Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Пример решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью

Рассмотрен пример решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью.

Здесь мы рассмотрим пример решения линейного дифференциального уравнения со специальной неоднородной частью. Метод решения таких уравнений подробно рассмотрен на странице “Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью > > >”.

Пример

Решить уравнение
y prime prime prime~minus~4y prime~=~x e^{2x}~+~sin{x}~+~x^2

Решение

Вначале находим общее решение однородного уравнения

y_0 prime prime prime~minus~4y_0 prime~=~0

Составляем характеристическое уравнение:

k^3~minus~4k~=~0

Преобразуем его.

(k^2~minus~2^2)k~=~0

(k~+~2)(k~minus~2)k~=~0

Получили три действительных корня:

k_1~=~minus 2;~~~k_2~=~2;~~~k_3~=~0

Им соответствуют три решения фундаментальной системы решений:

y_01~=~e^{minus 2 dot x};~~~y_02~=~e^{2 dot x};~~~y_03~=~e^{0 dot x}~=~1

Общее решение однородного уравнения:

y_0~=~C_1~y_01~+~C_2~y_02~+~C_3~y_03~=~C_1~e^{minus 2 dot x}~+~C_2~e^{2 dot x}~+~C_3

Ищем частное решение неоднородного уравнения. Для этого неоднородную часть представим в виде суммы трех частей.

f_1 (x)~=~x e^{2x};~~~f_2 (x)~=~sin{x};~~~f_3 (x)~=~x^2

Ищем частное решение с первой неоднородной частью.

(П1)   y_1 prime prime prime~minus~4y_1 prime~=~x e^{2x}

Поскольку характеристическое уравнение имеет однократный корень k = 2, то частное решение имеет вид:

y_1 ~=~ x ~(Ax~+~B)~e^{2 x}~=~(Ax^2~+~Bx)~e^{2 x}

Находим производные

(e^{2 x})^,~=~e^{2 x}~(2x)^,~=~2~e^{2 x}

y_1 prime~=~ (Ax^2~+~Bx)^,~e^{2 x}~+~(Ax^2~+~Bx)~(e^{2 x})^,~=~(2Ax~+~B)~e^{2 x}~+~

~+~2(Ax^2~+~Bx)~e^{2 x}~=~(2Ax^2~+~(2A+2B)x~+~B)~e^{2 x}

y_1 prime prime~=(2Ax^2~+~(2A+2B)x~+~B)^,~e^{2 x}~+(2Ax^2~+~(2A+2B)x~+~B)~dot~(e^{2 x})^,=~

~=(4Ax~+~2A+2B)~e^{2 x}~+~2(2Ax^2+(2A+2B)x+B)~e^{2 x}~=~

(4Ax^2~+~(8A+4B)x~+~2A+4B)~dot~e^{2 x}

y_1 prime prime prime~=(4Ax^2+(8A+4B)x+2A+4B)^,~dot~e^{2 x}~+~

+(4Ax^2+(8A+4B)x+2A+4B)dot(e^{2 x})^,~=~(8Ax+(8A+4B))e^{2 x}~+~

2(4Ax^2+(8A+4B)x+2A+4B)dot~e^{2 x}~=~(8Ax^2+(24A+8B)x+12A+12B)~dot~e^{2 x}

Подставляем в (П1).

(8Ax^2+(24A+8B)x+12A+12B)dot~e^{2 x}~minus~

minus~4(2Ax^2~+~(2A+2B)x~+~B)dot~e^{2 x}~=~x~e^{2x}

Сокращаем на e2x и преобразуем.

16A~x~+~12A+8B~=~x

Отсюда

delim{lbrace}{ matrix{2}{1}{ {16A~=~1~~~~~~~}{12A+8B~=~0} } }{~}

A~=~1/16

B~=~minus~12/8 A~=~minus~3/2 ~dot~ 1/16~=~minus~3/32

y_1 ~=~(Ax^2~+~Bx)~e^{2 x}~=~({x^2}/16~minus~{3x}/32)~e^{2 x}~=~{2x^2~minus~3x}/32~e^{2 x}

Ищем частное решение со второй неоднородной частью.

(П2)   y_2 prime prime prime~minus~4y_2 prime~=~sin{x}

Поскольку характеристическое уравнение не имеет комплексного корня k = i, то частное решение имеет вид:

y_2 ~=~ A~cos{x}~+~B~sin{x}

Находим производные

(cos{x})^,~=~minus~sin{x};~~~(sin{x})^,~=~cos{x}

y_2 prime~=~minus~A~sin{x}~+~B~cos{x}

y_2 prime prime~=~minus~A~cos{x}~minus~B~sin{x}

y_2 prime prime prime~=~A~sin{x}~minus~B~cos{x}

Подставляем в (П2):

A~sin{x}~minus~B~cos{x}~minus~4(minus~A~sin{x}~+~B~cos{x})~=~sin{x}

Преобразуем:

5A~sin{x}~minus~5B~cos{x}~=~sin{x}

Отсюда

delim{lbrace}{ matrix{2}{1}{ {5A~=~1~~~}{minus 5B~=~0} } }{~}

A~=~1/5;~~~B~=~0

y_2 ~=~ A~cos{x}~+~B~sin{x}~=~1/5~cos{x}

 

Ищем частное решение с третьей неоднородной частью.

(П3)   y_3 prime prime prime~minus~4y_3 prime~=~x^2

Поскольку характеристическое уравнение имеет однократный корень k = 0, то частное решение имеет вид:

y_3 ~=~ x~(A~x^2~+~Bx~+~D)~=~A~x^3~+~Bx^2~+~Dx

Находим производные

y_3 prime~=~3A~x^2~+~2Bx~+~D

y_3 prime prime~=~6A~x~+~2B

y_3 prime prime prime~=~6A

Подставляем в (П3):

6A~minus~4(3A~x^2+2Bx+D)~=~x^2

Преобразуем:

minus~12Ax^2~minus~8Bx~+~6A minus 4D~=~x^2

Отсюда

delim{lbrace}{ matrix{3}{1}{ {minus 12A~=~1}{minus 8B~=~0}{6A minus 4D~=~0} } }{~}

A~=~minus 1/12;~~~B~=~0;~~~D~=~6/4 A~=~minus~3/2~dot~1/12~=~minus 3/24

y_3 ~=~A~x^3~+~Bx^2~+~Dx~=~minus 1/12~x^3~minus~3/24 x~=~minus 1/24 x (2 x^2 ~+~3)

Общее решение исходного уравнения:

y~=~y_0~+~y_1~+~y_2~+~y_3

Ответ

y~=~C_1~e^{minus 2 dot x}~+~C_2~e^{2 dot x}~+~C_3~+~{2x^2~minus~3x}/32~e^{2 x}~+~1/5~cos{x}~minus 1/24 x (2 x^2 ~+~3)

Опубликовано:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru