Общее уравнение динамики. Пример решения задачи
Условие задачи
Механическая система состоит из однородных ступенчатых шкивов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3-6, прикрепленных к этим нитям, и невесомого блока. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом M = 10 Н·м , приложенной к шкиву 1. Радиусы ступеней шкива 1 равны: R1 = 0,2 м, r1 = 0,1 м , а шкива 2 – R2 = 0,3 м, r2 = 0,15 м ; их радиусы инерции относительно осей вращения равны соответственно ρ1 = 0,1 м и ρ2 = 0,2 м .
Пренебрегая трением, определить ускорение груза 5. Веса шкивов и грузов заданы: P1 = 40 Н , P2 = 0 , P3 = 0 , P4 = 20 Н , P5 = 30 Н , P6 = 10 Н . Грузы, веса которых равны нулю, на чертеже не изображать.
Указание. При решении задачи использовать общее уравнение динамики (принцип Даламбера – Лагранжа).
Решение задачи
Дано: R1 = 0,2 м, r1 = 0,1 м , R2 = 0,3 м, r2 = 0,15 м , ρ1 = 0,1 м , ρ2 = 0,2 м . P1 = 40 Н , P2 = 0 , P3 = 0 , P4 = 20 Н , P5 = 30 Н , P6 = 10 Н , M = 10 Н·м .
Найти: a5 .
Установление кинематических соотношений
Установим кинематические соотношения. Пусть V4 , V5 , V6 , a4 , a5 , a6 , δS4 , δS5 , δS6 – скорости, ускорения и малые перемещения грузов 4,5 и 6. Пусть ω1 , ω2 , ε1 , ε2 , δφ1 , δφ2 – угловые скорости, угловые ускорения и малые углы поворота шкивов 1 и 2.
Скорость движения нити между телами 2, 4 и 5:
ω2 r2 = V4 = V5 . Отсюда ω2 = V5 r2 .
Скорость движения нити между шкивами 1 и 2:
ω1 R1 = ω2 R2 . Отсюда
ω1 = R2 R1 ω2 = R2 R1 r2 V5 .
Скорость движения нити между телами 1 и 6:
V6 = ω1 r1 = r1 R2 R1 r2 V5 .
Итак, мы нашли связь между скоростями тел.
V4 = V5 ;
ω1 = R2 R1 r2 V5 ;
V6 = r1 R2 R1 r2 V5 .
Поскольку ускорения – это производные скоростей по времени, ε1 = .ω1 , a4 = .V4 , a5 = .V5 , a6 = .V6 ,
то дифференцируя по времени предыдущие формулы, находим связь между ускорениями:
a4 = a5 ;
ε1 = R2 R1 r2 a5 ;
a6 = r1 R2 R1 r2 a5 .
Поскольку скорости – это производные от перемещений по времени, то такая же связь есть между бесконечно малыми перемещениями.
δS4 = δS5 ;
δφ1 = R2 R1 r2 δS5 ;
δS6 = r1 R2 R1 r2 δS5 .
Активные внешние силы
Рассмотрим внешние силы, действующие на систему.
Это силы тяжести тел P1 = 40 Н , P4 = 20 Н , P5 = 30 Н и P6 = 10 Н , направленные вниз;
заданная пара сил с моментом M = 10 Н·м ;
силы давления осей N1 , N2 и N шкивов 1, 2 и невесомого блока;
силы реакции N4 и N6 , действующие на грузы со стороны поверхностей, перпендикулярные этим поверхностям.
Силы инерции
Мы будем решать эту задачу с помощью общего уравнения динамики, применяя принцип Даламбера - Лагранжа. Он заключается в том, что сначала мы вводим силы инерции. После введения сил инерции, задача динамики превращается в задачу статики. То есть нам нужно найти неизвестные силы инерции, чтобы система находилась в равновесии. Данную задачу статики мы решаем, применяя принцип Даламбера. То есть считаем, что система совершила малое перемещение. Тогда в равновесии, сумма работ всех сил, при таком перемещении, равна нулю.
Итак, на первом этапе мы вводим силы инерции. Для этого предполагаем, что система движется с некоторым, пока не определенным, ускорением. То есть шкивы 1 и 2 вращаются с угловыми ускорениями ε1 и ε2 , соответственно; грузы 4,5 и 6 совершают поступательное движение с ускорениями a4 , a5 и a6 , соответственно. Между этими ускорениями имеются связи, которые мы нашли ранее. То есть все эти ускорения можно выразить через одно ускорение a5 . Силы инерции определяются так, что они равны по модулю и противоположны по направлению тем силам (и моментам сил), которые, по законам динамики, создавали бы предполагаемые ускорения (при отсутствии других сил).
Определяем модули (абсолютные значения) сил и моментов инерции и выражаем их через a5 .
Пусть m1 = P1 g , m4 = P4 g , m5 = P5 g , m6 = P6 g – массы тел;
J1 = m1 ρ 21 – момент инерции шкива 1.
Момент сил инерции, действующий на шкив 1:
M И1 = J1 ε1 = m1 ρ 21 ⋅ R2 R1 r2 a5 = P1 g ρ 21 ⋅ R2 R1 r2 a5 .
Силы инерции, действующие на грузы 4, 5 и 6:
F И4 = m4 a4 = P4 g a5 ;
F И5 = m5 a5 = P5 g a5 ;
F И6 = m6 a6 = P6 g ⋅ r1 R2 R1 r2 a5 .
Изображаем силы инерции на чертеже учитывая, что их направления противоположны ускорениям.
Применение общего уравнения динамики
Даем системе бесконечно малое перемещение. Пусть груз 5 переместился на малое расстояние δS5 . Тогда угол поворота δφ1 шкива 1 и перемещения δS4 и δS6 грузов 4 и 6 определяются с помощью установленных ранее кинематических соотношений. Поскольку нити нерастяжимые, то они не совершают работу при таком перемещении. Это означает, что система имеет идеальные связи. Поэтому мы можем применить общее уравнение динамики:
Σk δA ak + Σk ′ δA Иk ′ = 0 ,
согласно которому сумма работ всех активных сил и сил инерции, при таком перемещении, равна нулю.
Определение суммы работ внешних активных сил и сил инерции
Работа, которую совершает сила →F при перемещении точки ее приложения на малое смещение d→s равна скалярному произведению векторов A(→F ) = ( →F ⋅ d→s ) , то есть произведению модулей векторов F и ds на косинус угла между ними.
Работа, произведенная моментом сил →M , вычисляется аналогично:
A(→M ) = ( →M ⋅ d→φ ) .
Определяем работы всех активных сил и сил инерции. Поскольку центры осей шкивов 1, 2 и невесомого блока не совершают перемещений, то силы P1 , N1 , N2 и N не совершают работу. Поскольку силы N4 и N6 перпендикулярны перемещениям грузов 4 и 6, то эти силы также не совершают работу.
Находим сумму работ остальных активных сил и сил инерции.
Σk δA ak + Σk ′ δA Иk ′ = Mδφ1 – P4 cos 45 ○ ⋅ δS4 – P5 δS5 + P6 cos 30 ○ ⋅ δS6 –
M И1 δφ1 – F И4 δS4 – F И5 δS5 – F И6 δS6 = 0 .
Подставляем выражения для сил инерции и применяем кинематические соотношения.
M R2 R1 r2 δS5 – P4 cos 45 ○ ⋅ δS5 – P5 δS5 + P6 cos 30 ○ ⋅ r1 R2 R1 r2 δS5 –
P1 g ρ 21 ⋅ R2 R1 r2 a5 R2 R1 r2 δS5 – P4 g a5 δS5 – P5 g a5 δS5 – P6 g ⋅ r1 R2 R1 r2 a5 r1 R2 R1 r2 δS5 = 0 .
Сокращаем на δS5 и преобразовываем.
R2 R1 r2 M – P4 cos 45 ○ – P5 + r1 R2 R1 r2 P6 cos 30 ○ =
a5 g [ ( ρ1 R2 R1 r2 ) 2 P1 + P4 + P5 + ( r1 R2 R1 r2 ) 2 P6 ] .
Подставляем численные значения.
0, 30, 2 ⋅ 0, 15 ⋅ 10 – 20 ⋅ cos 45 ○ – 30 + 0, 1 ⋅ 0, 30, 2 ⋅ 0, 15 ⋅ 10 ⋅ cos 30 ○ =
a5 g [ ( 0, 1 ⋅ 0, 30, 2 ⋅ 0, 15 ) 2 ⋅ 40 + 20 + 30 + ( 0, 1 ⋅ 0, 30, 2 ⋅ 0, 15 ) 2 ⋅ 10 ] ;
64, 52 = a5 g ⋅ 100 ;
a5 = 64, 52100 g = 0, 6452 ⋅ g = 0, 6452 ⋅ 9, 8 = 6, 323 м/с2.
Ответ
a5 = 0, 6452 g = 6, 32 м/с2.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: