Методы решения физико-математических задач

Предел последовательности (свойства и теоремы в картинках)

Предел последовательности в картинках
Приводятся основные свойства и теоремы пределов последовательностей в сжатом виде – в виде изображений. Каждая картинка снабжена заголовком и ссылкой на страницу с подробным изложением теории.

Здесь приводятся главные картинки раздела «Предел последовательности». На этих изображениях, в кратком виде представлены главные содержания страниц раздела. На многих из них даются свойства и теоремы, относящиеся к пределам последовательностей. Снизу от каждого изображения имеется заголовок и ссылка на страницу, к которой относится картинка. Просматривая эти картинки, можно освежить в памяти основные свойства и теоремы.

Предел последовательности – основные теоремы и свойстваПредел последовательностиПриводятся формулировки основных теорем и свойств числовых последовательностей, имеющих предел. Содержится определение последовательности и ее предела. Рассмотрены арифметические действия с последовательностями, свойства, связанные с неравенствами, критерии сходимости, свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. Определение числовой последовательностиОбозначения числовой последовательностиПриводится определение числовой последовательности. Рассмотрены примеры неограниченно возрастающих, сходящихся и расходящихся последовательностей. Рассмотрена последовательность, содержащая все рациональные числа. Способ нумерации рациональных чиселСпособ нумерации рациональных чисел Определение конечного предела последовательностиОпределение предела последовательностиПриводится определение конечного предела последовательности. Рассмотрены связанные с этим свойства и эквивалентное определение. Приводится определение, что точка a не является пределом последовательности. Рассмотрены примеры, в которых доказывается существование предела, используя определение. Основные свойства конечных пределов последовательностейОсновные свойства конечных пределов последовательностейПриводятся формулировки и доказательства основных свойств числовых последовательностей, имеющих конечный предел. Среди них: теорема единственности предела, ограниченность сходящейся последовательности, влияние конечного числа элементов на сходимость. Арифметические свойства конечных пределов последовательностейАрифметические свойства конечных пределов последовательностейПриводятся формулировки и доказательства арифметических свойств последовательностей, имеющих конечный предел. Сюда входят предел суммы, разности, произведения и частного числовых последовательностей. Свойства пределов последовательностей, связанных неравенствамиСвойства пределов последовательностей, связанные с неравенствамиПриводятся формулировки и доказательства теорем и свойств числовых последовательностей, элементы которых связаны неравенствами. Предполагается, что последовательности имеют конечные пределы. Теорема о двух милиционерахТеорема о двух милиционерахПриводится формулировка и доказательство теоремы о зажатой последовательности, которую в шутку называют «Теоремой о двух милиционерах». Рассмотрены примеры применения этой теоремы. Бесконечно малые последовательности – определение и свойстваСвойства бесконечно малых последовательностейПриводится определение бесконечно малой последовательности. Она обладает свойствами сходящихся последовательностей. Также имеются свойства, характерные только для последовательностей с пределом равным нулю. Приводятся доказательства таких свойств. Рассмотрен пример, в котором нужно доказать, что последовательность бесконечно малая. Определение бесконечно большой последовательностиОпределение бесконечно большой последовательностиПриводится определение бесконечно большой последовательности. Рассмотрены понятия окрестностей бесконечно удаленных точек. Дано универсальное определение предела последовательности, которое относится как к конечным, так и к бесконечным пределам. Рассмотрены примеры применения определения бесконечно большой последовательности. Свойства бесконечно больших последовательностейСвойства бесконечно больших последовательностейПриводятся формулировки и доказательство свойств бесконечно больших последовательностей. Часть этих свойств связана с бесконечно малыми последовательностями. Бесконечно удаленные точки и их свойстваСвойства бесконечно удаленных точекПриводятся определения бесконечно удаленных точек – бесконечности без знака, плюс и минус бесконечности. Дается определение расширенной числовой прямой. Представлены свойства бесконечно удаленных точек и рассмотрен вопрос о доказательстве этих свойств. Приводятся примеры неопределенных операций. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательностиТеорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательностиПриводится доказательство теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности. Рассмотрены случаи ограниченной и неограниченной последовательностей. Рассмотрен пример, в котором нужно, применяя теорему Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности и найти ее предел. Число e – его смысл и доказательство сходимости последовательностиОпределение числа e и его применениеОпределение числа e как предела последовательности. Раскрывается смысл и значение числа e в математическом анализе. Приводится доказательство сходимости последовательности к конечному числу тремя способами: разложением в бином Ньютона, используя неравенство Бернулли и применяя вспомогательную последовательность. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши – Кантора)Лемма о вложенных отрезках.Определение вложенных отрезков. Доказательство леммы Коши – Кантора о вложенных отрезках. Теорема Больцано – ВейерштрассаТеорема Больцано - ВейерштрассаПриводится доказательство теоремы Больцано - Вейерштрасса. Для этого применяется лемма о вложенных отрезках. Критерий Коши сходимости последовательностиКритерий Коши сходимости последовательностиПриводятся две формулировки условия Коши для последовательности. Доказательство критерия Коши сходимости последовательности и пример его применения. Подпоследовательности и частичные пределы последовательностейЧастичный предел последовательностиДаны определения подпоследовательности, частичного предела последовательности, верхнего и нижнего частичного предела. Представлены формулировки и доказательства теорем и свойств подпоследовательностей, верхних и нижних частичных пределов последовательностей.
Меню