Методы решения физико-математических задач

Доказательство формулы производной сложной функции

Производная сложной функции
Приводится доказательство формулы производной сложной функции. Подробно рассмотрены случаи, когда сложная функция зависит от одной и двух переменных. Производится обобщение на случай произвольного числа переменных.

Основные формулы

Здесь мы приводим вывод следующих формул для производной сложной функции.
Пусть функцию можно представить как композицию двух функций   и  :  . Тогда
.
Если   , то
.
Если   , то
.

В другой системе обозначений приведенные выше формулы можно записать так.
,
,
.

Теорема. Производная сложной функции от одной переменной

Пусть функция имеет производную при некотором значении переменной , а функция имеет производную при значении переменной .
Тогда сложная (составная) функция имеет производную в точке , которая определяется по формуле:
(1.1)   .

Формулу (1.1) также можно записать так:
;
.

Доказательство

Выберем значение , удовлетворяющее условию теоремы. Далее считаем, что фиксировано. То есть все последующие выкладки будем выполнять при одном и том же значении . Тогда тоже будет фиксировано.

Область определения сложной функции

Покажем, что существует такая окрестность точки , в которой определена сложная функция .
Поскольку существует производная , то функция определена в некоторой окрестности точки , то есть при
,
где .
Поскольку существует производная , то функция определена в некоторой окрестности точки . Также она дифференцируема в и, согласно свойству дифференцируемых функций, непрерывна в :
(1.2)   ,
где .
Согласно определению предела, из (1.2) следует, что существует такая окрестность точки , принадлежащая области определения , в которой
(1.3)   при ,
где .
А поскольку при функция определена, то сложная функция определена в окрестности точки , то есть при .

Формула производной

Теперь покажем, что .
Поскольку существуют производные и , то функции и дифференцируемы в точках и , соответственно. По определению дифференцируемой функции,
(1.4)   ,
(1.5)   ,
где и – бесконечно малые функции:
(1.6)   ;
(1.7)   .
Подставим (1.5) в (1.4).
(1.8)   .

Находим производную . Для этого сначала преобразуем отношение .

.
Используем (1.8).
.
Теперь находим предел при .


;
(1.9)   .
Здесь мы применили (1.7) и свойства пределов суммы и произведения учитывая, что .
В силу непрерывности функции в точке , при . Делая замену переменной в оставшемся пределе и применяя (1.6), находим.
.
С учетом этого, из (1.9) находим:
.

Формула (1.1) доказана.

Следствие

Если функцию от переменной x можно представить как сложную функцию от сложной функции
,
то ее производная определяется по формуле:
(С.1)   .
Здесь , и есть некоторые дифференцируемые функции в точках , соответственно.
Эту формулу можно записать так:
.

Чтобы доказать (С.1), мы последовательно вычисляем производную по правилу дифференцирования сложной функции.
Рассмотрим сложную функцию
.
Ее производная
.
Рассмотрим исходную функцию
.
Ее производная
.

Производная сложной функции от двух переменных

Теперь пусть сложная функция зависит от нескольких переменных. Вначале рассмотрим случай сложной функции от двух переменных.

Теорема
Пусть функции имеют производную при некотором значении переменной , а функция , зависящая от двух переменных, дифференцируема в точке .
Тогда сложная функция имеет производную в точке , которая определяется по формуле:
(2.1)   .

Формулу (2.1) можно записать так:
.

Доказательство

Область определения сложной функции

Покажем, что существует такая окрестность точки , в которой определена сложная функция .
Поскольку функция дифференцируема в точке , то она определена в некоторой окрестности этой точки. Обрежем эту окрестность так, чтобы она имела форму квадрата со стороной . То есть считаем, что определена в окрестности точки , которая дается неравенствами
(2.2)   ;
(2.3)   .

Поскольку существует производная , то функция определена в некоторой окрестности точки . Также она дифференцируема в и, согласно свойству дифференцируемых функций, непрерывна в :
(2.4)   ,
где .
Согласно определению предела, из (2.4) следует, что существует такая окрестность точки , принадлежащая области определения , в которой
(2.5)   при .

Рассуждая совершенно аналогичным способом для функции приходим к выводу, что существует такая окрестность точки , принадлежащая области определения , в которой
(2.6)   при .

Возьмем . На основании (2.5) и (2.6) имеем:
и при .
То есть выполняются неравенства (2.2) и (2.3). Это означает, что при определена сложная функция .

Формула производной

Теперь покажем, что .
Поскольку существуют производные и , то функции и дифференцируемы в точке . По определению дифференцируемой функции
(2.7)   ,
(2.8)   ,
где и – бесконечно малые функции:
(2.9)   ;
(2.10)   .
По условию теоремы дифференцируема в точке . Тогда ее приращение в этой точке можно представить в следующем виде.
(2.11)   , где
(2.12)   .
Здесь мы для краткости отбросили аргументы производных: .
Подставим (2.7), (2.8) в (2.11).
(2.13)  
.
Здесь также .

Находим производную . Для этого сначала преобразуем отношение .


.
Используем (2.13).

.
Теперь находим предел при .


;
(2.14)   .
Здесь мы применили (2.9), (2.10) и свойства пределов суммы и произведения учитывая, что .
В силу непрерывности функций и в точке , и при . Делая замену переменной в оставшемся пределе и применяя (2.12), находим.
.
С учетом этого, из (2.14) находим:
.

Формула (2.1) доказана.

Производная сложной функции от нескольких переменных

Приведенный выше вывод легко обобщается на случай, когда число переменных сложной функции больше двух.

Например, если g является функцией от трех переменных, то
,
где
, и есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x;
– дифференцируемая функция, от трех переменных, в точке , , .
Тогда, из дифференцируемости функции , имеем:
(3.1)  
,
где
.
В силу непрерывности ,
;   ;   .
Тогда
;
;
.

Разделив (3.1) на и выполнив предельный переход , получим:
.
Или
.

И, наконец, рассмотрим самый общий случай.
Пусть функцию от переменной x можно представить как сложную функцию от n переменных в следующем виде:
,
где
есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x;
– дифференцируемая функция от n переменных в точке
.
Тогда
.
Или
.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

Меню