ^→r_A  + F₂  ⋅ ^→r_B F₁  + F₂   . 

Противоположно направленные силы

Теперь найдем равнодействующую ^→R и точку ее приложения C двух параллельных, но противоположно направленных сил ^→F₁  и ^→F₂  (см. рисунок). Будем считать, что F₁  > F₂  .  Также выбираем прямоугольную систему координат Axyz с началом в точке A.

Из формулы (3.1)
^→R = ^→F₁  + ^→F₂ 
следует, что вектор равнодействующей параллелен силам ^→F₁  и ^→F₂  .  Спроектировав это векторное уравнение на ось Ay, найдем абсолютную величину равнодействующей:
R = F₁  – F₂  . 

Спроектируем уравнение (3.2) на ось Az.
(5.1)   M_Az (C, ^→R ) =  M_Az (A, ^→F₁ ) + M_Az (B, ^→F₂ ) . 
Сила ^→F₁  проходит через эту ось. Поэтому ее момент равен нулю: M_Az (A, ^→F₁ ) = 0 .  Поскольку ^→R⊥AC^′ и ^→F₂ ⊥AB^′ ,  то отрезки AC' и AB' будут плечами сил ^→R и ^→F₂  .  Находим их моменты как произведения плеча силы на абсолютное значение. При этом положительному значению соответствует закручивание против часовой стрелки. У нас наоборот. поэтому моменты отрицательные:
M_Az (C, ^→R ) = –  | AC^′ |  ⋅ R,   M_Az (B, ^→F₂ ) = –  | AB^′ |  ⋅ F₂  . 
Подставляем в (5.1):
–  | AC^′ |  ⋅ R = 0 –  | AB^′ |  ⋅ F₂  ; 
 | AC^′ |  = F₂ R ⋅  | AB^′ |  . 
Поскольку  | AC^′ |  =  | AC |  cos α;    | AB^′ |  =  | AB |  cos α ,  где α = BAB^′ ,  то
 | AC |  = F₂ R ⋅  | AB |  . 

Получим остальные формулы (2.2) – (2.4).
 | BC |  =  | AB |  +  | AC |  =   | AB | RR + F₂ R ⋅  | AB |  =  R + F₂ R ⋅  | AB |  = F₁ R ⋅  | AB |  ; 
 | AC |  | BC |  = F₂ R ⋅  | AB |  / F₁ R ⋅  | AB |  = F₂ F₁   ; 
^→r_C  = ^→r_A  + ^→AC = ^→r_A  +  | AC |  | AB |  ^→BA =  RR ^→r_A  + F₂ R ⋅ (^→r_A  – ^→r_B ) = 
 (R + F₂ ) ⋅ ^→r_A  – F₂  ⋅ ^→r_B R =  F₁  ⋅ ^→r_A  – F₂  ⋅ ^→r_B F₁  – F₂   . 

Вывод общей формулы

Пусть две параллельные силы ^→F₁  и ^→F₂  приложены к твердому телу в точках A и B. Найдем равнодействующую ^→R и точку ее приложения C, применяя уравнения (3.1) и (3.3).

Вектор равнодействующей равен сумме векторов сил, действующих на тело:
^→R = ^→F₁  + ^→F₂  . 
По условию, ^→F₁  + ^→F₂  ≠ 0 .  То есть абсолютная величина равнодействующей отлична от нуля: R ≠ 0 . 

Найдем точку приложения C равнодействующей ^→R из уравнения моментов (3.3). Для этого выберем прямоугольную систему координат с началом в произвольной точке O. Тогда момент равнодействующей относительно начала координат O должен равняться сумме моментов сил ^→F₁  и ^→F₂  относительно этой точки:
(6.1)   [^→r_C  × ^→R ] = [^→r_A  × ^→F₁ ] + [^→r_B  × ^→F₂ ] . 
Здесь ^→r_A ,  ^→r_B ,  ^→r_C  – радиус векторы точек A, B и C. То есть векторы, проведенные из начала системы координат O к этим точкам.

При R ≠ 0 можно ввести единичный вектор ^→n_R  ,  направленный вдоль равнодействующей:
^→n_R  = ^→RR  . 
Введем проекции векторов ^→F₁  и ^→F₂  на направление ^→n_R   : 
F_1R  = (^→F₁  ⋅ ^→n_R ) = (^→F₁  ⋅ ^→R )R  , 
F_2R  = (^→F₂  ⋅ ^→n_R ) = (^→F₂  ⋅ ^→R )R  . 
Поскольку все силы параллельны, то
F_1R  = ± F₁ ,  F_2R  = ± F₂  . 
Тогда
^→F₁  = F_1R ^→RR ,  ^→F₂  = F_2R ^→RR  ; 
[^→r_A  × ^→F₁ ] + [^→r_B  × ^→F₂ ] =  [ ^→r_A  × F_1R ^→RR  ] + [ ^→r_B  × F_2R ^→RR  ] = 
 [ ^→r_A F_1R R × ^→R  ] + [ ^→r_B F_2R R × ^→R  ] =  [ F_1R  ⋅ ^→r_A  + F_2R  ⋅ ^→r_B R × ^→R  ] . 
Подставляем в (6.1).
[^→r_C  × ^→R ] =  [ F_1R  ⋅ ^→r_A  + F_2R  ⋅ ^→r_B R × ^→R  ] . 
Отсюда
(6.2)   ^→r_C  = F_1R  ⋅ ^→r_A  + F_2R  ⋅ ^→r_B R + γ^→R , 
где γ – произвольная постоянная.

Формула (6.2) определяет линию действия равнодействующей. При γ = 0 получаем:
(6.3)   ^→r_C  = F_1R  ⋅ ^→r_A  + F_2R  ⋅ ^→r_B R  . 
Покажем, что ^→r_C  из (6.3) определяет точку в пространстве. Для этого нужно доказать, что ^→r_C  является радиус-вектором (см. Что такое радиус-вектор).
1. Поскольку ^→r_C  равен сумме векторов ^→r_A  и ^→r_B  ,  умноженных на постоянные коэффициенты, то ^→r_C  является вектором.
2. Выполним параллельный перенос системы координат. Пусть ее начало переместится из точки O в O′. Тогда компоненты всех радиус-векторов преобразуются по одному закону:
^→r_A  = ^→OO^′ + ^→r^′_A ; 
^→r_B  = ^→OO^′ + ^→r^′_B . 
Покажем, что и ^→r_C  преобразуется по этому закону:
^→r_C  = F_1R  ⋅ ^→r_A  + F_2R  ⋅ ^→r_B R =  F_1R (^→OO^′ + ^→r^′_A ) + F_2R (^→OO^′ + ^→r^′_B )R = 
 ^→OO^′ ⋅ F_1R  + F_2R R +  F_1R  ⋅ ^→r^′_A + F_2R  ⋅ ^→r^′_BR =  ^→OO^′ ⋅ RR + ^→r^′_C = ^→OO^′ + ^→r^′_C ; 
^→r_C  = ^→OO^′ + ^→r^′_C . 
^→r_C  также преобразуется по этому закону. Поэтому является радиус-вектором, то есть определяет положение точки в пространстве.

Доказательства с помощью аксиом статики

Теперь найдем равнодействующую, используя аксиомы статики. Суть аксиом заключается в том, что силы, приложенные к твердому телу, являются скользящими векторами. То есть силы, приложенные к одной точке можно складывать по правилу параллелограмма, и точку приложения силы можно перемещать вдоль ее линии действия.

Мы сразу можем упростить задачу, если переместим точки приложения A и B сил ^→F₁ ,  ^→F₂  так, чтобы прямая, проходящая через точки приложения была перпендикулярна направлению сил: AB⊥^→F₁  .  После того как мы найдем точку приложения C равнодействующей ^→R ,  мы также можем переместить ее вдоль линии действия равнодействующей. В результате все формулы, полученные для случая AB⊥^→F₁  ,  будут применимы и для произвольно расположенных точек A и B.

Две силы одного направления

1. Переместим точки приложения параллельных сил ^→F₁  и ^→F₂  вдоль их линий действия в точки A и B так, чтобы AB⊥^→F₁  . 
2. Добавим систему взаимно уравновешивающихся сил ^→N₁  и ^→N₂  ,  приложенных к точкам A и B. Они равны по абсолютной величине, противоположны по направлению, и их линии действия совпадают с прямой AB. В результате получим эквивалентную систему сил, состоящую из ^→F₁ ,  ^→N₁  ,  приложенных к A, и ^→F₂ ,  ^→N₂  ,  приложенных к B.
3. Сложим силы ^→F₁  и ^→N₁  по правилу параллелограмма: ^→Q₁  = ^→F₁  + ^→N₁  .  Тоже самое проделаем с ^→F₂  и ^→N₂   :  ^→Q₂  = ^→F₂  + ^→N₂  .  В результате получим эквивалентную систему сил, состоящую из ^→Q₁  и ^→Q₂  ,  приложенных к точкам A и B, соответственно. Эти силы составляют углы α и β с прямой AB, причем:
(7.1)   tg α = F₁  / N,  tg β = F₂  / N , 
где N = N₁  = N₂  – абсолютная величина сил ^→N₁  и ^→N₂  . 
4. Найдем точку D пересечения линий действия сил ^→Q₁  и ^→Q₂  ,  и перенесем точки приложения этих сил в D. В результате получим эквивалентную систему сил, состоящую из ^→Q₁  и ^→Q₂  ,  приложенных к точке D.
5. Сложим ^→Q₁  и ^→Q₂  по правилу параллелограмма. В результате получим эквивалентную систему сил, состоящую из одной равнодействующей силы ^→R .  Легко показать, что ^→R = ^→F₁  + ^→F₂   : 
^→R = ^→Q₁  + ^→Q₂  =  ^→F₁  + ^→N₁  + ^→F₂  + ^→N₂  =  ^→F₁  + ^→N₁  + ^→F₂  – ^→N₁  = ^→F₁  + ^→F₂  . 
Поскольку силы ^→F₁  и ^→F₂  перпендикулярны AB, то равнодействующая ^→R также перпендикулярна AB.
6. Наконец, перенесем точку приложения равнодействующей ^→R вдоль ее линии действия в точку C, чтобы точки A, B и C располагались на одной прямой. Применяя (7.1), из прямоугольников ACD и BCD находим:
 | CD |  =  | AC |  tg α =  | BC |  tg β ; 
 | AC |  ⋅ F₁  / N =  | BC |  ⋅ F₂  / N ; 
 | AC |  | BC |  = F₂ F₁   ; 
 | AC |  =  | AC |  | AB |   | AB |  =   | AC |  | AC |  +  | BC |   | AB |  =   | AC |  /  | BC |  | AC |  /  | BC |  + 1  | AB |  = 
 F₂  / F₁ F₂  / F₁  + 1  | AB |  =  F₂ F₂  + F₁   | AB |  = F₂ R  | AB |  ; 
 | BC |  = F₁ F₂   | AC |  =  F₁ F₂  ⋅ F₂ R  | AB |  = F₁ R  | AB |  ; 
^→r_C  = ^→r_A  + ^→AC = ^→r_A  +  | AC |  | AB |  ^→AB =  RR ^→r_A  + F₂ R ^→AB = 
 F₁  + F₂ R ^→r_A  + F₂ R (^→r_B  – ^→r_A ) =  F₁ ^→r_A  + F₂ ^→r_B F₁  + F₂   . 

Две противоположно направленные силы

1. Переместим точки приложения сил ^→F₁  и ^→F₂  вдоль их линий действия в точки A и B так, чтобы AB⊥^→F₁  . 
2. Добавим систему взаимно уравновешивающихся сил ^→N₁  и ^→N₂  ,  приложенных к точкам A и B. Эти силы равны по абсолютной величине, противоположны по направлению и их линии действия совпадают с прямой AB. В результате получим эквивалентную систему сил, состоящую из ^→F₁ ,  ^→N₁  ,  приложенных к A, и ^→F₂ ,  ^→N₂  ,  приложенных к B.
3. Сложим силы ^→F₁  и ^→N₁  по правилу параллелограмма: ^→Q₁  = ^→F₁  + ^→N₁  .  Тоже самое проделаем с ^→F₂  и ^→N₂   :  ^→Q₂  = ^→F₂  + ^→N₂  .  В результате получим эквивалентную систему сил, состоящую из ^→Q₁  и ^→Q₂  ,  приложенных к точкам A и B, соответственно. Эти силы составляют углы α,  β с прямой AB:
(8.1)   tg α = F₁  / N,  tg β = F₂  / N , 
где N = N₁  = N₂  . 
4. Найдем точку D пересечения линий действия сил ^→Q₁  и ^→Q₂  ,  и перенесем в D точки приложения этих сил. В результате получим эквивалентную систему сил, состоящую из ^→Q₁  и ^→Q₂  ,  приложенных к точке D.
5. Сложим ^→Q₁  и ^→Q₂  по правилу параллелограмма. В результате получим эквивалентную систему сил, состоящую из одной силы ^→R .  Легко показать, что ^→R = ^→F₁  + ^→F₂   : 
^→R = ^→Q₁  + ^→Q₂  =  ^→F₁  + ^→N₁  + ^→F₂  + ^→N₂  =  ^→F₁  + ^→N₁  + ^→F₂  – ^→N₁  = ^→F₁  + ^→F₂  . 
Поскольку силы ^→F₁  и ^→F₂  перпендикулярны AB, то равнодействующая ^→R также перпендикулярна AB. Если F₁  > F₂  ,  то R = F₁  – F₂  .  Если F₁  < F₂  ,  то R = F₂  – F₁  .  В общем случае,
R =  | F₁  – F₂  |  . 
Далее полагаем, что F₁  > F₂  . 
6. Наконец, перенесем точку приложения равнодействующей ^→R вдоль ее линии действия в точку C, чтобы точки A, B и C располагались на одной прямой. Применяя (8.1), из прямоугольников ACD и BCD находим:
 | CD |  =  | AC |  tg α =  | BC |  tg β ; 
 | AC |  ⋅ F₁  / N =  | BC |  ⋅ F₂  / N ; 
 | AC |  | BC |  = F₂ F₁   ; 
 | AC |  =  | AC |  | AB |   | AB |  =   | AC |  | BC |  –  | AC |   | AB |  =   | AC |  /  | BC | 1 –  | AC |  /  | BC |   | AB |  = 
 F₂  / F₁ 1 – F₂  / F₁   | AB |  =  F₂ F₁  – F₂   | AB |  = F₂ R  | AB |  ; 
 | BC |  =  | BC |  | AB |   | AB |  =   | BC |  | BC |  –  | AC |   | AB |  =  11 –  | AC |  /  | BC |   | AB |  = 
 11 – F₂  / F₁   | AB |  =  F₁ F₁  – F₂   | AB |  = F₁ R  | AB |  ; 
^→r_C  = ^→r_A  + ^→AC = ^→r_A  +  | AC |  | AB |  ^→BA =  RR ^→r_A  + F₂ R ^→BA = 
 F₁  – F₂ R ^→r_A  + F₂ R (^→r_A  – ^→r_B ) =  F₁ ^→r_A  – F₂ ^→r_B F₁  – F₂   . 

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 29-11-2023   Изменено: 30-09-2024