Методы решения физико-математических задач

Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях

Первая и вторая теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях
Доказательства первой и второй теорем Вейерштрасса об ограниченности и достижении максимума и минимума непрерывной на отрезке функции.

Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции
Если функция  f  непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство ⇓

Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции
Непрерывная на отрезке [a,b] функция  f  достигает на нем своих нижней и верхней граней. Или, что тоже самое, достигает на отрезке своего минимума и максимума. То есть существуют такие точки x1, x2 ∈ [a,b], так что для любого x ∈ [a,b], выполняются неравенства:
f(x1) ≤  f(x) ≤  f(x2).
Доказательство ⇓

Различие между максимумом (минимумом) и верхней (нижней) гранью заключается в следующем: максимум (минимум) принадлежит множеству значений функции, а верхняя (нижняя) грань может не принадлежать этому множеству. Пусть, например, на открытом интервале задана функция . На этом интервале функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
.
Но максимума и минимума не имеет. Действительно, для любого всегда можно указать такие числа и , принадлежащие , значения функции от которых будут больше и меньше :
.
На отрезке функция имеет как верхнюю и нижнюю грани, так максимум и минимум:
.
Также верхняя (нижняя) грань может равняться плюс (минус) бесконечности: , а максимум (минимум) не может быть бесконечным числом.

Доказательства теорем

Доказательство первой теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции

Формулировка ⇑

Допустим противное. Пусть функция не ограничена при . Это означает, что для любого всегда можно найти такое , что .

Задавая последовательно значения , мы получим последовательность , элементы которой принадлежат отрезку : , и для которых
(1.1)   .
Рассмотрим последовательность . Учитывая (1.1), и поскольку , то по свойству неравенств бесконечно больших последовательностей,
(1.2)   .

Рассмотрим последовательность . Согласно теореме Больцано - Вейерштрасса, из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу . Эту подпоследовательность обозначим как . Тогда
.
Поскольку , то по свойству пределов последовательностей, связанных неравенствами,
.

Далее, есть подпоследовательность последовательности , которая имеет предел (1.2). Поскольку предел любой подпоследовательности равен пределу последовательности, то
.

Итак, мы нашли последовательность , сходящуюся при к числу . И для этой последовательности
(1.3)   .
Это противоречит определению непрерывности по Гейне, согласно которому предел последовательности должен равняться конечному числу – значению функции в точке :
.
Тогда и предел модуля (1.3), также должен равняться конечному числу:
.

Теорема доказана.

Доказательство второй теоремы Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции

Формулировка ⇑

Доказательство для максимума

Докажем сначала теорему для максимума. Пусть число является верхней гранью значений функции на отрезке : . Согласно первой теореме Вейерштрасса ⇑, функция ограничена на этом отрезке. Поэтому – конечное число. Нам нужно показать, что
, где .

По определению верхней грани, выполняются следующие условия:
1)  для всех ;
2)  для любого , существует такое, что
.

Положим . Тогда существует такая точка , для которой
, или
.

Таким образом мы построили последовательности и , элементы которых удовлетворяют неравенствам:
;
.
Покажем, что .
Для этого изменим последнее неравенство и введем числа и :
.
Отсюда видно, что для любого всегда можно указать натуральное число . Тогда для всех , . Согласно определению предела последовательности это означает, что
(2.1)   .

Рассмотрим последовательность . Согласно теореме Больцано - Вейерштрасса, из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу . Эту подпоследовательность обозначим как . Тогда
.
Поскольку , то по свойству пределов последовательностей, связанных неравенствами,
.

Рассмотрим последовательность . Она является подпоследовательностью последовательности . Поскольку сходится к числу , то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу. Поэтому
(2.2)   .

Поскольку при , то согласно определению непрерывности по Гейне, (2.3)   .

Поскольку сходящаяся последовательность может иметь только один предел, то из (2.2) и (2.3) следует, что
.
То есть верхняя грань равна значению функции в одной из точек отрезка . Поэтому также является максимальным значением функции на этом отрезке.
Для максимума теорема доказана.

Доказательство для минимума

Доказательство теоремы для минимума аналогично предыдущему. Изложим его вкратце.

Пусть . Тогда
1)  для всех ;
2)  для любого , существует такое, что
.

Полагая , мы получим последовательности , и элементы которых удовлетворяют неравенствам:
;
.
из последней строчки видно, что
(2.4)   .

Из последовательности выделим подпоследовательность , сходящуюся к некоторому числу :
.
Поскольку , то по свойству неравенств,
.

Рассмотрим последовательность . Она является подпоследовательностью последовательности . Поскольку сходится к числу , то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу. Поэтому
(2.5)   .

Поскольку при , то согласно определению непрерывности по Гейне, (2.6)   .

Поскольку сходящаяся последовательность может иметь только один предел, то
.
То есть нижняя грань равна значению функции в одной из точек отрезка . Поэтому также является минимальным значением функции на этом отрезке.

Теорема доказана.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

.     Опубликовано: