Непрерывность функций – содержание раздела

Приводятся определения и формулировки основных теорем и свойств непрерывной функции одной переменной. Рассмотрены свойства непрерывной функции в точке, на отрезке, предел и непрерывность сложной функции, классификация точек разрыва. Даны определения и теоремы, связанные с обратной функцией. Изложены свойства элементарных функций.

Приводится определение непрерывности функции в точке. Рассмотрены эквивалентные определения по Гейне, по Коши и в терминах приращений. Определение односторонней непрерывности на концах отрезка. Формулировка отсутствия непрерывности. Разобраны примеры, в которых требуется доказать непрерывность функции, используя определения по Гейне и по Коши.

Приводятся доказательства основных свойств и теорем, непрерывных в точке функций. Сюда входят: арифметические свойства, теорема об ограниченности, теорема о сохранении знака, свойство односторонней непрерывности.

Рассмотрены следующие теоремы: теорема о непрерывности сложной функции; теорема о пределе непрерывной функции от функции; теорема о пределе сложной функции. Доказательства этих теорем.

Определения точек разрыва первого и второго рода. Основные факты, используемые при исследовании функций на непрерывность. Примеры решения задач, в которых требуется найти точки разрыва и определить вид разрыва.

Определение и формулировки основных теорем для функций, непрерывных на отрезке. Сюда входят: первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции; вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции; теорема Больцано – Коши о промежуточном значении.

Доказательства первой и второй теорем Вейерштрасса об ограниченности и достижении максимума и минимума непрерывной на отрезке функции.

Формулировка и доказательство теоремы Больцано – Коши о промежуточном значении функции, непрерывной на отрезке .

Определение обратной функции и ее свойства: теорема о взаимной монотонности прямой и обратной функций; симметрия графиков прямой и обратной функций; теоремы о существовании и непрерывности обратной функции для функции, строго монотонной на отрезке, интервале и полуинтервале. Примеры обратных функций. Пример решения задачи.

Формулировка и доказательство теоремы о существовании и монотонности обратной функции.

Доказательство свойства симметрии графиков прямой и обратной функций. Примеры графиков прямых и обратных функций: параболы и корни, степенные функция и логарифмы, тригонометрические функции и обратные к ним. Применение операции сужения функции.

Доказательство теорем о существовании и непрерывности обратной функции. Рассмотрены три теоремы для строго монотонной функции на отрезке, интервале и полуинтервале.

Дано неравенство Бернулли и его следствие, которое называется леммой Бернулли. Неравенство приводится в двух формах. Приводятся доказательства неравенств и леммы.

Определение и свойства показательной функции на множестве натуральных, целых и рациональных чисел. Определение на множестве действительных чисел посредством предела последовательности. Теорема о свойствах показательной функции.

Доказательство теоремы о свойствах показательной функции на множестве действительных чисел. Свойства включают: область определения, множество значений, непрерывность, формулы с показательной функцией.

Дано определение логарифма с основанием a как функции, обратной к показательной. Основываясь на свойствах показательной функции и теореме об обратной функции, дается вывод свойств логарифма.

Дано определение степенной функции. Показано, что ее можно представить как сложную, составленную из логарифмической и показательной функций. Основываясь на их свойствах, дается доказательство непрерывности и вывод свойств степенной функции.

Дано доказательство непрерывности тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса; а также обратных к ним функций: арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.