Дифференцируемые функции в точке – определение и свойства
Определение дифференцируемой функции
- Дифференцируемая функция в точке
- Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.
Функция f называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной функции от Δx и о-малого по сравнению с Δx:
(1) Δ f (x0, Δx) ≡ f (x0 + Δx) – f (x0) = A(x0)Δx + o(Δx).
Здесь A(x0) – действительная величина, зависящая от x0, но не от Δx; A(x0) ∈ R;
o(Δx) – о-малое по сравнению с Δx при Δx → 0. То есть
Δ f (x0, Δx) = A(x0)Δx + ε(x0, Δx), где limΔx → 0 ε(x0, Δx)Δx = 0.
Как мы увидим ниже, определение дифференцируемой функции одной переменной эквивалентно существованию ее производной. Тогда возникает вопрос – почему нельзя сразу дать определение, что дифференцируемая функция – это функция, имеющая производную?
Ответ на этот вопрос раскрывается при рассмотрении функций нескольких переменных. Дело в том, что производные вычисляются только от функций, зависящих от одной переменной. Для функций двух и более переменных, вначале выбирают направление приближения к заданной точке (например, ось x или ось y), а затем по этому направлению вычисляют производную. Поэтому в любой точке мы можем составить бесконечное множество производных по различным направлением. Кроме этого, по одним направлениям производные могут существовать, а по другим – нет.
Но мы хотим ввести новый класс функций, с которыми проще работать методами бесконечно малых величин. Самыми простыми являются линейные функции. Поэтому желательно выделить такой класс функций, приращения которых можно свести к линейным операциям. Это можно сделать, если потребовать, чтобы приращение функции было линейной функцией от приращений ее аргументов плюс о-малое по сравнению с этими приращениями. Такие функции называются дифференцируемыми. Например, для функции двух переменных можно записать так:
Δ f (x0, y0) ≡ f (x0 + Δx, y0 + Δy) – f (x0, y0) =
Ax (x0, y0)Δx + Ay (x0, y0)Δy + o(ρ(Δx, Δy)),
где Ax (x0, y0), Ay (x0, y0) – действительные величины, не зависящие от Δx, Δy;
ρ(Δx, Δy) = √ (Δx) 2 + (Δy) 2 – норма вектора (Δx, Δy).
- Дифференцируемая функция многих переменных в точке
- Пусть функция многих переменных f ( →x) определена в некоторой окрестности точки →x0 = (x01, x02, . . ., x0n).
Функция f называется дифференцируемой в точке →x0, если ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной функции от приращений ее аргументов и о-малого по сравнению с нормой приращений аргументов:
Δ f ( →x0, →Δx) = nΣi = 1 Ai ( →x0)Δxi + o(ρ( →Δx)).
Здесь Ai ( →x0)– действительные величины, зависящие от →x0, но не от →Δx; Ai ( →x0) ∈ R;
o( →Δx) – о-малое по сравнению с ρ( →Δx) при →Δx → 0;
ρ( →Δx) = √ nΣi = 1(Δxi) 2 .
Свойства дифференцируемой функции
в этой точке существует производная f ′(x0). При этом
Δ f (x0, Δx) ≡ f (x0 + Δx) – f (x0) = f ′(x0)Δx + o(Δx).
Доказательство
Таким образом, в случае функции одной переменной, дифференцируемость функции в точке эквивалентна существованию производной в этой точке. Забегая вперед укажем, что в случае функций многих переменных, для того чтобы функция была дифференцируемой в точке, необходимо, чтобы она имела в этой точке частные производные, и достаточно, чтобы она имела в этой точке непрерывные частные производные.
Тогда она непрерывна в этой точке.
Доказательство
Заметим, что обратное неверно. Если функция непрерывна в точке, то она может не быть дифференцируемой в этой точке. Так функция f (x) = | x | непрерывна для всех x, но не имеет производной при x = 0. См пример
она имеет в этой точке производные справа и слева, и они равны:
f ′+(x0) = f ′–(x0).
При этом
f ′(x0) = f ′+(x0) = f ′–(x0).
Доказательство
Доказательства теорем
Теорема о существовании производной дифференцируемой функции
Все свойства Функция f (x) дифференцируема в точке x0 тогда и только тогда, когдав этой точке существует производная f ′(x0). При этом
Δ f (x0, Δx) ≡ f (x0 + Δx) – f (x0) = f ′(x0)Δx + o(Δx).
1) Пусть функция f дифференцируема в точке x0, то есть выполняется (1):
Δ f (x0, Δx) = A(x0)Δx + o(Δx).
Разделим на Δx и выполним переход Δx → 0:
Δ f (x0, Δx)Δx = A(x0) + o(Δx)Δx;
limΔx → 0 Δ f (x0, Δx)Δx = A(x0) + limΔx → 0 o(Δx)Δx = A(x0) + 0 = A(x0).
Здесь, согласно свойству о-малого, limΔx → 0 o(Δx)Δx = 0. Отсюда получаем, что существует конечный предел
limΔx → 0 Δ f (x0, Δx)Δx = A(x0),
который является производной функции в точке x0: A(x0) = f ′(x0).
2) Пусть в точке x0 существует производная f ′(x0). Это означает, что существует предел:
f ′(x0) = limΔx → 0 f (x0 + Δx) – f (x0)Δx.
Воспользуемся свойством бесконечно малых функций. согласно которому, для существования предела A(x0) = limΔx → 0 g(x0, Δx) необходимо и достаточно, чтобы функция g(x0, Δx) имела вид: g(x0, Δx) = A(x0) + α(x0, Δx), где α(x0, Δx) – бесконечно малая функция при Δx → 0.
В нашем случае это означает, что
f (x0 + Δx) – f (x0)Δx = f ′(x0) + α(x0, Δx).
Отсюда
Δ f (x0, Δx) = f (x0 + Δx) – f (x0) =
f ′(x0)Δx + α(x0, Δx) ⋅ Δx = f ′(x0)Δx + o(Δx).
Теорема доказана.
Теорема о непрерывности дифференцируемой функции
Все свойства Пусть функция f (x) дифференцируема в точке x0.Тогда она непрерывна в этой точке.
Используем определение непрерывности функции в точке. Согласно этому определению, функция f непрерывна в x0, если
1) f (x) определена в некоторой окрестности x0;
2) существует предел при x → x0, и он равен f (x0):
limx → x0 f (x) = f (x0).
Пусть функция f дифференцируема в точке x0. Тогда согласно определению ⇑, она определена в некоторой окрестности точки x0. Пункт 1) выполнен.
Докажем, что выполняется пункт 2) . Поскольку f (x) дифференцируема в точке x0, то выполняется (1):
f (x0 + Δx) – f (x0) = A(x0)Δx + o(Δx).
Выполняем предельный переход Δx → 0:
limΔx → 0( f (x0 + Δx) – f (x0)) = A(x0) limΔx → 0 Δx + limΔx → 0 o(Δx);
limΔx → 0 f (x0 + Δx) – f (x0) = A(x0) ⋅ 0 + limΔx → 0( o(Δx)Δx ⋅ Δx );
limΔx → 0 f (x0 + Δx) – f (x0) = 0 + 0 ⋅ 0;
limΔx → 0 f (x0 + Δx) = f (x0).
Сделаем подстановку x = x0 + Δx. Тогда при Δx → 0, x → x0. Последнее уравнение принимает вид:
limx → x0 f (x) = f (x0).
Теорема доказана.
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: