Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Теорема Больцано – Вейерштрасса

Теорема Больцано - Вейерштрасса
Приводится доказательство теоремы Больцано - Вейерштрасса. Для этого применяется лемма о вложенных отрезках.

Теорема Больцано – Вейерштрасса

Из любой ограниченной последовательности действительных чисел можно выделить сходящуюся подпоследовательность. А из любой неограниченной последовательности – бесконечно большую подпоследовательность, сходящуюся к или к .

Теорему Больцано – Вейерштрасса можно сформулировать и так.

Из любой последовательности действительных чисел можно выделить подпоследовательность, сходящуюся или к конечному числу, или к или к .

Доказательство первой части теоремы

Для доказательства первой части теоремы мы применим лемму о вложенных отрезках.

Пусть последовательность ограничена. Это означает, что существует положительное число M, так что для всех n,
.
То есть все члены последовательности принадлежат отрезку , который мы обозначим как . Здесь . Длина первого отрезка . В качестве первого элемента подпоследовательности возьмем любой элемент последовательности . Обозначим его как .

Разделим отрезок пополам. Если в его правой половине содержится бесконечное число элементов последовательности , то следующим отрезком возьмем правую половину . В противном случае возьмем левую половину. В результате мы получим второй отрезок , содержащий бесконечное число элементов последовательности. Длина этого отрезка . Здесь , если мы взяли правую половину ; и – если левую. В качестве второго элемента подпоследовательности возьмем любой элемент последовательности, принадлежащий второму отрезку с номером большим, чем n1. Обозначим его как ().

Этим способом повторяем процесс деления отрезков. Делим отрезок пополам. Если в его правой половине содержится бесконечное число элементов последовательности, то следующим отрезком возьмем правую половину . В противном случае возьмем левую половину. В результате мы получим отрезок , содержащий бесконечное число элементов последовательности. Длина этого отрезка . В качестве элемента подпоследовательности возьмем любой элемент последовательности, принадлежащий отрезку с номером большим чем nk.

В результате мы получаем подпоследовательность и систему вложенных отрезков
.
Причем каждый элемент подпоследовательности принадлежит соответствующему отрезку:
.

Поскольку длины отрезков , при , стремятся к нулю, то согласно лемме о вложенных отрезках, существует единственная точка c, принадлежащая всем отрезкам.

Покажем, что эта точка является пределом подпоследовательности:
.
Действительно, поскольку точки и c принадлежат отрезку длины , то
.
Поскольку , то . Отсюда
.

Первая часть теоремы доказана.

Доказательство второй части теоремы

Пусть последовательность неограниченна. Это означает, что для любого числа M, существует такое n, что
.

Сначала рассмотрим случай, когда последовательность неограниченна справа. То есть для любого M > 0, существует такое n, что
.

В качестве первого элемента подпоследовательности возьмем любой элемент последовательности , больший единицы:
.
В качестве второго элемента подпоследовательности возьмем любой элемент последовательности, больший двойки:
,
и чтобы .
И так далее. В качестве k-го элемента подпоследовательности возьмем любой элемент
,
причем .
В результате получим подпоследовательность, каждый элемент которой удовлетворяет неравенству:
.
Отсюда следует, что
.
То есть неравенство выполняется для всех . Изменим обозначения. Заменим натуральное число k на NM, а m на k:
(1)     при  .

Покажем, что предел построенной нами подпоследовательности равен . Согласно определению бесконечно большой последовательности, нам нужно показать, что для любого числа M существует такое натуральное число NM, зависящее от M, что для всех натуральных  k > NM  выполняется неравенство  .

Пусть мы имеем произвольное действительное число M. Введем его в неравенство (1):
  при  .
Отсюда следует, что
  при    и  .
Таким образом, если, в качестве NM, мы возьмем любое натуральное число, большее чем M:
,
то
  при  .
Это означает, что
.

Теперь рассмотрим случай, когда последовательность справа ограничена. Поскольку она неограниченна, то она должна быть неограниченной слева. В этом случае повторяем рассуждения с небольшими поправками.

Выбираем подпоследовательность, чтобы ее элементы удовлетворяли неравенствам:
.
Выбираем произвольное число M. В качестве NM, мы возьмем любое натуральное число большее, чем M. Тогда для любого действительного числа M существует такое натуральное число NM, так что для всех выполняется неравенство
.
Это означает, что
.

Теорема доказана.

.     Опубликовано: