Методы решения физико-математических задач

Предел последовательности (свойства и теоремы в картинках)

Предел последовательности
Приводятся основные свойства и теоремы пределов последовательностей в сжатом виде – в виде изображений. Каждая картинка снабжена заголовком и ссылкой на страницу с подробным изложением теории.

Здесь приводятся главные картинки раздела «Предел последовательности». На этих изображениях, в кратком виде представлены главные содержания страниц раздела. На многих из них даются свойства и теоремы, относящиеся к пределам последовательностей. Снизу от каждого изображения имеется заголовок и ссылка на страницу, к которой относится картинка. Просматривая эти картинки, можно освежить в памяти основные свойства и теоремы.

Предел последовательности – основные теоремы и свойства
Приводятся формулировки основных теорем и свойств числовых последовательностей, имеющих предел. Содержится определение последовательности и ее предела. Рассмотрены арифметические действия с последовательностями, свойства, связанные с неравенствами, критерии сходимости, свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
Определение числовой последовательности
Приводится определение числовой последовательности. Рассмотрены примеры неограниченно возрастающих, сходящихся и расходящихся последовательностей. Рассмотрена последовательность, содержащая все рациональные числа.
Определение конечного предела последовательности
Приводится определение конечного предела последовательности. Рассмотрены связанные с этим свойства и эквивалентное определение. Приводится определение, что точка a не является пределом последовательности. Рассмотрены примеры, в которых доказывается существование предела, используя определение.
Основные свойства конечных пределов последовательностей
Приводятся формулировки и доказательства основных свойств числовых последовательностей, имеющих конечный предел. Среди них: теорема единственности предела, ограниченность сходящейся последовательности, влияние конечного числа элементов на сходимость.
Арифметические свойства конечных пределов последовательностей
Приводятся формулировки и доказательства арифметических свойств последовательностей, имеющих конечный предел. Сюда входят предел суммы, разности, произведения и частного числовых последовательностей.
Свойства пределов последовательностей, связанных неравенствами
Приводятся формулировки и доказательства теорем и свойств числовых последовательностей, элементы которых связаны неравенствами, включая теорему о промежуточных последовательностях. Предполагается, что последовательности имеют конечные пределы.
Бесконечно малые последовательности – определение и свойства
Приводится определение бесконечно малой последовательности. Она обладает свойствами сходящихся последовательностей. Также имеются свойства, характерные только для последовательностей с пределом равным нулю. Приводятся доказательства таких свойств. Рассмотрен пример, в котором нужно доказать, что последовательность бесконечно малая.
Определение бесконечно большой последовательности
Приводится определение бесконечно большой последовательности. Рассмотрены понятия окрестностей бесконечно удаленных точек. Дано универсальное определение предела последовательности, которое относится как к конечным, так и к бесконечным пределам. Рассмотрены примеры применения определения бесконечно большой последовательности.
Свойства бесконечно больших последовательностей
Приводятся формулировки и доказательство свойств бесконечно больших последовательностей. Часть этих свойств связана с бесконечно малыми последовательностями.
Бесконечно удаленные точки и их свойства
Приводятся определения бесконечно удаленных точек – бесконечности без знака, плюс и минус бесконечности. Дается определение расширенной числовой прямой. Представлены свойства бесконечно удаленных точек и рассмотрен вопрос о доказательстве этих свойств. Приводятся примеры неопределенных операций.
Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности
Приводится доказательство теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности. Рассмотрены случаи ограниченной и неограниченной последовательностей. Рассмотрен пример, в котором нужно, применяя теорему Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности и найти ее предел.
Число e – его смысл и доказательство сходимости последовательности
Определение числа e как предела последовательности. Раскрывается смысл и значение числа e в математическом анализе. Приводится доказательство сходимости последовательности к конечному числу тремя способами: разложением в бином Ньютона, используя неравенство Бернулли и применяя вспомогательную последовательность.
Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши – Кантора)
Определение вложенных отрезков. Доказательство леммы Коши – Кантора о вложенных отрезках.
Теорема Больцано – Вейерштрасса
Приводится доказательство теоремы Больцано - Вейерштрасса. Для этого применяется лемма о вложенных отрезках.
Критерий Коши сходимости последовательности
Приводятся две формулировки условия Коши для последовательности и доказательство критерия Коши сходимости последовательности.
Подпосле­довательности и частичные пределы после­довательностей
Даны определения подпоследовательности, частичного предела последовательности, верхнего и нижнего частичного предела. Представлены формулировки и доказательства теорем и свойств подпоследовательностей, верхних и нижних частичных пределов последовательностей.

.     Опубликовано: