Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Арифметические свойства конечных пределов последовательностей

Арифметические свойства конечных пределов последовательностей
Приводятся формулировки и доказательства арифметических свойств последовательностей, имеющих конечный предел. Сюда входят предел суммы, разности, произведения и частного числовых последовательностей.

Пусть существуют пределы   и    числовых последовательностей и . Тогда предел суммы, разности и произведения последовательностей равен, соответственно, сумме, разности и произведению их пределов. Предел частного последовательностей равен частному пределов при условии, что  b ≠ 0  и    для всех n:
(1)   ;
(2)   ;
(3)   ;
(4)   ,   если и .
Здесь C – постоянная, то есть заданное число.

Если , то .

Формулировки всех определений, теорем и свойств сходящихся последовательностей собраны на странице
Предел последовательности – основные теоремы и свойства.

Доказательство арифметических свойств

При доказательстве свойств, мы будем использовать определение предела последовательности:
.

Поскольку существует предел , то имеется функция такая, что для любого положительного числа ε1 выполняется система неравенств:
(5)   .

Поскольку существует предел , то имеется функция такая, что для любого положительного числа ε2 выполняется система неравенств:
(6)   .

Предел суммы и разности числовых последовательностей

Пусть существуют конечные пределы   и   последовательностей и . Тогда предел суммы и разности последовательностей равен сумме и разности их пределов:
(1)   .

Доказательство

Чтобы доказать свойство суммы и разности (1), нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняются неравенства:
(1.1)   .
При этом мы имеем функции и , при которых выполняются неравенства (5) и (6), для любых положительных и .

Воспользуемся известным неравенством
.
Преобразуем (1.1) и применим (5) и (6):
.
Последнее неравенство справедливо при   и  . Положим . Тогда, при   и  ,
.
Пусть, при заданном ε,   есть наибольшее из чисел   и  . Тогда
при .

То есть мы нашли такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняются неравенства:
(1.1)   .
Это и означает, что число a ± b является пределом последовательности .
Свойство доказано.

Предел произведения числовых последовательностей

Пусть существуют конечные пределы   и   числовых последовательностей и . Тогда предел произведения последовательностей равен произведению их пределов:
(2)   .

Доказательство

Для доказательства свойства произведения (2), нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняются неравенства
(2.1)   .
При этом мы имеем функции и , при которых, для любых положительных и , выполняются неравенства (5) и (6):
(5)   ;
(6)   .

Преобразуем (2.1), применяя свойства неравенств:

.
Поскольку последовательность имеет предел, то она ограничена некоторым положительным числом My: (см. Основные свойства пределов последовательностей). Тогда
.
Положим . Тогда при   и  ,
.
Пусть, при заданном ε,   есть наибольшее из чисел   и  . Тогда
при .

То есть мы нашли такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняются неравенства:
(2.1)   .
Это и означает, что число    является пределом последовательности .
Свойство доказано.

Вынесение постоянной за знак предела

Пусть существует конечный предел   числовой последовательности . И пусть последовательность образована из , умножением ее на постоянное число C. Тогда постоянную C можно выносить за знак предела:
(3)   .

Доказательство

Это свойство является следствием свойства произведения последовательностей. Для доказательства рассмотрим последовательность, все члены которой равны числу C: . Предел этой последовательности равен этому числу:

(см. Основные свойства пределов последовательностей).

Применим свойство произведения последовательностей:
.
Свойство доказано.

Предел частного числовых последовательностей

Пусть существуют конечные пределы   и   числовых последовательностей и . Причем   и    для всех n. Тогда предел частного последовательностей равен частному их пределов:
(4)   .

Доказательство

Для доказательства свойства частного (4), нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного , выполняются неравенства
(4.1)   .
При этом мы имеем функции и , при которых, для любых положительных и , выполняются неравенства (5) и (6):
(5)   ;
(6)   .

Преобразуем (4.1), применяя свойства неравенств:

.
Тем самым мы получили следующую оценку:
(4.2)   .

Сделаем оценку для . Подставим в (6) :
.
Отсюда видно, что
  при ,
где . Тогда
(4.3)     при .

Подставим (5), (6) и (4.3) в (4.2):
.
Это неравенство выполняется при одновременном выполнении трех неравенств:
.
Подставим ,   . И пусть обозначает максимальное из чисел . Тогда
.

То есть мы нашли такую функцию
,
при которой, для любого положительного , выполняются неравенства
(4.1)   .
Это и означает, что число a/b является пределом последовательности .
Свойство доказано.

Предел последовательности из элементов, взятых по модулю

Пусть существует конечный предел   числовой последовательности . И пусть последовательность составлена из элементов , взятых по модулю. Тогда
.

Доказательство

Для доказательства этого свойства, нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного , выполняются неравенства
.
При этом у нас есть функция , при которой выполняются неравенства (5):
(5)   .

Воспользуемся известным неравенством:

и применим (5):
.
Последнее выполняется при .
То есть мы можем взять .

Итак, для любого ,
  при .
Свойство доказано.

Опубликовано: