Теорема о движении центра масс системы. Решение задач

Задача. Найти перемещение плиты и реакцию направляющих.

Приводятся формулы и законы, применяемые при решении задач с помощью теоремы о движении центра масс системы. Рассмотрены примеры решения задач. В одной задаче требуется найти смещение плиты с движущимися по ней грузами и реакцию направляющих. В другой задаче нужно найти вертикальную составляющую реакции в точке крепления кривошипно-шатунного механизма с ползуном.

Содержание

Основные законы, применяемые при решении задач

Теорема о движении центра масс

Центром масс механической системы: называется точка, радиус-вектор ^→r_C которой определяется по формуле:
(1) ^→r_C = 1m Σ_k m_k ^→r_k .
Здесь ^→r_k – радиус-вектор точки массой m_k ; m = Σ_k m_k – масса механической системы.

Дифференцируя (1) по времени, находим.
(2) ^→v_C = ^.^→r_C = 1m Σ_k m_k ^→v_k – скорость центра масс системы;
(3) ^→a_C = ^.^→v_C = ^..^→r_C = 1m Σ_k m_k ^→a_k – ускорение центра масс системы.
Здесь
^→v_k = ^.^→r_k – скорости точек или центров масс тел;
^→a_k = ^.^→v_k = ^..^→r_k – ускорения точек или центров масс тел.

Теорема о движении центра масс механической системы

Пусть ^→r_C – радиус-вектор центра масс механической системы.
Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно векторной сумме всех действующих на систему внешних сил:
m ⋅ ^→a_C = Σ_k ^→F^e_k .

Сложное движение точки

Входящие в (2) и (3) скорости и ускорения определяются относительно неподвижной системы отсчета. Часто возникают случаи, когда точки и тела совершают сложное движение. Например, точка движется относительно тела по заданному закону, а тело, в свою очередь, совершает движение относительно неподвижной системы отсчета. В этом случае удобно разбить движение на две составляющие – переносное и относительное. То есть удобно выбрать дополнительную подвижную систему отсчета. Тогда движение точек этой подвижной системы называется переносным, а движение точек относительно нее – относительным.

Абсолютная скорость (ускорение) точки: ^→v (^→a ) – это скорость (ускорение) точки в неподвижной системе координат.
Переносная скорость (ускорение) точки: ^→v_e (^→a_e ) – это скорость (ускорение) той точки подвижной системы координат, в которой, в данный момент времени, находится точка, совершающая сложное движение.
Относительная скорость (ускорение) точки: ^→v_r (^→a_r ) – это скорость (ускорение) точки относительно подвижной системы координат.

Теоремы о сложении скоростей и ускорений

При составном движении
абсолютная скорость ^→v и ускорение ^→a точки выражаются через переносные ^→v_e , ^→a_e и относительные ^→v_r , ^→a_r скорости и ускорения по формулам:
^→v = ^→v_e + ^→v_r (теорема о сложении скоростей);
^→a = ^→a_e + ^→a_r + ^→a_c (теорема Кориолиса).
Здесь ^→a_c = 2[^→ω × ^→v_r ] – кориолисово ускорение; ^→ω – угловая скорость вращения подвижной системы координат.

Задача. Определение перемещения и реакции плиты с грузами

Условие задачи

Механическая система состоит из груза D₁ массой m₁=3 кг и D₂ массой m₂=6 кг и из прямоугольной вертикальной плиты массой m₃=10 кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих. В момент времени t₀=0, когда система находилась в покое, под действием внутренних сил грузы начинают двигаться по желобам, представляющим собой окружности радиусов r=0,4 м и R=0,8 м.

При движении грузов угол φ₁=A₁C₃D₁ изменяется по закону φ₁ = π2 (3 – t² ) , а угол φ₂=A₂C₃D₂ – по закону φ₂ = π3 (t² + 1 ) . φ выражено в радианах, t – в секундах.

Считая грузы материальными точками, и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить закон движения плиты x₃=f₃(t) и полной нормальной реакции направляющих N=f(t). x₃ – координата центра C₃ плиты.

Указания. Эта задача – на применение теоремы о движении центра масс. При этом для определения x₃=f₃(t) составить уравнение в проекции на горизонтальную ось x, а для определения N – на вертикальную ось y.

Решение

Дано: m₁=3 кг, m₂=6 кг, m₃=10 кг, t₀=0, r=0,4 м, R=0,8 м, φ₁ = π2 (3 – t² ) , φ₂ = π3 (t² + 1 ) .

