Методы решения физико-математических задач

Основные свойства предела функции

Основные свойства предела функции
Приводится доказательство основных теорем и свойств предела функции: теоремы об ограниченности функции; предел постоянной; свойства, связанные с неравенствами.

Формулировки свойств

Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей окрестности точки x0. Точка x0 может являться конечным числом или одним из символов бесконечности: . Окрестность может быть как двусторонней для двусторонних пределов, так и односторонней для односторонних.

Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела

Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x1, x2, x3, ... xn, то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x0.
Доказательство ⇓

Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел

Если существует конечный предел , то существует такая проколотая окрестность точки x0, на которой функция f(x) ограничена:
.
Доказательство ⇓

Теорема об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел

Пусть функция f(x) имеет в точке x0 конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c из интервала , существует такая проколотая окрестность точки x0, что для всех x, принадлежащих этой окрестности: ,
,   если ;
,   если .
Доказательство ⇓

Свойство о пределе постоянной функции

Если, на некоторой проколотой окрестности точки ,   – постоянная, то .
Доказательство ⇓

Свойство о равенстве односторонних пределов

Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке равные односторонние пределы.
Доказательство ⇓

Свойство неравенств

Если существуют конечные пределы   и   и на некоторой проколотой окрестности точки x0
,
то .
Доказательство ⇓

Заметим, что если функции удовлетворяют строгому неравенству , то их пределы все равно связаны нестрогим неравенством .

Свойство неравенств бесконечно больших функций

Если , и на некоторой окрестности точки
,
то .
Доказательство
В частности, если на некоторой окрестности точки
,
то если , то и ;
если , то и .

Теорема о промежуточной функции

Если на некоторой проколотой окрестности точки x0:
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
, то существует предел функции :
.
Доказательство ⇓

Доказательство свойств

Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела

Все свойства ⇑ Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x1, x2, x3, ... xn, то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x0.

Доказательство

Это следует из того, что в определение предела функции входят только значения независимой переменной из произвольной проколотой окрестности точки x0. Значение функции в самой точке x0 полностью исключается из рассмотрения. Функция может быть определена в этой точке, или не определена – на существование и величину предела в точке x0 это никакого влияния оказать не может.

Таким образом, если одна из точек, в которых производятся изменения значений функции, совпадает с x0, то это не может оказать влияния на величину или существование предела. Но, поскольку проколотая окрестность точки x0 выбирается произвольно, то мы всегда можем сузить ее границы, чтобы в нее не попали остальные точки, поскольку их число конечно. Поэтому, при вычислении предела, значения функции в конечном числе точек, не оказывают влияния на величину или существование предела в произвольной точке.

Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел

Все свойства ⇑ Если существует конечный предел , то существует такая проколотая окрестность точки x0, на которой функция f(x) ограничена:
.

Доказательство

Пусть существует конечный предел
.
Воспользуемся определением предела функции по Коши.
Согласно этому определению, для любой окрестности точки a, существует такая проколотая окрестность точки , что для всех x, принадлежащих этой проколотой окрестности: , значения функции принадлежат окрестности точки a:
.

Поскольку число a конечно, то в качестве окрестности точки a возьмем ее ε - окрестность с :   .
Тогда существует проколотая окрестность точки , так что для всех x, принадлежащих этой окрестности,
при .
Выполняем преобразования:
;
;
;
.

Итак, мы показали, что существует окрестность , для которой
при ,
где .

Теорема доказана.

Теорема об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел

Все свойства ⇑ Пусть функция f(x) имеет в точке x0 конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c из интервала , существует такая проколотая окрестность точки x0, что для всех x, принадлежащих этой окрестности: ,
,   если ;
,   если .

Доказательство

Пусть существует конечный предел, отличный от нуля
.
Воспользуемся определением предела функции по Коши.
Согласно этому определению, для любой окрестности точки a, существует такая проколотая окрестность точки , что для всех x, принадлежащих этой проколотой окрестности: , значения функции принадлежат окрестности точки a:
.

В качестве окрестности точки a возьмем ее ε - окрестность:
.
Поскольку ε есть произвольное положительное число, то положим . Тогда существует проколотая окрестность точки , так что для всех x, принадлежащих этой окрестности,
  при  .
Раскрываем знак модуля и выполняем преобразования:
;
.
При ,  . Тогда
.
При ,  . Тогда
.

Теорема доказана.

Свойство о пределе постоянной функции

Все свойства ⇑ Если, на некоторой проколотой окрестности точки ,   – постоянная, то .

Доказательство

Пусть, на некоторой проколотой окрестности точки , функция является постоянной:
  при  .
Тогда в этой окрестности, для любого положительного ,
.

То есть для любого , существует такая проколотая окрестность точки , совпадающая с , для всех точек которой
  при  .
Согласно определению Коши это означает, что
.

Свойство доказано.

Свойство о равенстве односторонних пределов

Все свойства ⇑ Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке равные односторонние пределы.

Доказательство

Пусть существует конечный или бесконечный предел функции f в конечной или бесконечно удаленной точке :
.
Покажем, что существуют односторонние пределы, равные a.

Воспользуемся определением предела функции по Коши с использованием произвольных окрестностей. Согласно этому определению, для любой окрестности точки a, существует такая проколотая окрестность точки , на которой определена и
  для всех  .
Но двустороннюю проколотую окрестность можно представить как объединение левой и правой проколотых окрестностей. Тогда
  для всех  ;
  для всех  .
Это означает, что существуют односторонние равные пределы:
.
Примечание. Для бесконечно удаленной точки , под символами и мы понимаем и , соответственно.

Пусть теперь существуют равные односторонние пределы. Поскольку существует предел слева, то для любой окрестности точки a, существует такая проколотая левая окрестность точки , на которой определена и
  для всех  .
Поскольку существует предел справа, то для той же окрестности точки a, существует такая проколотая правая окрестность точки , на которой определена и
  для всех  .
Объединив окрестности и , получим проколотую двустороннюю, или просто проколотую окрестность точки :
.
Тогда, для выбранной нами произвольной окрестности ,
  для всех  .
Это означает, что
.

Свойство доказано.

Свойство неравенств

Все свойства ⇑ Если существуют конечные пределы   и   и на некоторой проколотой окрестности точки x0
,
то .

Доказательство

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к : . И пусть ее элементы принадлежат проколотой окрестности точки , на которой выполняется неравенство
.
Рассмотрим последовательности и . Поскольку   и  , то согласно определению предела функции по Гейне, эти последовательности имеют пределы:
,   .
Поскольку , то их элементы связаны неравенствами:
.
Тогда, согласно свойству неравенств,
.
Отсюда
.

Свойство доказано.

Теорема о промежуточной функции

Все свойства ⇑ Если на некоторой проколотой окрестности точки x0:
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
, то существует предел функции :
.

Доказательство

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к : . И пусть ее элементы принадлежат проколотой окрестности точки , на которой выполняются неравенства
(5.1)   .

Рассмотрим последовательности , и . По условию теоремы,
.
Тогда, согласно определению предела функции по Гейне, последовательности и имеют пределы:
,   .
В силу (5.1), элементы последовательностей связаны неравенствами:
.
Тогда, согласно теореме о промежуточных последовательностях, существует предел последовательности :
.

Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат некоторой окрестности этой точки, то, согласно определению предела функции по Гейне,
.

Теорема доказана.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

.     Опубликовано:   Изменено: