Теорема об изменении количества движения системы. Решение задач

Основные законы, применяемые при решении задач

Количество движения произвольной системы материальных точек

– это вектор, равный сумме количества движения (сумме импульсов) отдельных точек, составляющих систему:
.
Здесь – скорость точки массы . Количество движения определяется только в инерциальной системе отсчета.

Сложное движение точки

Часто возникают случаи, когда точки и тела совершают сложное движение. Например, тело совершает движение относительно неподвижной системы отсчета, а точка, в свою очередь, движется относительно тела по заданному закону. В этом случае удобно разбить движение на две составляющие – переносное и относительное. Тогда удобно выбрать дополнительную подвижную систему отсчета. Движение точек подвижной системы называется переносным, а движение точек относительно нее – относительным.

Абсолютная скорость (ускорение) точки

– это скорость (ускорение) точки в неподвижной системе координат.

Переносная скорость (ускорение) точки

– это скорость (ускорение) той точки подвижной системы координат, в которой, в данный момент времени, находится точка, совершающая сложное движение.

Относительная скорость (ускорение) точки

– это скорость (ускорение) точки относительно подвижной системы координат.

Задача. Определение скорости плиты с движущимся по ней грузом

Условие задачи

Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты 1 массой m₁=24 кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих, и груза D массой m₂=6 кг. В момент времени t₀=0, когда скорость плиты u₀=0,5 м/с, груз под действием внутренних сил начинает двигаться по желобу плиты.

Желоб прямолинейный и при движении груза расстояние s=AD изменяется по закону , где выражено в метрах; – в секундах. На рисунке груз D показан в положении, при котором s>0; при s<0 груз находится по другую сторону от точки A.

Считая груз материальной точкой, и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить скорость плиты u₁ в момент времени t₁=1с.

Указания. Эта задача – на применение теоремы об изменении количества движения системы.

Краткое решение

;
;
;
;
;
кг;
;
.
При .
;
.
При м/с;
м/с.

Подробное решение с объяснениями

Дано:   m₁=24 кг, m₂=6 кг, t₀=0 с, u₀=0,5 м/с, м, t₁=1 с.
Найти: u₁.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты 1 и груза . Применим к ней теорему об изменении количества движения (1.1):
(3.1)   .
Выберем неподвижную систему координат . Ее начало возьмем произвольно. Ось направим горизонтально, ось – вертикально вверх.

Рассмотрим внешние силы , действующие на систему. Это силы тяжести плиты и груза, направленные вниз; силы реакции направляющих. Силу тяжести плиты заменим равнодействующей , приложенной к ее центру тяжести. Сила тяжести груза приложена к грузу, который мы считаем материальной точкой. Поскольку трение отсутствует, то силы реакции направляющих направлены вертикально вверх, вдоль оси y. Поскольку они параллельны, то имеют равнодействующую , которая также направлена вдоль оси y.

Кроме сил тяжести на груз действуют силы реакции со стороны плиты и силы, приводящие груз в движение. Но они не являются внешними. Точно такие же силы по величине, но обратные по направлению действуют на плиту со стороны груза. Поэтому, при рассмотрении движения системы в целом, эти силы взаимно уничтожаются. В теорему об изменении количества движения системы входят только внешние силы, действующие на элементы системы.

Все внешние силы направлены вертикально. Поэтому их проекции на ость x равны нулю: . Спроектируем уравнение (3.1) на ось x.
;
.
Это простейшее дифференциальное уравнение. Из него следует, что проекция количества движения на ось x постоянная, не зависящая от времени величина.
.
Применяя формулу (1.2) находим:
(3.2)   .

Здесь – это скорость центра масс плиты. Она направлена вдоль направляющих, по оси x:
.
Поскольку плита совершает поступательное движение, то скорости всех ее точек также равны .

Груз D совершает составное движение. Он движется относительно плиты по заданному закону; плита совершает движение относительно инерциальной системы координат . По теореме о сложении скоростей (2.1), имеем:
(3.3)   .

Переносная скорость груза – это скорость движения точки плиты, в которой находится груз. У нас скорости всех точек плиты равны, поэтому
(3.4)   .

Относительная скорость – это скорость движения груза в системе координат (возможно неинерциальной), в которой плита покоится. Для ее математического описания, выберем систему координат , связанную с плитой. Ее начало поместим в центр плиты A. Тогда
.
Здесь – единичный вектор, направленный вдоль желоба ;
– заданный закон движения груза. Дифференцируя по времени, находим относительную скорость груза:
Спроектируем это векторное уравнение на ось :
;
(3.5)   .

Подставляем (3.4): , (3.5) в (3.3):
(3.6)   .
Подставляем и (3.6) в (3.2):
;
;
(3.7)   ,
где кг.

Находим производную, применяя правило дифференцирования сложной функции.
Пусть . Тогда
;
;
;
(3.8)   .

Подставим в (3.7) .
При , ,
,
(3.9)   .

Как мы выяснили, – постоянная, не зависящая от времени величина. Подставим ее значение (3.9) в формулу (3.7), справедливую для произвольного момента времени, и выполним преобразования.
;
(3.10)   ,
где зависимость от времени скорости определяется по формуле (3.8).

Формулы (3.10) и (3.8) определяют скорость плиты в произвольный момент времени. Находим ее значение в момент времени с.
При ,
,
.

Ответ

м/с.