Основные свойства предела функции

Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x₁, x₂, x₃, ... x_n ,
то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x₀ .
Доказательство

Если существует конечный предел lim_x → x0  f (x )  = a , 
то существует такая проколотая окрестность ^○U (x₀ )  точки x₀ , в которой функция f(x) ограничена:
 |  f (x )  |  ≤ M,  x ∈ ^○U (x₀ ) ,   M > 0 . 
Доказательство

Пусть функция f(x) имеет в точке x₀ конечный предел, отличный от нуля:
lim_x → x0  f (x )  = a ≠ 0 . 
Тогда, для любого числа c из интервала 0 < c <  | a |  ,  существует такая проколотая окрестность ^○U (x₀ )  точки x₀ , что для всех x , принадлежащих этой окрестности: x ∈ ^○U (x₀ )  , 
 f (x )  > c ,    если a > 0 ; 
 f (x )  < – c ,    если a < 0 . 
Доказательство

Если в некоторой проколотой окрестности точки x₀  ,   f (x )  = c  – постоянная,
то lim_x → x0  f (x )  = c . 
Доказательство

Функция имеет предел в точке x₀  тогда и только тогда, когда
она имеет в этой точке равные односторонние пределы.
Доказательство

Пусть функции  f ₁ (x )  и  f ₂ (x )  определены на некоторой проколотой окрестности ^○U (^~x₀ )  точки x₀  ,  которая может быть двусторонней или односторонней.
Пусть на этой окрестности существуют конечные пределы lim_{x → ^~x0}  f ₁ (x )  и lim_{x → ^~x0}  f ₂ (x )  ,  где ^~x₀  означает x₀  для двусторонней, x₀  + 0 для правой и x₀  – 0 для левой окрестности.
И пусть  f ₁ (x )  ≤  f ₂ (x )  при x ∈ ^○U (^~x₀ )  . 
Тогда lim_{x → ^~x0}  f ₁ (x )  ≤ lim_{x → ^~x0}  f ₂ (x )  . 
Доказательство

Если lim_x → x0 g (x )  = ∞ ,  и в некоторой проколотой окрестности точки x₀ 
 |  f (x )  |  ≥  | g (x )  |  , 
то lim_x → x0  f (x )  = ∞ . 
Доказательство
В частности, если в некоторой проколотой окрестности точки x₀ 
 f (x )  ≥ g (x )  , 
то если lim_x → x0 g (x )  = + ∞ ,  то и lim_x → x0  f (x )  = + ∞ ; 
если lim_x → x0  f (x )  = – ∞ ,  то и lim_x → x0 g (x )  = – ∞ . 

Если в некоторой проколотой окрестности ^○U (x₀ )  конечной, или бесконечно удаленной точки x₀ , выполняются неравенства:
φ (x )  ≤  f (x )  ≤ ψ (x )  , 
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
lim_x → x0 φ (x )  = lim_x → x0 ψ (x )  = a , 
то существует предел функции  f (x )   : 
lim_x → x0  f (x )  = a . 
Доказательство

Пусть существуют конечные пределы функций  f ₁ (x )  и  f ₂ (x )   : 
lim_x → x0  f ₁ (x )  = a₁   и  lim_x → x0  f ₂ (x )  = a₂  , 
где x₀  – конечное число или бесконечно удаленная точка.
Если эти пределы связаны неравенством a₁  < a₂  , 
то существует такая проколотая окрестность ^○U (x₀ )  точки x₀  ,  в которой
 f ₁ (x )  <  f ₂ (x ) ;  x ∈ ^○U (x₀ )  . 
Доказательство ⇓

Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела

Все свойства Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x₁, x₂, x₃, ... x_n ,
то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x₀ .

Это следует из того, что в определение предела функции входят только значения независимой переменной из произвольной проколотой окрестности точки x₀ . Значение функции в самой точке x₀ полностью исключается из рассмотрения. Функция может быть определена в этой точке, или не определена – на существование и величину предела в точке x₀ это никакого влияния оказать не может.

Таким образом, если одна из точек, в которых производятся изменения значений функции, совпадает с x₀ , то это не может оказать влияния на величину или существование предела. Но, поскольку проколотая окрестность точки x₀ выбирается произвольно, то мы всегда можем сузить ее границы, чтобы в нее не попали остальные точки, поскольку их число конечно. Поэтому, при вычислении предела, значения функции в конечном числе точек, не оказывают влияния на величину или существование предела в произвольной точке.

Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел

Все свойства Если существует конечный предел lim_x → x0  f (x )  = a , 
то существует такая проколотая окрестность ^○U (x₀ )  точки x₀ , в которой функция f(x) ограничена:
 |  f (x )  |  ≤ M,  x ∈ ^○U (x₀ ) ,   M > 0 . 

Пусть существует конечный предел
lim_x → x0  f (x )  = a . 
Воспользуемся определением предела функции по Коши.
Согласно этому определению, для любой окрестности U (a )  точки a , существует такая проколотая окрестность ^○U (x₀ )  точки x₀  ,  что для всех x , принадлежащих этой проколотой окрестности: x ∈ ^○U (x₀ )  ,  значения функции принадлежат окрестности точки a :
 f (x )  ∈ U (a )  . 

Поскольку число a конечно, то в качестве окрестности точки a возьмем ее ε - окрестность с ε = 1  :    U (a, 1 )  = {y :  | y – a |  < 1 }  . 
Тогда существует проколотая окрестность ^○U (x₀ )  точки x₀  ,  так что для всех x , принадлежащих этой окрестности,
 |  f (x )  – a |  < 1 при x ∈ ^○U (x₀ )  . 
Выполняем преобразования:
 |  f (x )  |  –  | a |  ≤  |  f (x )  – a |  < 1 ; 
 |  f (x )  |  –  | a |  < 1 ; 
 |  f (x )  |  < 1 +  | a |  ; 
 |  f (x )  |  ≤ 1 +  | a |  . 

Итак, мы показали, что существует окрестность ^○U (x₀ )  ,  для которой
 |  f (x )  |  ≤ M при x ∈ ^○U (x₀ )  , 
где M = 1 +  | a |  . 

Теорема доказана.

Теорема об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел

Все свойства Пусть функция f(x) имеет в точке x₀ конечный предел, отличный от нуля:
lim_x → x0  f (x )  = a ≠ 0 . 
Тогда, для любого числа c из интервала 0 < c <  | a |  ,  существует такая проколотая окрестность ^○U (x₀ )  точки x₀ , что для всех x , принадлежащих этой окрестности: x ∈ ^○U (x₀ )  , 
 f (x )  > c ,    если a > 0 ; 
 f (x )  < – c ,    если a < 0 . 

Пусть существует конечный предел, отличный от нуля
lim_x → x0  f (x )  = a ≠ 0 . 
Воспользуемся определением предела функции по Коши.
Согласно этому определению, для любой окрестности U (a )  точки a , существует такая проколотая окрестность ^○U (x₀ )  точки x₀  ,  что для всех x , принадлежащих этой проколотой окрестности: x ∈ ^○U (x₀ )  ,  значения функции принадлежат окрестности точки a :
 f (x )  ∈ U (a )  . 

В качестве окрестности точки a возьмем ее ε - окрестность:
U (a, ε )  = {y :  | y – a |  < ε }  . 
Поскольку ε есть произвольное положительное число, то положим ε =  | a |  – c .  Тогда существует проколотая окрестность ^○U (x₀ )  точки x₀  ,  так что для всех x , принадлежащих этой окрестности,
 |  f (x )  – a |  <  | a |  – c  при  x ∈ ^○U (x₀ )  . 
Раскрываем знак модуля и выполняем преобразования:
–  | a |  + c <  f (x )  – a <  | a |  – c ; 
a –  | a |  + c <  f (x )  < a +  | a |  – c . 
При a > 0 ,   a –  | a |  = a – a = 0 .  Тогда
c <  f (x )  . 
При a < 0 ,   a +  | a |  = a – a = 0 .  Тогда
 f (x )  < – c . 

Теорема доказана.

Теорема о пределе постоянной функции

Все свойства Если в некоторой проколотой окрестности точки x₀  ,   f (x )  = c  – постоянная, то
lim_x → x0  f (x )  = c . 

Пусть, на некоторой проколотой окрестности ^○U (x₀ )  точки x₀  ,  функция  f (x )  является постоянной:
 f (x )  = c  при  x ∈ ^○U (x₀ )  . 
Тогда в этой окрестности, для любого положительного ε > 0 , 
 |  f (x )  – c |  =  | c – c |  = 0 < ε . 

