Методы решения физико-математических задач

Производная функции в точке (в картинках)

Производная функции в точке в картинках
Приводятся определения, теоремы, свойства и методы вычислений производной функции в точке в сжатом виде – в виде изображений. Каждая картинка снабжена ссылкой на страницу с подробным изложением материала.

Далее приводятся главные картинки раздела «Производная функции в точке». На них изображены основные понятия и формулы дифференцирования. Каждое изображение снабжено заголовком, описанием и ссылкой на страницу с подробным изложением материала. Пройдя по этой ссылке можно посмотреть доказательство выбранного правила и примеры его применения. Также, просматривая картинки, можно освежить в памяти основные понятия, связанные с вычислением производных.

Определение производной и основные понятия

Производная функции в точке – определения, теоремы и свойства
Определение производной функции
Приводятся формулировки определений, теорем и свойств производной функции одной переменной в точке. Даны методы вычислений производных и формулы производных элементарных функций. Рассмотрены производные и дифференциалы высших порядков.
Примеры решений производных
Примеры решений производных
Страница содержит ссылки на 51 пример решений производных.
Физический смысл производной
Определение мгновенной скорости движения точки
На примере из механики показывается, что мгновенная скорость движения точки равна производной координаты этой точки по времени. Ускорение равно производной скорости по времени, или второй производной ее координаты по времени. Аналогичным образом, мгновенная скорость изменения любой физической величины равна производной этой величины по времени.
Определение производной функции в точке
Определения производной функции и лемма об односторонних производных
Определение производной функции в точке. Примеры вычисления производных, используя определение. Односторонние производные справа и слева. Лемма об односторонних производных.
Дифференцируемые функции в точке – определение и свойства
Свойства дифференцируемой в точке функции
Определение дифференцируемой функции одной переменной в точке. Важность понятия дифференцируемости для функций, зависящих от многих переменных. Доказательство теорем: об эквивалентности дифференцируемости и существованием производной; о непрерывности дифференцируемой функции.
Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной
Проведен анализ геометрического смысла производной. Выявлено, что производная функции в точке связана с углом наклона касательной, проведенной к графику функции в рассматриваемой точке. Дано определение касательной, и получено ее уравнение. Рассмотрены случаи, когда производная равна бесконечности.
Касательная и нормаль к графику функции
Касательная, нормаль, подкасательная TP и поднормаль PN к графику функции
Уравнения касательной и нормали к графику функции в точке. Определения, подкасательной и поднормали. Угол между двумя кривыми. Полезные формулы аналитической геометрии. Примеры решения задач на составления уравнений касательной и нормали, и на вычисление угла между кривыми.
Первый дифференциал функции в точке
Определение дифференциала функции.
Определение первого дифференциала функции, его суть и геометрический смысл. Доказательство арифметических свойств и инвариантности формы первого дифференциала.
Таблица производных элементарных функций
Таблица производных элементарных функций
Представлена таблица производных элементарных функций для обучающихся студентов. Приводится таблица производных сложных функций. Даны основные правила дифференцирования.

Методы вычисления производных

Правила дифференцирования - основные формулы вычисления производных
Формулы вычисления производных
В кратком виде даны правила дифференцирования (формулы вычисления производных). Ссылки на страницы с подробным описанием выбранного правила.
Производная постоянной функции (константы)
Производная постоянной
Производная постоянной (константы). Вынесение постоянной за знак производной. Примеры вычисления производных. Пример вычисления производной от функции, составленной из корней.
Производная суммы и разности функций
Производная суммы и разности функций
Приведена формула производной суммы и разности функций. Приведено доказательство и подробно разобраны примеры применения этой формулы.
Производная произведения двух функций
Производная произведения двух функций
Формула производной произведения двух функций. Доказательство и подробно разобранные примеры применения этой формулы.
Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций
Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций
Приводится формула Лейбница для вычисления n-й производной произведения двух функций. Дано ее доказательство двумя способами. Рассмотрен пример вычисления производной n-го порядка.
Производная дроби из двух функций
Производная дроби из двух функций
Формула производной дроби из двух функций. Доказательство двумя способами. Подробно разобранные примеры дифференцирования частного.
Доказательство формулы производной сложной функции
Производная сложной функции
Приводится доказательство формулы производной сложной функции. Подробно рассмотрены случаи, когда сложная функция зависит от одной и двух переменных. Производится обобщение на случай произвольного числа переменных.
Примеры применения формулы производной сложной функции
Примеры применения формулы производной сложной функции
Приводятся примеры вычисления производных с применением формулы производной сложной функции.
Теорема о производной обратной функции
Производная обратной функции с примером
Приводится доказательство теоремы о производной обратной функции. Приводятся примеры применения этой теоремы.
Вычисление производных с помощью логарифмической производной
Логарифмическая производная
Приводятся примеры вычисления производных с помощью логарифмической производной.
Вычисление производных степенно-показательных функций
Производная степенно-показательной функции
Определение степенно-показательной функции. Вывод формулы для вычисления ее производной. Подробно разобраны примеры вычисления производных степенно-показательных функций.
Примеры вычисления производных высших порядков явных функций
Производные высших порядков
Рассмотрены примеры вычисления производных высших порядков явных функций. Даны полезные формулы для вычисления производных n-го порядка.
Производная функции, заданной параметрическим способом
Производная параметрической функции
Формула производной функции, заданной параметрическим способом. Доказательство и примеры применения этой формулы. Примеры вычисления производных первого, второго и третьего порядка.
Производная функции, заданной неявно
Производная неявной функции первого, второго и третьего порядка
Формула производной функции, заданной неявно. Доказательство и примеры применения этой формулы. Примеры вычисления производных первого, второго и третьего порядка.

