Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Справочник по гиперболическим функциям – свойства, графики, формулы

Справочник по гиперболическим функциям. Определения, графики и свойства гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Формулы сумм, разностей и произведений. Производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через тригонометрические функции.

Определения гиперболических функций, их области определений и значений

sh x - гиперболический синус

,     –∞ < x < +∞;   –∞ < y < +∞.

ch x - гиперболический косинус

,     –∞ < x < +∞;   1 ≤ y < +∞.

th x - гиперболический тангенс

,     –∞ < x < +∞;   – 1 < y < +1.

cth x - гиперболический котангенс

,     x ≠ 0;   y < –1   или   y > +1.

Графики гиперболических функций

График функции y=sh(x)

График гиперболического синуса   y = sh x
График функции y=ch(x)

График гиперболического косинуса   y = ch x
График функции y=th(x)

График гиперболического тангенса   y = th x
График функции y=cth(x)

График гиперболического котангенса   y = cth x

Формулы с гиперболическими функциями

Связь с тригонометрическими функциями

sin iz = i sh z ;     cos iz = ch z
sh iz = i sin z ;     ch iz = cos z
tg iz = i th z ;     ctg iz = – i cth z
th iz = i tg z ;     cth iz = – i ctg z
Здесь   i – мнимая единица,   i2 = –1.

Применяя эти формулы к тригонометрическим функциям, получаем формулы, связывающие гиперболические функции.

Четность

sh(–x) = – sh x;   ch(–x) = ch x.
th(–x) = – th x;   cth(–x) = – cth x.

Функция   ch(x)   – четная. Функции   sh(x),   th(x),   cth(x) – нечетные.

Разность квадратов

ch2 x – sh2 x = 1.

Формулы суммы и разности аргументов

sh(x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y,
ch(x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y,
,
,

sh 2x = 2 sh x ch x ,
ch 2x = ch2 x + sh2 x = 2 ch2 x – 1 = 1 + 2 sh2 x,
.

Формулы произведений гиперболического синуса и косинуса

,
,
,

,
,
.

Формулы суммы и разности гиперболических функций

,
,
,
,
.

Связь гиперболического синуса и косинуса с тангенсом и котангенсом

,     ,
,     .

Производные

,

Интегралы от sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

Разложения в ряды

sh x

.

ch x

,

th x

,

cth x

.

Обратные функции

Ареасинус

При   – ∞ < x < ∞   и   – ∞ < y < ∞   имеют место формулы:
,
.

Ареакосинус

При   1 ≤ x < ∞   и   0 ≤ y < ∞   имеют место формулы:
,
.

Вторая ветвь ареакосинуса расположена при   1 ≤ x < ∞   и   – ∞ < y ≤ 0  :
.

Ареатангенс

При   1 < x < 1   и   – ∞ < y < ∞   имеют место формулы:
,
.

Ареакотангенс

При   – ∞ < x < – 1   или   1 < x < ∞   и   y ≠ 0   имеют место формулы:
,
.

Опубликовано:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.