Основные свойства предела функции

Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x₁, x₂, x₃, ... x_n,
то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x₀.
Доказательство

Если существует конечный предел ,
то существует такая проколотая окрестность точки x₀, в которой функция f(x) ограничена:
.
Доказательство

Пусть функция f(x) имеет в точке x₀ конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c из интервала , существует такая проколотая окрестность точки x₀, что для всех x, принадлежащих этой окрестности: ,
,   если ;
,   если .
Доказательство

Если в некоторой проколотой окрестности точки ,   – постоянная,
то .
Доказательство

Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда
она имеет в этой точке равные односторонние пределы.
Доказательство

Пусть функции и определены на некоторой проколотой окрестности точки , которая может быть двусторонней или односторонней.
Пусть на этой окрестности существуют конечные пределы и , где означает для двусторонней, для правой и для левой окрестности.
И пусть при .
Тогда .
Доказательство

Если , и в некоторой проколотой окрестности точки
,
то .
Доказательство
В частности, если в некоторой проколотой окрестности точки
,
то если , то и ;
если , то и .

Если в некоторой проколотой окрестности конечной, или бесконечно удаленной точки x₀, выполняются неравенства:
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
,
то существует предел функции :
.
Доказательство

Пусть существуют конечные пределы функций и :
  и  ,
где – конечное число или бесконечно удаленная точка. Если эти пределы связаны неравенством ,
то существует такая проколотая окрестность точки , в которой
.
Доказательство ⇓

Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела

Все свойства Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x₁, x₂, x₃, ... x_n,
то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x₀.

Это следует из того, что в определение предела функции входят только значения независимой переменной из произвольной проколотой окрестности точки x₀. Значение функции в самой точке x₀ полностью исключается из рассмотрения. Функция может быть определена в этой точке, или не определена – на существование и величину предела в точке x₀ это никакого влияния оказать не может.

Таким образом, если одна из точек, в которых производятся изменения значений функции, совпадает с x₀, то это не может оказать влияния на величину или существование предела. Но, поскольку проколотая окрестность точки x₀ выбирается произвольно, то мы всегда можем сузить ее границы, чтобы в нее не попали остальные точки, поскольку их число конечно. Поэтому, при вычислении предела, значения функции в конечном числе точек, не оказывают влияния на величину или существование предела в произвольной точке.

Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел

Все свойства Если существует конечный предел ,
то существует такая проколотая окрестность точки x₀, в которой функция f(x) ограничена:
.

Пусть существует конечный предел
.
Воспользуемся определением предела функции по Коши.
Согласно этому определению, для любой окрестности точки a, существует такая проколотая окрестность точки , что для всех x, принадлежащих этой проколотой окрестности: , значения функции принадлежат окрестности точки a:
.

Поскольку число a конечно, то в качестве окрестности точки a возьмем ее ε - окрестность с :   .
Тогда существует проколотая окрестность точки , так что для всех x, принадлежащих этой окрестности,
при .
Выполняем преобразования:
;
;
;
.

Итак, мы показали, что существует окрестность , для которой
при ,
где .

Теорема доказана.

Теорема об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел

Все свойства Пусть функция f(x) имеет в точке x₀ конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c из интервала , существует такая проколотая окрестность точки x₀, что для всех x, принадлежащих этой окрестности: ,
,   если ;
,   если .

Пусть существует конечный предел, отличный от нуля
.
Воспользуемся определением предела функции по Коши.
Согласно этому определению, для любой окрестности точки a, существует такая проколотая окрестность точки , что для всех x, принадлежащих этой проколотой окрестности: , значения функции принадлежат окрестности точки a:
.

В качестве окрестности точки a возьмем ее ε - окрестность:
.
Поскольку ε есть произвольное положительное число, то положим . Тогда существует проколотая окрестность точки , так что для всех x, принадлежащих этой окрестности,
  при  .
Раскрываем знак модуля и выполняем преобразования:
;
.
При ,  . Тогда
.
При ,  . Тогда
.

Теорема доказана.

Теорема о пределе постоянной функции

Все свойства Если в некоторой проколотой окрестности точки ,   – постоянная, то
.

Пусть, на некоторой проколотой окрестности точки , функция является постоянной:
  при  .
Тогда в этой окрестности, для любого положительного ,
.

То есть для любого , существует такая проколотая окрестность точки , совпадающая с , для всех точек которой
  при  .
Согласно определению Коши это означает, что
.

Свойство доказано.

Теорема об односторонних пределах

Все свойства Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда
она имеет в этой точке равные односторонние пределы.

Пусть существует конечный или бесконечный предел функции f в конечной или бесконечно удаленной точке :
.
Покажем, что существуют односторонние пределы, равные a.

Воспользуемся определением предела функции по Коши с использованием произвольных окрестностей. Согласно этому определению, для любой окрестности точки a, существует такая проколотая окрестность точки , на которой определена и
  для всех  .
Но двустороннюю проколотую окрестность можно представить как объединение левой и правой проколотых окрестностей. Тогда
  для всех  ;
  для всех  .
Это означает, что существуют односторонние равные пределы:
.
Примечание. Для бесконечно удаленной точки , под символами и мы понимаем и , соответственно.

Пусть теперь существуют равные односторонние пределы. Поскольку существует предел слева, то для любой окрестности точки a, существует такая проколотая левая окрестность точки , на которой определена и
  для всех  .
Поскольку существует предел справа, то для той же окрестности точки a, существует такая проколотая правая окрестность точки , на которой определена и
  для всех  .
Объединив окрестности и , получим проколотую двустороннюю, или просто проколотую окрестность точки :
.
Тогда, для выбранной нами произвольной окрестности ,
  для всех  .
Это означает, что
.

Свойство доказано.

Свойство пределов функций, связанных неравенством

Все свойства Пусть функции и определены на некоторой проколотой окрестности точки , которая может быть двусторонней или односторонней.
Пусть на этой окрестности существуют конечные пределы и , где означает для двусторонней, для правой и для левой окрестности.
И пусть при .
Тогда .

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к :
.
И пусть ее элементы принадлежат проколотой окрестности точки , на которой выполняется неравенство
.
Рассмотрим последовательности и . Поскольку существуют пределы
  и  , то согласно определению предела функции по Гейне, эти последовательности имеют пределы:
,   .
Поскольку , то их элементы связаны неравенствами:
.
Тогда, согласно свойству неравенств,
.
Отсюда
.

Свойство доказано.

Теорема о функциях, пределы которых связаны неравенством

Все свойства Пусть существуют конечные пределы функций и :
  и  ,
где – конечное число или бесконечно удаленная точка. Если эти пределы связаны неравенством ,
то существует такая проколотая окрестность точки , в которой
.

Для доказательства будем использовать универсальное определение предела функции по Коши.

Поскольку существует конечный предел , то для любого положительного , существует такая проколотая окрестность точки , в которой значения функции принадлежат ε - окрестности точки :
.

Поскольку существует конечный предел , то для любого положительного , существует такая проколотая окрестность точки , в которой значения функции принадлежат ε - окрестности точки :
.

Возьмем .
И пусть – пересечение окрестностей и :
, где .
Тогда для всех выполняются неравенства:
;
.
Раскроем знаки модуля:
;
.

К первому неравенству прибавим и оставим только правую часть. Ко второму неравенству прибавим и оставим только левую часть. В результате получаем:
;
.
Отсюда следует:
.
Или
при ,
где ,   .

Теорема доказана.