Производные элементарных функций (вывод формул)

Производные основных элементарных функций и их вывод
Производные элементарных функций
Представлены производные основных элементарных функций и ссылки на страницы с их выводом. Даны формулы производных высших порядков.
Производные элементарных функций. Доказательство теоремы
Производные элементарных функций
Доказательство теоремы о производных элементарных функций. Доказательство основывается на методах вычисления пределов функций и правилах дифференцирования.
Производная натурального логарифма и логарифма по основанию a
Производная логарифма
Доказательство и вывод формул производной натурального логарифма и логарифма по основанию a. Примеры вычисления производных от ln 2x, ln 3x и ln nx. Доказательство формулы производной логарифма n-го порядка методом математической индукции.
Производная e в степени x и показательной функции
Производная e в степени x и показательной функции
Доказательство и вывод формул производной экспоненты (e в степени x) и показательной функции (a в степени x). Примеры вычисления производных от e^2x, e^3x и e^nx. Формулы производных высших порядков.
Производная степенной функции (степени и корни)
Производная x в степени a и корня из x. Производная степенной функции n-го порядка
Вывод формулы производной степенной функции (x в степени a). Рассмотрены производные от корней из x. Формула производной степенной функции высшего порядка. Примеры вычисления производных.
Производные тригонометрических функций
Производные тригонометрических функций
Представлены производные тригонометрических функций. Доказательство и вывод формул. Производные высшего порядка для синуса и косинуса.
Производная синуса: (sin x)′
Производная синуса
Представлено доказательство и вывод формулы для производной синуса - sin(x). Примеры вычисления производных от sin 2x, синуса в квадрате и кубе. Вывод формулы для производной синуса n-го порядка.
Производная косинуса: (cos x)′
Производная косинуса
Представлено доказательство и вывод формулы для производной косинуса - cos(x). Примеры вычисления производных от cos 2x, cos 3x, cos nx, косинуса в квадрате, в кубе и в степени n. Формула производной косинуса n-го порядка.
Производная тангенса: (tg x)′
Производная тангенса
Представлен вывод формулы для производной тангенса - tg(x). Примеры вычисления производных от tg 2x, tg 3x и tg nx. Производная тангенса n-го порядка в виде многочлена по степеням tg(x).
Производная котангенса: (ctg x)′
Производная котангенса
Представлен вывод формулы для производной котангенса - ctg(x). Дана формула производной котангенса n-го порядка в виде многочлена по степеням ctg(x). Коэффициенты этого многочлена связаны рекуррентным соотношением.
Вывод производных обратных тригонометрических функций
Производные обратных тригонометрических функций
Представлены производные обратных тригонометрических функций и вывод их формул. Также даны выражения производных высших порядков. Ссылки на страницы с более подробным изложением вывода формул.
Вывод производных арксинуса (arcsin x)′ и арккосинуса (arccos x)′
Производные арксинуса и арккосинуса
Представлен вывод производных первого порядка арксинуса (arcsin x)′ и арккосинуса (arccos x)′. Для каждой из функций, вывод дан двумя способами.
Вывод производных высших порядков арксинуса (arcsin x) и арккосинуса (arccos x)
Производные высших порядков арксинуса и арккосинуса
Представлен вывод производных высших порядков арксинуса (arcsin x). Формулы производных арксинуса второго, третьего, четвертого и пятого порядка. Производная n-го порядка выражается через многочлен и корень. Даны уравнения для многочленов и вывод значений их коэффициентов. Выражение производной n-го порядка арккосинуса через производную арксинуса.
Вывод производных арктангенса (arctg x)′ и арккотангенса (arcctg x)′
Производные арктангенса и арккотангенса
Представлен вывод производных первого порядка арктангенса (arctg x)′ и арккотангенса (arcctg x)′. Для каждой из функций, вывод дан двумя способами.
Вывод производных высших порядков арктангенса (arctg x) и арккотангенса (arcctg x)
Производные высших порядков арктангенса и арккотангенса
Представлен вывод производных высших порядков арктангенса (arctg x) и арккотангенса (arcctg x). Производные даны в двух видах - выраженные через независимую переменную x и через арктангенс (арккотангенс). Вычислены производные от второго до пятого порядка.
Меню