Найти: x₃=f₃(t), N=f(t).

Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и грузов D₁ , D₂ . Применим к ней теорему о движении центра масс:
(1.1) m ⋅ ^→a_C = Σ_k ^→F^e_k .
Здесь ^→a_C – ускорение центра масс системы; ^→F^e_k – внешние силы; m = m₁ + m₂ + m₃ = 3 + 6 + 10 = 19 кг – масса системы.

Выберем неподвижную систему координат Oxy . Ее начало O выберем произвольно. Но чтобы ось Ox проходила через центр плиты C₃ . Ускорение ^→a_C в теореме о движении центра масс определяется именно в неподвижной системе.

Неподвижная и подвижная системы координат, связанная с плитой

Рассмотрим внешние силы, действующие на систему. Это силы тяжести ^→P₁ , ^→P₂ грузов ^→D₁ , ^→D₂ ; сила тяжести ^→P₃ плиты; и реакция направляющих ^→N . Силы тяжести направлены вертикально вниз. Будем считать, что реакция ^→N направлена вертикально вверх.

Кроме сил тяжести на грузы действуют силы реакции со стороны плиты и силы, приводящие грузы в движение. Но они не являются внешними. Точно такие же силы по величине, но обратные по направлению действуют на плиту со стороны грузов. Поэтому, при рассмотрении движения системы в целом, эти силы взаимно уничтожаются. В теорему о движении центра масс входят только внешние силы, действующие на элементы системы.

Спроектируем векторное уравнение (1.1) на оси системы координат Oxy .
m a_Cx = 0 ;
m a_Cy = N – P₁ – P₂ – P₃ .
Выразим эти уравнения через компоненты радиус-вектора центра масс ^→r_C = (x_C , y_C ) учитывая, что ^→a_C = ^..^→r_C :
(1.2) m ^..x_C = 0 ;
(1.3) m ^..y_C = N – P₁ – P₂ – P₃ .

Определение закона движения плиты

Рассмотрим уравнение (1.2). Из него следует, что ускорение проекции центра масс на ось x равно нулю:
^..x_C = 0 .
Это простейшее дифференциальное уравнение второго порядка. Оно имеет решение
(1.4) x_C = At + B ,
где A, B – постоянные, не зависящие от времени t величины.

По формуле (1) выразим x - координату центра масс системы через координаты грузов x₁ , x₂ и координату центра масс плиты x₃ :
x_C = 1m Σ_k m_k x_k = 1m (m₁ x₁ + m₂ x₂ + m₃ x₃ ) .
Подставляя в (1.4) находим:
(1.5) m₁ x₁ + m₂ x₂ + m₃ x₃ = m(At + B ) .

В условии задачи, нам заданы законы движения грузов относительно плиты, которая сама совершает движение. Поэтому выберем еще одну систему координат C₃ x_r y_r , связанную с плитой. За начало отсчета возьмем центр плиты C₃ . Оси C₃ x_r , C₃ y_r направим параллельно осям Ox, Oy .

Из векторного уравнения
^→OD₁ = ^→OC₃ + ^→C₃ D₁
выражаем координаты (x₁ , y₁ ) точки D₁ в неподвижной системе отсчета через координаты центра плиты C₃ (x₃ , 0 ) в неподвижной системе и координаты точки D₁ (x_r1 , y_r1 ) в подвижной системе:
(1.6) x₁ = x₃ + x_r1 , y₁ = y_r1 .
Аналогично для точки D₂ :
(1.7) x₂ = x₃ + x_r2 , y₂ = y_r2 .

Проектируя отрезки C₃ D₁ и C₃ D₂ на оси C₃ x_r , C₃ y_r , находим координаты грузов в подвижной системе координат.
x_r1 = | C₃ D₁ | cos φ₁ = r cos φ₁ ;
(1.8) y_r1 = – | C₃ D₁ | sin φ₁ = – r sin φ₁ ;
x_r2 = – | C₃ D₂ | sin φ₂ = – R sin φ₂ ;
(1.9) y_r2 = – | C₃ D₂ | cos φ₂ = – R cos φ₂ .
Здесь φ₁ и φ₂ являются заданными функциями от времени:
(1.10) φ₁ = π2 (3 – t² ), φ₂ = π3 (t² + 1 ) .

Подставляем полученные соотношения в (1.5), и выполняем преобразования.
m₁ (x₃ + x_r1 ) + m₂ (x₃ + x_r2 ) + m₃ x₃ = m(At + B ) ;
(m₁ + m₂ + m₃ )x₃ + m₁ x_r1 + m₂ x_r2 = m(At + B ) ;
mx₃ + m₁ r cos φ₁ – m₂ R sin φ₂ = m(At + B ) ;
(1.11) x₃ = At + B + 1m (m₂ R sin φ₂ – m₁ r cos φ₁ ) .

Постоянные A, B определим из условия, чтобы в начальный момент времени t = 0 , центр плиты находился в начале координат x₃ = 0 , и чтобы скорость плиты равнялась нулю: ^.x₃ = 0 .

Подставляем в (1.10) t = 0 .
φ₁ (0 ) = π2 (3 – t² ) | _t = 0 = π2 (3 – 0² ) = 3π2 ;
φ₂ (0 ) = π3 (t² + 1 ) | _t = 0 = π3 (0² + 1 ) = π3 .
Подставляем в (1.11) t = 0, x₃ = 0 .
0 = A ⋅ 0 + B + 1m (m₂ R sin φ₂ (0 ) – m₁ r cos φ₁ (0 )) ;
0 = B + 1m ( m₂ R sin π3 – m₁ r cos 3π2 ) ;
0 = B + 1m ( m₂ R √ 3 2 – m₁ r ⋅ 0 ) ;
B = – 1m m₂ R √ 3 2 = – 119 ⋅ 6 ⋅ 0, 8 ⋅ √ 3 2 = – 0, 2188 м .

Дифференцируем (1.11) по времени.
^.φ₁ = π2 (3 – t² )^′_t = π2 (0 – 2t ) = – πt ;
^.φ₂ = π3 (t² + 1 )^′_t = π3 (2t + 0 ) = 2π3 t ;
(sin φ₂ )^′_t ≡ d sin φ₂ dt = d sin φ₂ dφ₂ ⋅ dφ₂ dt = cos φ₂ ⋅ ^.φ₂ = ^.φ₂ cos φ₂ ;
(cos φ₁ )^′_t ≡ d cos φ₁ dt = d cos φ₁ dφ₁ ⋅ dφ₁ dt = – sin φ₁ ⋅ ^.φ₁ = – ^.φ₁ sin φ₁ ;
^.x₃ = A + 0 + 1m (m₂ R(sin φ₂ )^′_t – m₁ r(cos φ₁ )^′_t ) =
A + 1m (m₂ R^.φ₂ cos φ₂ + m₁ r^.φ₁ sin φ₁ ) .
Подставляем t = 0, ^.x₃ = 0 .
^.φ₁ (0 ) = – π ⋅ 0 = 0 ;
^.φ₂ (0 ) = 2π3 ⋅ 0 = 0 ;
0 = A + 1m (m₂ R^.φ₂ (0 ) cos φ₂ (0 ) + m₁ r^.φ₁ (0 ) sin φ₁ (0 )) ;
0 = A + 1m (0 + 0 ) ;
A = 0 .

Окончательно имеем.
x₃ = At + B + 1m (m₂ R sin φ₂ – m₁ r cos φ₁ ) =
0 ⋅ t – 0, 2188 + 119 (6 ⋅ 0, 8 sin φ₂ – 3 ⋅ 0, 4 cos φ₁ ) =
– 0, 2188 + 0, 2526 ⋅ sin ( π3 (t² + 1 ) ) – 0, 0632 ⋅ cos ( π2 (3 – t² ) ) .

Определение реакции направляющих

Из уравнения (1.3) находим:
(1.12) N = m ^..y_C + P ,
где P = P₁ + P₂ + P₃ = m₁ g + m₂ g + m₃ g = (m₁ + m₂ + m₃ )g = mg =
19 ⋅ 9, 81 = 186, 4 Н .

По формуле (1) выражаем y - координату центра масс системы через координаты грузов y₁ , y₂ и координату центра масс плиты y₃ :
y_C = 1m Σ_k m_k y_k = 1m (m₁ y₁ + m₂ y₂ + m₃ y₃ ) .
Поскольку y₃ = 0 , то
y_C = 1m (m₁ y₁ + m₂ y₂ ) .
По формулам (1.6), (1.7), (1.8), (1.9), выражаем координату центра масс системы через углы φ₁ , φ₂ .
y_C = 1m (m₁ y_r1 + m₂ y_r2 ) = 1m (– m₁ r sin φ₁ – m₂ R cos φ₂ ) .

Дифференцируем по времени.
^.φ₁ = π2 (3 – t² )^′_t = π2 (0 – 2t ) = – πt ;
^..φ₁ = (– πt )^′_t = – π ;
^.φ₂ = π3 (t² + 1 )^′_t = π3 ⋅ (2t + 0 ) = 2π3 t ;
^..φ₂ = 2π3 (t )^′_t = 2π3 ;
(sin φ₁ )^′_t ≡ d sin φ₁ dt = d sin φ₁ dφ₁ ⋅ dφ₁ dt = cos φ₁ ⋅ ^.φ₁ = ^.φ₁ cos φ₁ ;
(cos φ₁ )^′_t ≡ d cos φ₁ dt = d cos φ₁ dφ₁ ⋅ dφ₁ dt = – sin φ₁ ⋅ ^.φ₁ = – ^.φ₁ sin φ₁ ;
(sin φ₁ )^′′_tt ≡ ((sin φ₁ )^′_t )^′_t = (^.φ₁ cos φ₁ )^′_t = ^..φ₁ cos φ₁ + ^.φ₁ (cos φ₁ )^′_t =
^..φ₁ cos φ₁ – ^.φ²₁ sin φ₁ ;
(cos φ₁ )^′′_tt ≡ ((cos φ₁ )^′_t )^′_t = – (^.φ₁ sin φ₁ )^′_t = – ^..φ₁ sin φ₁ – ^.φ₁ (sin φ₁ )^′_t =
– ^..φ₁ sin φ₁ – ^.φ²₁ cos φ₁ ;
(sin φ₂ )^′′_tt = ^..φ₂ cos φ₂ – ^.φ²₂ sin φ₂ ;
(cos φ₂ )^′′_tt = – ^..φ₂ sin φ₂ – ^.φ²₂ cos φ₂ ;
m^..y_C = – m₁ r(sin φ₁ )^′′_tt – m₂ R(cos φ₂ )^′′_tt =
– m₁ r(^..φ₁ cos φ₁ – ^.φ²₁ sin φ₁ ) – m₂ R(– ^..φ₂ sin φ₂ – ^.φ²₂ cos φ₂ ) .

Подставим в (1.12) и преобразуем окончательно.
N = m ^..y_C + P = P – m₁ r(^..φ₁ cos φ₁ – ^.φ²₁ sin φ₁ ) – m₂ R(– ^..φ₂ sin φ₂ – ^.φ²₂ cos φ₂ ) =
P + m₁ r(π cos φ₁ + π² t² sin φ₁ ) + m₂ R( 2π3 sin φ₂ + ( 2πt3 )² cos φ₂ ) =
186, 4 + 3 ⋅ 0, 4(π cos φ₁ + π² t² sin φ₁ ) + 6 ⋅ 0, 8( 2π3 sin φ₂ + ( 2πt3 )² cos φ₂ ) =
186, 4 + 3, 8 ⋅ cos φ₁ + 11, 8 ⋅ t² sin φ₁ + 10, 1 ⋅ sin φ₂ + 21, 1 ⋅ t² cos φ₂ .

Ответ

x₃ = – 0, 2188 – 0, 0632 ⋅ cos φ₁ + 0, 2526 ⋅ sin φ₂ ;
N = 186, 4 + 3, 8 ⋅ cos φ₁ + 11, 8 ⋅ t² sin φ₁ + 10, 1 ⋅ sin φ₂ + 21, 1 ⋅ t² cos φ₂ ;
φ₁ = π2 (3 – t² ), φ₂ = π3 (t² + 1 ) .
Здесь x₃ выражено в метрах; N – в Ньютонах; t – в секундах.

Задача. Определение реакции в кривошипно-шатунном механизме

Условие задачи

В кривошипно-шатунном механизме кривошип OA и шатун AB представляют собой однородные стержни массой m₁ и длиной l . Ползун B массой m₂ движется в вертикальных направляющих. Определить вертикальную составляющую реакции шарнира O в функции угла φ , если кривошип вращается с постоянной угловой скоростью ω . Трением в направляющих ползуна пренебречь.

Решение

Дано: m₁ , m₂ , |OA| = |AB| = l , ω .

Найти: N_y(φ) .

Рассмотрим механическую систему, состоящую из кривошипа OA, шатуна AB и ползуна B. Применим к ней теорему о движении центра масс:
(2.1) m ⋅ ^→a_C = Σ_k ^→F^e_k .
Здесь ^→a_C – ускорение центра масс системы; ^→F^e_k – внешние силы; m = m_OA + m_AB + m_B = m₁ + m₁ + m₂ = 2m₁ + m₂ – масса системы.

Выберем систему координат Oxy с началом в шарнире O . Ось Oy направим вдоль направляющих ползуна.

Внешние силы, действующие на систему, состоящую из кривошипа, шатуна и ползуна — Внешние силы, действующие на систему

Рассмотрим внешние силы, действующие на систему. Это момент сил M , действующий на кривошип, поддерживающий угловую скорость ω постоянной; силы тяжести ^→P_OA = m₁ ^→g, ^→P_AB = m₁ ^→g, ^→P_B = m₂ ^→g кривошипа, шатуна и ползуна, направленные вертикально вниз, противоположно оси Oy ; сила реакции ^→N шарнира O ; сила реакции ^→N_B направляющих. Поскольку трением в направляющих можно пренебречь, то сила ^→N_B направлена перпендикулярно направляющим, то есть перпендикулярно оси Oy . Силу реакции ^→N разложим на составляющие ^→N_x , ^→N_y вдоль осей координат.

Подставим действовавшие на нашу систему силы в уравнение движения центра масс (2.1). m ⋅ ^→a_C = ^→P_OA + ^→P_AB + ^→P_B + ^→N_x + ^→N_y + ^→N_B .
Спроектируем это векторное уравнение на ось Oy .
m a_Cy = – P_OA – P_AB – P_B + 0 + N_y + 0 ;
m a_Cy = – m₁ g – m₁ g – m₂ g – N_y = N_y – mg .
Выразим ускорение центра масс через компоненты радиус-вектора центра масс ^→r_C (x_C , y_C ) .
^→a_C = (a_Cx , a_Cy ) = ^..^→r_C = (^..x_C , ^..y_c ) ;
m^..y_C = N_y – mg .
Отсюда
(2.2) N_y = m(g + ^..y_C ) .

Центры масс шатуна, кривошипа и ползуна.

Компоненту y_C радиус-вектора центра масс системы определим по формуле (1).
y_C = 1m (m_OA y_COA + m_AB y_CAB + m_B y_B ) =
1m (m₁ y_COA + m₁ y_CAB + m₂ y_B ) ;
(2.3) y_C = 1m (m₁ (y_COA + y_CAB ) + m₂ y_B ) .
Здесь C_OA , C_AB – центры масс кривошипа и шатуна; y_COA , y_CAB – их y - координаты. Ползун B мы считаем материальной точкой.

Поскольку кривошип OA и шатун AB являются однородными стержнями, то их центры масс C_OA , C_AB делят стержни пополам.
| OC_OA | = | C_OA A | , | AC_AB | = | C_AB B | .
Из геометрии находим y - координаты центров масс тел.
y_COA = | OC_OA | cos φ = 12 | OA | cos φ = 12 l cos φ ;
y_B = | OB | = | OA^′ | + | A^′B | = | OA | cos φ + | AB | cos φ = l cos φ + l cos φ = 2l cos φ ;
y_CAB = | OB | – | C_AB B | cos φ = | OB | – 12 | AB | cos φ = 2l cos φ – 12 l cos φ = 32 l cos φ .
Подставляем в (2.3).
my_C = m₁ (y_COA + y_CAB ) + m₂ y_B = m₁ ( 12 l cos φ + 32 l cos φ ) + m₂ 2l cos φ =
2m₁ cos φ + 2m₂ l cos φ = 2(m₁ + m₂ )l cos φ ;
(2.4) my_C = 2(m₁ + m₂ )l cos φ .

Дифференцируем (2.4) по времени учитывая, что угловая скорость ω = ^.φ является постоянной.
d cos φdt = d cos φdφ ⋅ dφdt = – sin φ ⋅ ω = – ω sin φ ;
d sin φdt = d sin φdφ ⋅ dφdt = cos φ ⋅ ω = ω cos φ ;
m^.y_C = 2(m₁ + m₂ )l d cos φdt = – 2ω(m₁ + m₂ )l sin φ ;
m^..y_C = – 2ω(m₁ + m₂ )l d sin φdt = – 2ω² (m₁ + m₂ )l cos φ .

Отсюда находим вторую производную по времени y - координаты центра масс системы.
^..y_C = – 2(m₁ + m₂ )m ω² l cos φ .
Подставляя в (2.2), находим искомую вертикальную составляющую реакции шарнира.
N_y = m(g + ^..y_C ) = mg – 2(m₁ + m₂ )ω² l cos φ .

Ответ

N_y = (2m₁ + m₂ )g – 2(m₁ + m₂ )ω² l cos φ .

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 08-10-2022