То есть для любого ε > 0 ,  существует такая проколотая окрестность точки x₀  ,  совпадающая с ^○U (x₀ )  ,  для всех точек которой
 |  f (x )  – c |  < ε  при  x ∈ ^○U (x₀ )  . 
Согласно определению Коши это означает, что
lim_x → x0  = c . 

Свойство доказано.

Теорема об односторонних пределах

Все свойства Функция имеет предел в точке x₀  тогда и только тогда, когда
она имеет в этой точке равные односторонние пределы.

Пусть существует конечный или бесконечный предел функции f в конечной или бесконечно удаленной точке x₀   : 
lim_x → x0  f (x )  = a . 
Покажем, что существуют односторонние пределы, равные a .

Воспользуемся определением предела функции по Коши с использованием произвольных окрестностей. Согласно этому определению, для любой окрестности U (a )  точки a , существует такая проколотая окрестность ^○U (x₀ )  точки x₀  ,  на которой  f (x )  определена и
 f (x )  ∈ U (a )   для всех  x ∈ ^○U (x₀ )  . 
Но двустороннюю проколотую окрестность ^○U (x₀ )  можно представить как объединение левой ^○U (x₀  – 0 )  и правой ^○U (x₀  + 0 )  проколотых окрестностей. Тогда
 f (x )  ∈ U (a )   для всех  x ∈ ^○U (x₀  – 0 )  ; 
 f (x )  ∈ U (a )   для всех  x ∈ ^○U (x₀  + 0 )  . 
Это означает, что существуют односторонние равные пределы:
lim_{x → x0  – 0}  f (x )  = a;  lim_{x → x0  + 0}  f (x )  = a . 
Примечание. Для бесконечно удаленной точки x₀  = ∞ ,  под символами x₀  – 0 и x₀  + 0 мы понимаем + ∞ и – ∞ ,  соответственно.

Пусть теперь существуют равные односторонние пределы. Поскольку существует предел слева, то для любой окрестности U (a )  точки a , существует такая проколотая левая окрестность ^○U (x₀  – 0 )  точки x₀  ,  на которой  f (x )  определена и
 f (x )  ∈ U (a )   для всех  x ∈ ^○U (x₀  – 0 )  . 
Поскольку существует предел справа, то для той же окрестности U (a )  точки a , существует такая проколотая правая окрестность ^○U (x₀  + 0 )  точки x₀  ,  на которой  f (x )  определена и
 f (x )  ∈ U (a )   для всех  x ∈ ^○U (x₀  + 0 )  . 
Объединив окрестности ^○U (x₀  – 0 )  и ^○U (x₀  + 0 )  ,  получим проколотую двустороннюю, или просто проколотую окрестность точки x₀   : 
^○U (x₀ )  = ^○U (x₀  – 0 )  ∪ ^○U (x₀  + 0 )  . 
Тогда, для выбранной нами произвольной окрестности U (a )  , 
 f (x )  ∈ U (a )   для всех  x ∈ ^○U (x₀ )  . 
Это означает, что
lim_x → x0  f (x )  = a . 

Свойство доказано.

Свойство пределов функций, связанных неравенством

Все свойства Пусть функции  f ₁ (x )  и  f ₂ (x )  определены на некоторой проколотой окрестности ^○U (^~x₀ )  точки x₀  ,  которая может быть двусторонней или односторонней.
Пусть на этой окрестности существуют конечные пределы lim_{x → ^~x0}  f ₁ (x )  и lim_{x → ^~x0}  f ₂ (x )  ,  где ^~x₀  означает x₀  для двусторонней, x₀  + 0 для правой и x₀  – 0 для левой окрестности.
И пусть  f ₁ (x )  ≤  f ₂ (x )  при x ∈ ^○U (^~x₀ )  . 
Тогда lim_{x → ^~x0}  f ₁ (x )  ≤ lim_{x → ^~x0}  f ₂ (x )  . 

Пусть {x_n }  есть произвольная последовательность, сходящаяся к x₀   : 
lim_{n → ∞} x_n  = x₀  . 
И пусть ее элементы принадлежат проколотой окрестности ^○U (^~x₀ )  точки x₀  ,  на которой выполняется неравенство
 f ₁ (x )  ≤  f ₂ (x )  . 
Рассмотрим последовательности { f ₁ (x_n ) }  и { f ₂ (x_n ) }  .  Поскольку существуют пределы
lim_{x → ^~x0}  f ₁ (x )  = a₁   и  lim_{x → ^~x0}  f ₂ (x )  = a₂  ,  то согласно определению предела функции по Гейне, эти последовательности имеют пределы:
lim_{n → ∞}  f ₁ (x_n )  = a₁  ,    lim_{n → ∞}  f ₂ (x_n )  = a₂  . 
Поскольку  f ₁ (x )  ≤  f ₂ (x )  ,  то их элементы связаны неравенствами:
 f ₁ (x_n )  ≤  f ₂ (x_n )  . 
Тогда, согласно свойству неравенств,
lim_{n → ∞}  f ₁ (x_n )  ≤ lim_{n → ∞}  f ₂ (x_n )  . 
Отсюда
lim_{x → ^~x0}  f ₁ (x )  ≤ lim_{x → ^~x0}  f ₂ (x )  . 

Свойство доказано.

Теорема о функциях, пределы которых связаны неравенством

Все свойства Пусть существуют конечные пределы функций  f ₁ (x )  и  f ₂ (x )   : 
lim_x → x0  f ₁ (x )  = a₁   и  lim_x → x0  f ₂ (x )  = a₂  , 
где x₀  – конечное число или бесконечно удаленная точка.
Если эти пределы связаны неравенством a₁  < a₂  , 
то существует такая проколотая окрестность ^○U (x₀ )  точки x₀  ,  в которой
 f ₁ (x )  <  f ₂ (x ) ;  x ∈ ^○U (x₀ )  . 

Для доказательства будем использовать универсальное определение предела функции по Коши.

Поскольку существует конечный предел lim_x → x0  f ₁ (x )  = a₁  ,  то для любого положительного ε > 0 ,  существует такая проколотая окрестность ^○U₁ (x₀ , ε )  точки x₀  ,  в которой значения функции принадлежат ε - окрестности точки a₁   : 
 |  f ₁ (x )  – a₁  |  < ε;  x ∈ ^○U₁ (x₀ , ε )  . 

Поскольку существует конечный предел lim_x → x0  f ₂ (x )  = a₂  ,  то для любого положительного ε > 0 ,  существует такая проколотая окрестность ^○U₂ (x₀ , ε )  точки x₀  ,  в которой значения функции принадлежат ε - окрестности точки a₂   : 
 |  f ₂ (x )  – a₂  |  < ε;  x ∈ ^○U₂ (x₀ , ε )  . 

Возьмем ε = (a₂  – a₁ )  / 2 . 
И пусть ^○U (x₀ )  – пересечение окрестностей ^○U₁ (x₀ , ε )  и ^○U₂ (x₀ , ε )   : 
^○U (x₀ )  = ^○U₁ (x₀ , ε )  ∩ ^○U₂ (x₀ , ε )  ,  где ε = (a₂  – a₁ )  / 2 . 
Тогда для всех x ∈ ^○U (x₀ )  выполняются неравенства:
 |  f ₁ (x )  – a₁  |  < (a₂  – a₁ )  / 2 ; 
 |  f ₂ (x )  – a₂  |  < (a₂  – a₁ )  / 2 . 
Раскроем знаки модуля:
– (a₂  – a₁ )  / 2 <  f ₁ (x )  – a₁  <  (a₂  – a₁ )  / 2 ; 
– (a₂  – a₁ )  / 2 <  f ₂ (x )  – a₂  <  (a₂  – a₁ )  / 2 . 

К первому неравенству прибавим a₁  и оставим только правую часть. Ко второму неравенству прибавим a₂  и оставим только левую часть. В результате получаем:
 f ₁ (x )  < (a₂  + a₁ )  / 2 ; 
(a₂  + a₁ )  / 2 <  f ₂ (x )  . 
Отсюда следует:
 f ₁ (x )  < (a₂  + a₁ )  / 2 <  f ₂ (x )  . 
Или
 f ₁ (x )  <  f ₂ (x )  при x ∈ ^○U (x₀ )  , 
где ^○U (x₀ )  = ^○U₁ (x₀ , ε )  ∩ ^○U₂ (x₀ , ε )  ,    ε = (a₂  – a₁ )  / 2 . 

Теорема доказана.