Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Примеры решения однородных дифференциальных уравнений Эйлера

Рассмотрены примеры решения однородных дифференциальных уравнений Эйлера.

Здесь мы рассматриваем примеры решений однородных дифференциальных уравнений Эйлера. Методы решения уравнения Эйлера подробно рассмотрены на странице
Дифференциальное уравнение Эйлера и методы его решения > > >”.

Пример 1

Решить уравнение
(1)   x^3 y prime prime prime~+~2 x^2 y prime prime~minus~x y prime~+~y~=~0

Решение

Ищем решение в виде

y~=~x^k

y prime~=~k x^{k-1}

y prime prime~=~k(k minus 1) x^{k-2}

y prime prime prime~=~k(k minus 1)(k minus 2) x^{k-3}

Подставляем в (1):

x^3 k(k minus 1)(k minus 2) x^{k-3}~+~2 x^2 k(k minus 1) x^{k-2}~minus~x k x^{k-1}~+~x^k~=~0

Сокращаем на xk и получаем характеристическое уравнение:

k(k minus 1)(k minus 2)~+~2k(k minus 1)~minus~k~+~1~=~0

Преобразуем.

k^3 ~minus~k^2~minus~2 k^2 ~+~2k ~+~2k^2 ~minus~2k~minus~k~+~1~=~0

k^3 ~minus~ k^2 ~minus~k~+~1~=~0

k^2(k minus 1) ~minus~(k minus 1) ~=~0

(k^2 minus 1)(k minus 1)~=~0

(k minus 1)(k + 1)(k minus 1)~=~0

(k minus 1)^2 (k + 1)~=~0

Получили три действительных корня:

k_1~=~minus 1;~~~k_2~=~k_3~=~1

Им соответствуют три линейно независимых решения:

y_1~=~x^{-1}~=~1/x;~~~y_2~=~x^1~=~x;~~~y_3~=~x^1~ln{x}~=~x~ln{x};

Общее решение уравнения:

y~=~C_1~y_1~+~C_2~y_2~+~C_3~y_3

Ответ

y~=~C_1/x~+~(C_2 ~+C_3~ln{x})~x

Пример 2

Решить уравнение
(2)   x^2 y prime prime~+~x y prime~+~y~=~0

Решение

Ищем решение в виде

y~=~x^k

y prime~=~k x^{k-1}

y prime prime~=~k(k minus 1) x^{k-2}

Подставляем в (2):

x^2 k(k minus 1) x^{k-2}~+~x k x^{k-1}~+~x^k~=~0

Сокращаем на xk и получаем характеристическое уравнение:

k(k minus 1)~+~k~+~1~=~0

Преобразуем.

k^2 ~minus~k ~+~k~+~1~=~0

k^2 ~+~1~=~0

(k ~minus~ i)(k ~+~ i)~=~0

Получили два комплексных корня:

k_1~=~minus i;~~~k_2~=~i

Им соответствуют два линейно независимых решения:

y_1~=~cos(ln{x});~~~y_2~=~sin(ln{x}).

Общее решение уравнения:

y~=~C_1~y_1~+~C_2~y_2

Ответ

y~=~C_1 cos(ln{x})~+~C_2 sin(ln{x})

Опубликовано:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru