Методы решения физико-математических задач

Теорема об изменении количества движения системы. Решение задач

Задача. Найти скорость плиты в момент времени t1.
Приводятся формулы и законы, применяемые при решении задач с помощью теоремы об изменении количества движения системы. Рассмотрен пример решения задачи, в которой требуется найти скорость плиты с движущимся по ней грузом. Дается краткое и подробное решение.

Основные законы, применяемые при решении задач

Теорема об изменении количества движения

Рассмотрим механическую систему, состоящую из тел и материальных точек в инерциальной системе отсчета.
Производная по времени от количества движения (импульса) системы равна векторной сумме всех действующих на систему внешних сил:
(1.1)   .
Закон сохранения количества движения (импульса)
Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю,
то вектор количества движения системы будет постоянным. То есть все его проекции на оси координат будут сохранять постоянные значения.
Если сумма проекций внешних сил на какую-либо ось равна нулю,
то проекция количества движения системы на эту ось будет постоянной.
Формула расчета количества движения произвольной механической системы
Рассмотрим механическую систему, состоящую из тел и материальных точек в инерциальной системе отсчета.
Количество движения механической системы равно сумме количества движения материальных точек и тел, составляющих систему:
(1.2)   .
Здесь – масса точки или тела; – скорость точки массы или скорость движения центра масс тела.
Выражение количество движения через скорость центра масс
Рассмотрим произвольную механическую систему в инерциальной системе отсчета.
Количество движения системы равно произведению ее массы на скорость движения центра масс :
(1.3)   .
При этом механическая система может быть совершенно произвольным телом – твердым, деформируемым, жидким, газообразным, или частью тела.
Количество движения произвольной системы материальных точек
– это вектор, равный сумме количества движения (сумме импульсов) отдельных точек, составляющих систему:
.
Здесь – скорость точки массы . Количество движения определяется только в инерциальной системе отсчета.

Сложное движение точки

Часто возникают случаи, когда точки и тела совершают сложное движение. Например, тело совершает движение относительно неподвижной системы отсчета, а точка, в свою очередь, движется относительно тела по заданному закону. В этом случае удобно разбить движение на две составляющие – переносное и относительное. Тогда удобно выбрать дополнительную подвижную систему отсчета. Движение точек подвижной системы называется переносным, а движение точек относительно нее – относительным.

Абсолютная скорость (ускорение) точки
– это скорость (ускорение) точки в неподвижной системе координат.
Переносная скорость (ускорение) точки
– это скорость (ускорение) той точки подвижной системы координат, в которой, в данный момент времени, находится точка, совершающая сложное движение.
Относительная скорость (ускорение) точки
– это скорость (ускорение) точки относительно подвижной системы координат.
Теоремы о сложении скоростей и ускорений
При составном движении
абсолютная скорость и ускорение точки выражаются через переносные и относительные скорости и ускорения по формулам:
(2.1)     (теорема о сложении скоростей);
(2.2)     (теорема Кориолиса).
Здесь
(2.3)   – кориолисово ускорение;
– угловая скорость вращения подвижной системы координат.

Задача. Определение скорости плиты с движущимся по ней грузом

Условие задачи

Условие задачи. Плита с движущимся грузом.
Условие задачи. Плита 1 с движущимся грузом D.

Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты 1 массой m1=24 кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих, и груза D массой m2=6 кг. В момент времени t0=0, когда скорость плиты u0=0,5 м/с, груз под действием внутренних сил начинает двигаться по желобу плиты.

Желоб прямолинейный и при движении груза расстояние s=AD изменяется по закону , где выражено в метрах; – в секундах. На рисунке груз D показан в положении, при котором s>0; при s<0 груз находится по другую сторону от точки A.

Считая груз материальной точкой, и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить скорость плиты u1 в момент времени t1=1с.

Указания. Эта задача – на применение теоремы об изменении количества движения системы.

Краткое решение

Рисунок к решению задачи.
Рисунок к решению задачи.

;
;
;
;
;
кг;
;
.
При .
;
.
При м/с;
м/с.

Подробное решение с объяснениями

Дано:   m1=24 кг, m2=6 кг, t0=0 с, u0=0,5 м/с, м, t1=1 с.
Найти: u1.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты 1 и груза . Применим к ней теорему об изменении количества движения (1.1):
(3.1)   .
Выберем неподвижную систему координат . Ее начало возьмем произвольно. Ось направим горизонтально, ось – вертикально вверх.

Внешние силы, действующие на систему.
Внешние силы, действующие на систему.

Рассмотрим внешние силы , действующие на систему. Это силы тяжести плиты и груза, направленные вниз; силы реакции направляющих. Силу тяжести плиты заменим равнодействующей , приложенной к ее центру тяжести. Сила тяжести груза приложена к грузу, который мы считаем материальной точкой. Поскольку трение отсутствует, то силы реакции направляющих направлены вертикально вверх, вдоль оси y. Поскольку они параллельны, то имеют равнодействующую , которая также направлена вдоль оси y.

Кроме сил тяжести на груз действуют силы реакции со стороны плиты и силы, приводящие груз в движение. Но они не являются внешними. Точно такие же силы по величине, но обратные по направлению действуют на плиту со стороны груза. Поэтому, при рассмотрении движения системы в целом, эти силы взаимно уничтожаются. В теорему об изменении количества движения системы входят только внешние силы, действующие на элементы системы.

Все внешние силы направлены вертикально. Поэтому их проекции на ость x равны нулю: . Спроектируем уравнение (3.1) на ось x.
;
.
Это простейшее дифференциальное уравнение. Из него следует, что проекция количества движения на ось x постоянная, не зависящая от времени величина.
.
Применяя формулу (1.2) находим:
(3.2)   .

Здесь – это скорость центра масс плиты. Она направлена вдоль направляющих, по оси x:
.
Поскольку плита совершает поступательное движение, то скорости всех ее точек также равны .

Груз D совершает составное движение. Он движется относительно плиты по заданному закону; плита совершает движение относительно инерциальной системы координат . По теореме о сложении скоростей (2.1), имеем:
(3.3)   .

Переносная скорость груза – это скорость движения точки плиты, в которой находится груз. У нас скорости всех точек плиты равны, поэтому
(3.4)   .

Неподвижная и подвижная системы координат.
Неподвижная Oxy и подвижная Axryr системы координат.

Относительная скорость – это скорость движения груза в системе координат (возможно неинерциальной), в которой плита покоится. Для ее математического описания, выберем систему координат , связанную с плитой. Ее начало поместим в центр плиты A. Тогда
.
Здесь – единичный вектор, направленный вдоль желоба ;
– заданный закон движения груза. Дифференцируя по времени, находим относительную скорость груза:
Спроектируем это векторное уравнение на ось :
;
(3.5)   .

Подставляем (3.4): , (3.5) в (3.3):
(3.6)   .
Подставляем и (3.6) в (3.2):
;
;
(3.7)   ,
где кг.

Находим производную, применяя правило дифференцирования сложной функции.
Пусть . Тогда
;
;
;
(3.8)   .

Подставим в (3.7) .
При , ,
,
(3.9)   .

Как мы выяснили, – постоянная, не зависящая от времени величина. Подставим ее значение (3.9) в формулу (3.7), справедливую для произвольного момента времени, и выполним преобразования.
;
(3.10)   ,
где зависимость от времени скорости определяется по формуле (3.8).

Формулы (3.10) и (3.8) определяют скорость плиты в произвольный момент времени. Находим ее значение в момент времени с.
При ,
,
.

Ответ

м/с.

.     Опубликовано:

Меню