Предел функции в картинках (определения, свойства и теоремы)

Приводятся определения, свойства и теоремы пределов функций в сжатом виде. Каждая картинка содержит основные формулы и понятия страницы, на которую указывает ссылка, связанная с заголовком.

Здесь приводится оглавление раздела «Предел функции» в виде главных изображений страниц, входящих в этот раздел. На этих изображениях, в кратком виде представлены главные содержания страниц раздела. На многих из них даются свойства и теоремы, относящиеся к пределам функций. Снизу от каждого изображения имеется заголовок и ссылка на страницу, к которой относится картинка. Просматривая их, можно освежить в памяти определения, свойства и теоремы пределов функций.

Предел функции – определения, теоремы и свойстваПриводятся формулировки основных теорем и свойств предела функции. Даны определения конечных и бесконечных пределов в конечных точках и на бесконечности (двусторонних и односторонних) по Коши и Гейне. Рассмотрены арифметические свойства; теоремы, связанные с неравенствами; критерий сходимости Коши; предел сложной функции; свойства бесконечно малых, бесконечно больших и монотонных функций. Дано определение функции. Определение функцииОпределение функции, области задания и множества значений. Определения, связанные с обозначением функции. Определения сложной, числовой, действительной, монотонной и многозначной функции. Определения максимума, минимума, верхней и нижней граней для ограниченных функций. Сужение и продолжение функций. Пример многозначной функции. Различными цветами обозначены ее ветви. Каждая ветвь является функцией. Способы задания функцийПриводятся основные способы задания функций: явный аналитический; интервальный; параметрический; неявный; задание функции с помощью ряда; табличный; графический. Примеры применения этих способов Окрестность точкиРассмотрено общее определение окрестности точки на числовой прямой. Определения эпсилон окрестности, левосторонней, правосторонней и проколотых окрестностей конечных и бесконечно удаленных точек. Свойство окрестности. Доказана теорема о равносильности использования эпсилон окрестности и произвольной окрестности в определении предела функции по Коши. Универсальное определение предела функции по Гейне и по КошиПриводятся определения предела функции по Гейне (через последовательности) и по Коши (через эпсилон и дельта окрестности). Определения даются в универсальном виде, применимом как для двусторонних, так и односторонних пределов в конечных и бесконечно удаленных точках. Рассмотрено определение, что точка a не является пределом функции. Доказательство эквивалентности определений по Гейне и по Коши. Функция f(x) = sin(1/x) не имеет предела при x → 0. Определение предела функции в конечной точкеДаны определения пределов функции в конечной точке по Коши. Рассмотрены определения двусторонних и односторонних пределов (слева и справа). Также приводятся определения бесконечных пределов в конечной точке. Разобраны примеры решений задач, в которых требуется показать, что предел равен заданному значению, используя определение Коши. Предел функции в точке:
|f(x) – a| < ε  при  0 < |x – x₀| < δ Левый предел функции в точке:
|f(x) – a| < ε  при  0 < x₀ – x < δ Бесконечный предел функции в точке:
|f(x)| > M  при  0 < |x – x₀| < δ Определение предела функции на бесконечностиОпределения конечных и бесконечных пределов функции на бесконечности по Коши. Определения двусторонних и односторонних пределов (слева и справа). Примеры решений задач, в которых, используя определение Коши, требуется показать, что предел на бесконечности равен заданному значению, . Предел функции на бесконечности:
|f(x) – a| < ε  при  |x| > N Левый предел функции на бесконечности:
|f(x) – a| < ε  при  x < –N Бесконечный предел функции на бесконечности:
|f(x)| > M  при  |x| > N Основные свойства предела функцииПриводятся доказательства основных теорем и свойств предела функции: о влиянии значений функции в конечном числе точек на величину предела; теоремы об ограниченности функции; предел постоянной; свойства, связанные с неравенствами. Теорема о пределе промежуточной функцииПриводится формулировка и доказательство теоремы о пределе промежуточной (зажатой) функции. Доказательство основывается на аналогичной теореме для последовательностей. Арифметические свойства предела функцииПриводятся доказательства арифметических свойств пределов функций: предел от суммы, разности, произведения и частного двух функций. Произведено обобщение на конечное число функций. Рассмотрен пример применения арифметических свойств. Критерий Коши существования предела функцииОпределение условия Коши для функции. Формулировка и доказательство критерия Коши существования предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функцииОпределения и свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций в точке. Связь между ними. Доказательства свойств и теорем. Арифметические свойства пределов с бесконечно малыми и бесконечно большими функциями. Пределы монотонных функцийТеорема о пределе монотонной функции. Приводится доказательство теоремы, используя два метода. Также даны определения строго возрастающей, неубывающей, строго убывающей и невозрастающей функций. Определение монотонной функции. Теорема о пределе сложной функцииПриводится теорема о пределе сложной функции, и ее доказательство. Дана теорема, когда одна из функций, входящей в состав сложной функции, является монотонной. Рассмотрен пример определения предела в точке, в которой составная функция не является непрерывной.