Методы решения физико-математических задач

Силы в теоретической механике

Эквивалентные преобразования сил
Дано определение силы, действующей на материальную точку. Показано, что в теоретической механике, в задачах на определение движения твердых тел, силы являются скользящими векторами и системы сил можно преобразовывать в более простые эквивалентные системы. Показано, что получить эквивалентную систему, можно решая задачу статики, в которой к старой системе добавляется новая система сил.

Определение силы

В инерциальной системе отсчета, не взаимодействующие между собой, материальные точки движутся с постоянными скоростями. Пусть – радиус-вектор одной из свободных точек. Тогда вектор ее скорости есть постоянный вектор, не зависящий от времени t. Следовательно его проекции на оси прямоугольной системы координат являются постоянными, не зависящими от времени величинами: . Если мы определим вектор ускорения точки:
,
то он равен нулю: . Это означает, что его проекции на оси координат равны нулю: .

Как показывает опыт, можно создать условия, при которых материальные точки будут взаимодействовать друг с другом. Тогда их скорости не будут постоянными – движение при взаимодействии является ускоренным. У рассматриваемой нами точки, вектор скорости будет зависеть от времени, а вектор ускорения будет отличен от нуля. Тогда удобно ввести новую векторную физическую величину, пропорциональную вектору ускорения точки. Такую величину называют силой. Она определяется по формуле:
,
где m – еще одна физическая величина, называемая массой точки.

Сила ,
действующая на материальную точку с радиус-вектором со стороны других точек – это мера воздействия других точек на рассматриваемую точку, в результате которой она получает ускорение относительно инерциальной системы отсчета. Величина силы определяется по формуле:
(1)   ,
где m – масса точки – величина, зависящая от свойств самой точки.

Формула (1) называется вторым законом Ньютона. По существу, она является определением новой физической величины – силы. Такое определение согласуется с нашим жизненным опытом, согласно которому, чем больше мы прилагаем усилий, тем быстрее разгоняется груз (например, при толкании ядра в легкой атлетике). Однако, в отличие от жизненного опыта, формула (1) дает строгое математическое определение.

Изучая движения материальных точек, мы можем экспериментально определить их ускорения, а затем по формуле (1) найти зависимость силы от положений точек системы. Так мы устанавливаем законы, описывающие взаимодействие материальных точек. Изучая и систематизируя экспериментальные данные, мы получаем правила, которые позволяют нам определять зависимость силы от времени и от координат в сложных случаях, основываясь на более простых. Так если нам известна зависимость вектора от времени и от координат: , то формула (1) представляет собой систему дифференциальных уравнений:

Решая ее, можно найти закон движения точки.

Сила – это векторная величина

В формуле (1):   ,   m есть скаляр, то есть число, не зависящее от координат и времени. Ускорение    есть вектор. Тогда сила является вектором. Это означает, что если мы выберем прямоугольную систему координат , то сила имеет три проекции на ее оси: . То есть, в математическом смысле, сила определяется тремя числами – тремя компонентами или проекциями на оси координат. Разумеется, если мы будем рассматривать движение в плоскости, то есть в двухмерном пространстве, то в нем прямоугольная система координат имеет только две оси . Тогда и сила, как и любой вектор в этой системе, имеет только две проекции (или компоненты).

Поскольку сила – это вектор, то к ней применимы все формулы, применяемые к векторам в аналитической геометрии.

Скользящие векторы

Теперь рассмотрим абсолютно твердое тело. Законы его движения имеют более сложный вид. Они описываются двумя векторными уравнениями:
(2)   ;
(3)   .
Здесь – ускорение центра масс тела; M – его масса; – момент импульса тела относительно произвольно выбранного центра C; – внешние силы, действующие на тело, приложенные в точках .

Вместо того, чтобы пытаться в лоб решать эти уравнения, давайте попробуем вывести некоторые закономерности, заключенные в этих уравнениях. Для этого упростим задачу. Рассмотрим тело в некоторый момент времени t. И пусть, для этого момента времени, нам известны действующие на него силы и точки их приложения .

Уравнение (2) не зависит от точек приложения Ak сил. Для его составления требуется знать только проекции сил на оси координат . А вот в уравнение (3) входят точки приложения. Они входят в виде векторов, проведенных из некоторого центра C в точку Ak. Причем входят в виде векторного произведения .

Согласно одному из свойств, векторное произведение векторов, имеющих одинаковое направление, равно нулю. Поэтому . Тогда если к вектору прибавить любой вектор, параллельный , то векторное произведение не изменится:
.
Здесь – произвольная постоянная, имеющая размерность м/Н.

Отсюда следует важный вывод. Если точку приложения силы переместить на любое расстояние вдоль линии действия силы, то уравнения движения твердого тела не изменятся. В связи с этим, вместо обычного в математическом определении вектора, можно ввести новый математический объект, называемый скользящим вектором. Скользящий вектор по существу есть множество, состоящее из двух векторов – самого вектора силы (так называемый образующий вектор) и его точки приложения относительно выбранного центра системы отсчета . В связи с этим, приводим следующие определения.

Скользящий вектор
– это множество, состоящее из образующего вектора и точки его приложения, обладающее тем свойством, что точку приложения можно перемещать вдоль прямой, проведенной через образующий вектор. То есть два скользящих вектора считаются равными, если равны образующие векторы и точки их приложения расположены на прямой, проходящей через них.

Наряду со скользящим вектором, мы можем ввести понятия закрепленных и свободных векторов.

Закрепленный вектор
– это множество, состоящее из образующего вектора и точки его приложения. Два фиксированных вектора считаются равными только в том случае, если равны их образующие векторы и совпадают точки приложения. Закрепленный вектор также называют связанным или фиксированным вектором.
Свободный вектор
– это множество, состоящее из образующего вектора и точки его приложения. Два свободных вектора считаются равными, если равны образующие векторы, не зависимо от точек приложения.

Таким образом, свободный вектор не зависит от точки приложения, и является просто вектором. Для справок также приведем определение вектора.

Вектор в трехмерном пространстве
– это три числа, называемые компонентами, связанные с предварительно выбранной прямоугольной системой координат, которые при поворотах этой системы вокруг ее центра O, и при отражении осей, преобразуются по тому же закону, что и координаты произвольной точки A, не совпадающей с O. Компоненты вектора также называются проекциями вектора на оси координат.

Силы в теоретической механике

Если мы рассматриваем деформации в телах, то все приложенные силы нужно рассматривать как связанные векторы, поскольку внутренние напряжения и деформации зависят от точек приложения сил. Но если мы считаем тело абсолютно твердым, и нам нужно определить только траекторию его движения, то, как показано выше, силы являются скользящими векторами. То есть в теоретической механике мы можем обращаться с силами более свободно, чем при решении других задач – точки приложения сил можно перемещать вдоль линий их действия.

Таким образом, в теоретической механике, над силами мы можем выполнять следующие преобразования.
1) Переносить точку приложения силы на любое расстояние вдоль линии ее действия.
2) Раскладывать силу по правилу параллелограмма на две или более сил, каждая из которых приложена в той точке, что исходная сила – то есть можно заменить исходную силу на несколько сил, векторная сумма которых равна исходной.
3) Несколько сил, приложенных к одной точке можно объединять в одну, применяя правило параллелограмма – то есть можно заменить несколько сил, приложенных в одной точке их векторной суммой, приложенной в той же точке.

Такие преобразования называются эквивалентными преобразованиями сил. А системы, полученные в результате таких преобразований, называются эквивалентными системами сил. На странице «Аксиомы статики» приводится иллюстрация подобных преобразований. См. «Пример решения задачи, используя аксиомы статики». Таким образом, в теоретической механике, силы являются некоторыми расчетными величинами. Их можно преобразовывать для того, чтобы получить более простую систему сил и упростить уравнения движения тел.

Рассмотрим следующий пример. Пусть мы имеем тело, на которое действует сила тяжести Земли. Эта сила приложена ко всем точкам. На любую малую часть тела, массой , действует сила тяжести , где – ускорение свободного падения. То есть на тело действует система сил, равномерно распределенных по его объему. Решать уравнения движения с такими силами неудобно. Поэтому в начале, проще выполнить эквивалентные преобразования. В результате таких преобразований все силы тяжести малых элементов тела можно заменить одной силой , приложенной к центру масс тела с радиус-вектором . Тем самым мы пришли к уравнениям движения, в которых на тело действует одна сила. Естественно, что это не реальная сила, действующая в центре масс, а расчетная величина, эквивалентная распределенным по объему тела силам.

Здесь мы разбили тело на материальные точки, каждая из которых имеет массу и положение в пространстве, задаваемое радиус-вектором . Тогда – масса тела. Суммирование выполняется по всем точкам, составляющим тело.

Статика и эквивалентные преобразования сил

Снова рассмотрим уравнения движения твердого тела:
(2)   ;
(3)   .
Пусть в момент времени t нам известны внешние силы , действующие на тело. Далее мы можем попытаться упростить систему сил, сведя ее эквивалентными преобразованиями к новой системе . В следующий момент времени, силы могут измениться и нам потребуется выполнять новые эквивалентные преобразования. В этом, конечно, ничего хорошего нет. Но, возможно, нам удастся найти эквивалентные преобразования аналитическим способом, то есть получить аналитическое выражение для новых сил , пригодное для любого момента времени. Тогда вместо (2) и (3) мы получим систему уравнений с более простой системой сил:
(2′)   ;
(3′)   .

Теперь из уравнений (2) и (3) вычтем уравнения (2′) и (3′):
(4)   ;
(5)   .
Но это есть ни что иное, как уравнения статики, в которых к исходной системе сил добавили эквивалентную систему, изменив направления на противоположные.

Отсюда следует вывод, что для получения эквивалентной системы сил, нужно к исходной системе, добавить новую систему сил так, чтобы тело находилось в равновесии. Тогда эквивалентная система будет совпадать с новой, в которой направления сил заменены на противоположные.

Единицы измерения силы

В СИ единицей измерения силы является Ньютон. Обозначается Н. Международное обозначение N. Сила F с абсолютным значением в 1 Ньютон обозначается так:
F = 1 Н.
Из уравнения (1) получаем:
.

В СГС единицей измерения силы является дин. Обозначается дин. Международное обозначение dyn.
;   .

В МКГСС единицей измерения силы является килограмм-сила. Это основная единица этой системы (наряду с метром и секундой). Обозначается кгс или кГ. Международное обозначение kgf или kgF.
.

.     Опубликовано: