Равнодействующая системы двух параллельных сил

Расчет равнодействующей системы двух параллельных сил тремя способами, используя аксиомы статики и уравнения равновесия.

Равнодействующая двух сонаправленных параллельных сил

Две однонаправленные параллельные силы и , приложенные к твердому телу в точках A и B,
имеют равнодействующую , сонаправленную параллельно и . Абсолютная величина равнодействующей равна сумме абсолютных величин сил:
(1.1)   .
Линия действия равнодействующей проходит через точку C, которая принадлежит отрезку AB, и делит его обратно пропорционально модулям сил:
(1.2)  
(1.3)   .
Радиус вектор точки приложения C определяется по формуле
(1.4)   ,
где – радиус векторы точек A и B.
Доказательство
Доказательство с помощью аксиом статики

Точка C отличается от других возможных точек приложения равнодействующей тем, что ее положение определяется только модулями сил и , и не зависит от их направления. Такую точку называют центром параллельных сил.

Равнодействующая двух противоположно направленных параллельных сил

Две не равные по модулю противоположно направленные силы и , приложенные к твердому телу в точках A и B,
имеют равнодействующую , направление которой совпадает с направлением наибольшей по абсолютной величине силы или . Абсолютная величина равнодействующей равна модулю разности абсолютных величин сил:
(2.1)   .
Линия действия равнодействующей проходит через точку C, находящуюся на продолжении отрезка AB, причем:
(2.2)  
(2.3)   .
Радиус вектор точки приложения C определяется по формуле
(2.4)   ,
где – радиус векторы точек A и B.
Доказательство
Доказательство с помощью аксиом статики

Две равные по абсолютной величине и противоположно направленные силы, линии действия которых не совпадают, не имеют равнодействующей. Такая система называется парой сил и характеризуется моментом.

Наконец, приведем общую формулу равнодействующей, применимую как для сонаправленных, так и противоположно направленных сил и .

Точку приложения равнодействующей, как и сил и , можно перемещать вдоль их линий действия. Поэтому в качестве точки приложения равнодействующей можно выбрать любую точку C′ с радиус вектором
,
где – произвольная постоянная. Однако такая точка уже не будет центром параллельных сил, поскольку ее положение зависит от направления вектора , параллельного силам и .

Вывод формул

Определение равнодействующей, используя уравнения статики

Напомним, что равнодействующая – это одна сила, действие которой эквивалентно действию заданной системы сил. То есть законы движения твердого тела должны сохранить свой вид при замене заданной системы сил на равнодействующую. В уравнения движения тела твердого входит только векторная сумма внешних сил и сумма моментов этих сил относительно любой точки. Поэтому, при замене системы сил на равнодействующую, должны выполняться два условия.
1. Векторная сумма внешних сил должна равняться равнодействующей:
(3.1)   .
2. Сумма моментов внешних сил относительно произвольной точки O должна равняться моменту от равнодействующей силы относительно этой точки:
(3.2)   .
Здесь – момент равнодействующей , приложенной в точке C, относительно точки O; – момент силы , приложенной в точке A_i, относительно точки O. Моменты можно выразить посредством векторного произведения: , где – радиус вектор, проведенный из точки O в A_i. Тогда последнее уравнение можно записать так:
(3.3)   .

Эквивалентные преобразования сил применяются только для сил, приложенных к абсолютно твердому телу, или к системе тел, которая, согласно принципу отвердевания, может рассматриваться как твердое. Нельзя производить преобразования сил, приложенных к различным точкам и телам, которые могут совершать относительное движение.

Сонаправленные силы

Найдем равнодействующую и точку ее приложения C двух параллельных сонаправленных сил и , приложенных в точках A и B.

Выберем прямоугольную систему координат Axyz с началом в точке A. Ось Ay направим вдоль направлений сил; ось Az – перпендикулярно плоскости рисунка (на нас). Из точек C и B опустим перпендикуляры CC′ и BB′ на ось Ax.

Вектор равнодействующей определяется по формуле (3.1):
.
Отсюда следует, что он параллелен и сонаправлен силам и , и также направлен вдоль оси Ay. Спроектировав это векторное уравнение на эту ось, найдем абсолютную величину равнодействующей:
.

Спроектируем уравнение (3.2) на ось Az.
(4.1)   .
Сила проходит через эту ось. Поэтому ее момент равен нулю: . Поскольку и , то отрезки AC' и AB' будут плечами сил и . Находим их моменты как произведения плеча силы на абсолютное значение:
.
Подставляем в (4.1):
;
.
Поскольку , где , то
.

Получим остальные формулы (1.2) – (1.4).
;
;

.

Противоположно направленные силы

Теперь найдем равнодействующую и точку ее приложения C двух параллельных, но противоположно направленных сил и (см. рисунок). Будем считать, что . Также выбираем прямоугольную систему координат Axyz с началом в точке A.

Из формулы (3.1)

следует, что вектор равнодействующей параллелен силам и . Спроектировав это векторное уравнение на ось Ay, найдем абсолютную величину равнодействующей:
.

Спроектируем уравнение (3.2) на ось Az.
(5.1)   .
Сила проходит через эту ось. Поэтому ее момент равен нулю: . Поскольку и , то отрезки AC' и AB' будут плечами сил и . Находим их моменты как произведения плеча силы на абсолютное значение. При этом положительному значению соответствует закручивание против часовой стрелки. У нас наоборот. поэтому моменты отрицательные:
.
Подставляем в (5.1):
;
.
Поскольку , где , то
.

Получим остальные формулы (2.2) – (2.4).
;
;

.

Вывод общей формулы

Пусть две параллельные силы и приложены к твердому телу в точках A и B. Найдем равнодействующую и точку ее приложения C, применяя уравнения (3.1) и (3.3).

Вектор равнодействующей равен сумме векторов сил, действующих на тело:
.
По условию, . То есть абсолютная величина равнодействующей отлична от нуля: .

Найдем точку приложения C равнодействующей из уравнения моментов (3.3). Для этого выберем прямоугольную систему координат с началом в произвольной точке O. Тогда момент равнодействующей относительно начала координат O должен равняться сумме моментов сил и относительно этой точки:
(6.1)   .
Здесь – радиус векторы точек A, B и C. То есть векторы, проведенные из начала системы координат O к этим точкам.

При можно ввести единичный вектор , направленный вдоль равнодействующей:
.
Введем проекции векторов и на направление :
,
.
Поскольку все силы параллельны, то
.
Тогда
;

.
Подставляем в (6.1).
.
Отсюда
(6.2)   ,
где – произвольная постоянная.

Формула (6.2) определяет линию действия равнодействующей. При получаем:
(6.3)   .
Покажем, что из (6.3) определяет точку в пространстве. Для этого нужно доказать, что является радиус-вектором (см. Что такое радиус-вектор).
1. Поскольку равен сумме векторов и , умноженных на постоянные коэффициенты, то является вектором.
2. Выполним параллельный перенос системы координат. Пусть ее начало переместится из точки O в O′. Тогда компоненты всех радиус-векторов преобразуются по одному закону:
;
.
Покажем, что и преобразуется по этому закону:

;
.
также преобразуется по этому закону. Поэтому является радиус-вектором, то есть определяет положение точки в пространстве.

Доказательства с помощью аксиом статики

Теперь найдем равнодействующую, используя аксиомы статики. Суть аксиом заключается в том, что силы, приложенные к твердому телу, являются скользящими векторами. То есть силы, приложенные к одной точке можно складывать по правилу параллелограмма, и точку приложения силы можно перемещать вдоль ее линии действия.

Мы сразу можем упростить задачу, если переместим точки приложения A и B сил так, чтобы прямая, проходящая через точки приложения была перпендикулярна направлению сил: . После того как мы найдем точку приложения C равнодействующей , мы также можем переместить ее вдоль линии действия равнодействующей. В результате все формулы, полученные для случая , будут применимы и для произвольно расположенных точек A и B.

Две силы одного направления

1. Переместим точки приложения параллельных сил и вдоль их линий действия в точки A и B так, чтобы .
2. Добавим систему взаимно уравновешивающихся сил и , приложенных к точкам A и B. Они равны по абсолютной величине, противоположны по направлению, и их линии действия совпадают с прямой AB. В результате получим эквивалентную систему сил, состоящую из , приложенных к A, и , приложенных к B.
3. Сложим силы и по правилу параллелограмма: . Тоже самое проделаем с и : . В результате получим эквивалентную систему сил, состоящую из и , приложенных к точкам A и B, соответственно. Эти силы составляют углы и с прямой AB, причем:
(7.1)   ,
где – абсолютная величина сил и .
4. Найдем точку D пересечения линий действия сил и , и перенесем точки приложения этих сил в D. В результате получим эквивалентную систему сил, состоящую из и , приложенных к точке D.
5. Сложим и по правилу параллелограмма. В результате получим эквивалентную систему сил, состоящую из одной равнодействующей силы . Легко показать, что :
.
Поскольку силы и перпендикулярны AB, то равнодействующая также перпендикулярна AB.
6. Наконец, перенесем точку приложения равнодействующей вдоль ее линии действия в точку C, чтобы точки A, B и C располагались на одной прямой. Применяя (7.1), из прямоугольников ACD и BCD находим:
;
;
;

;
;

.

Две противоположно направленные силы

1. Переместим точки приложения сил и вдоль их линий действия в точки A и B так, чтобы .
2. Добавим систему взаимно уравновешивающихся сил и , приложенных к точкам A и B. Эти силы равны по абсолютной величине, противоположны по направлению и их линии действия совпадают с прямой AB. В результате получим эквивалентную систему сил, состоящую из , приложенных к A, и , приложенных к B.
3. Сложим силы и по правилу параллелограмма: . Тоже самое проделаем с и : . В результате получим эквивалентную систему сил, состоящую из и , приложенных к точкам A и B, соответственно. Эти силы составляют углы с прямой AB:
(8.1)   ,
где .
4. Найдем точку D пересечения линий действия сил и , и перенесем в D точки приложения этих сил. В результате получим эквивалентную систему сил, состоящую из и , приложенных к точке D.
5. Сложим и по правилу параллелограмма. В результате получим эквивалентную систему сил, состоящую из одной силы . Легко показать, что :
.
Поскольку силы и перпендикулярны AB, то равнодействующая также перпендикулярна AB. Если , то . Если , то . В общем случае,
.
Далее полагаем, что .
6. Наконец, перенесем точку приложения равнодействующей вдоль ее линии действия в точку C, чтобы точки A, B и C располагались на одной прямой. Применяя (8.1), из прямоугольников ACD и BCD находим:
;
;
;

;

;

.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 29-11-2023   Изменено: 30-09-2024