Определение производной функции в точке

Определение производной функции в точке. Примеры вычисления производных, используя определение. Односторонние производные справа и слева. Лемма об односторонних производных.

Определение производной

Производная функции в точке

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀.
Производной f′(x₀) функции f(x) в точке x₀ называется конечный предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, когда последний стремится к нулю:
(1)   .

Приращение аргумента функции

в точке x₀ – это разность значений аргумента в некоторой точке и точке x₀:
.
Приращение аргумента является независимой переменной.

Приращение функции

в точке x₀ – это разность значений функции в некоторой точке и точке x₀: .
Приращение функции является зависимой переменной. Оно зависит от и , или от и .

Дифференцирование

– это процесс вычисления производной.

В определении (1), приращение аргумента является одной переменной, хотя ее обозначение состоит из двух букв: и . Обычно переменную принято обозначать одной буквой или буквой с одним или несколькими индексами. Но приращение в математическом анализе настолько часто встречается, что его обозначают с небольшим нарушением правил. Приращение функции также является одной переменной.

В приведенных выше определениях, является независимой переменной, а – зависимой. зависит от двух переменных. Если использовать выражение , то приращение функции зависит от переменных x₀ и . Если использовать , то зависит от x₀ и . Но когда мы вычисляем производную в заданной точке x₀, то считаем, что x₀ является постоянной. Тогда является функцией, зависящей только от одной переменной . Таким образом задача о нахождении производной в точке x₀ сводится к задаче о вычислении предела от функции , зависящей от одной переменной при , или от функции , зависящей от одной переменной при .

В правой части (1) мы сделали замену, и перешли от переменной к переменной . Тогда . При ,
.

После того, как мы нашли производную в заданной точке, то x₀ уже можно считать не фиксированным числом, а переменной. То есть предел (1) можно рассматривать как функцию от x₀. Для удобства можно заменить обозначение переменной с x₀ на x. Тогда (1) примет вид:
.
Такая запись более удобна для восприятия в тех случаях, когда мы рассматриваем производную как функцию от той точки, в которой она вычисляется. Хотя от переобозначения переменной ничего не меняется.

Еще раз подчеркнем, что выражение является функцией от двух переменных: x и . А выражение , полученное после вычисления предела, зависит только от одной переменной x.

Ниже приводятся примеры вычислений производных ⇓, используя определение ⇑.

Обозначение производной

Обозначение Лагранжа

Наиболее популярным является обозначение Лагранжа. Производную функции обозначают как и саму функцию, добавляя штрих после ее характеристики: . Если функция задана алгебраическим выражением, то это выражение заключают в скобки, и ставят знак штриха справа за закрывающей скобкой: . При этом производная также является функцией от той же переменной x, что и . Правда область определения производной может не совпадать с областью определения функции, а является ее подмножеством.

Напомним, что в обозначении функции фигурируют три символа: независимая переменная, характеристика функции и зависимая переменная (см. «Определение функции»). Так, в выражении
(2)   ,
x является независимой переменной, или аргументом функции; f   – характеристикой функции; y   – зависимой переменной, или значением функции. Обозначение зависимой переменной может совпадать или не совпадать с обозначением характеристики. Производную функции (2) обозначают так:
.

Независимую переменную производной обозначают так же, как и независимую переменную функции. В нашем случае это x.

Характеристику производной обозначают тем же символом, что и характеристику функции, добавляя штрих справа: .

Зависимую переменную производной обозначают аналогично характеристике, добавляя штрих к обозначению зависимой переменной функции. Так, для примера (2), это будет : .

Если функция зависит от нескольких переменных, например
(3)   ,
но все кроме одной считают постоянными, то к характеристике производной добавляют нижний индекс, обозначающий ту переменную, по которой вычисляют производную. При этом знак штриха может быть опущен. Например, следующие два обозначения эквивалентны: . Здесь подразумевается, что переменные и мы считаем постоянными. Тогда в данном контексте, является функцией от одной переменной . К зависимой переменной производной также добавляют нижний индекс переменной, по которой выполняется дифференцирование:
.
Подобные производные функций от нескольких переменных называются частными производными. Детально они будут рассмотрены позже.

Нижний индекс добавляют и при вычислениях, связанных со сложными функциями. Пусть, например, функцию можно представить как сложную: , составленную из двух функций: и . При этом множества значений функций и совпадают. Поэтому их удобно обозначить одной переменной y. Тогда производную от y, выраженную через переменную x, обозначают как :
.
А производную от y, выраженную через переменную , обозначают как :
.

Обозначение производной по времени в физике

В механике и физике, производную по времени обозначают не штрихом, а точкой над зависимой переменной. Обычно время обозначают буквой t. Тогда
.

Обозначение Лейбница

В способе Лейбница, зависимую переменную обозначают в форме отношения дифференциалов:
.
Этот способ удобен, поскольку указывает, по какой переменной ведется дифференцирование. Такой способ применяется только для функций от одной переменной. Для функций от многих переменных используют обозначение частной производной: .

Иногда в форме дифференциалов обозначают характеристику производной, добавляя справа аргумент:
.
Однако этот способ скорее неудачен, и может привести к путанице.

Обозначение Коши

Также, для обозначения производной, используют обозначение Коши:
.
Но мы не будем им пользоваться.

Существование производной

Рассмотрим вопрос о существовании предела, который используется при вычислении производной, при заданном значении x₀:
(4)   .
Здесь могут возникнуть три случая:
1) в точке x₀ существует конечный предел (4);
2) существует бесконечный предел или ;
3) предела (4) не существует.

1) Если существует конечный предел (4), то говорят, что функция имеет производную в точке x₀.

2) Если в некоторой точке x₀ существует бесконечный предел (4), то говорят, что производной в этой точке не существует. Это согласуется с определением, ⇑ в котором указано, что производной называется конечный предел. Однако при этом говорят, что функция f имеет в точке x₀ бесконечную производную, равную или . Здесь стоит обратить внимание на различие в определении предела и производной. Возможна ситуация, когда предел (4) существует (равный бесконечности), но при этом производная не существует (хотя существует ее значение, равное бесконечности).
См. пример ⇓.

3) Если предела (4) не существует, то функция не имеет производной в точке x₀.

Производные справа и слева

Определение

Правая (левая) производная функции f в точке x₀

Пусть функция f(x) определена в правой окрестности точки x₀. Тогда правой производной функции f в точке x₀ называется правый предел
.
Соответственно, если функция определена в левой окрестности x₀, то левой производной функции f в точке x₀ называется левый предел
.
Правую (левую) производную также называют производной справа (слева) в точке x₀, или правосторонней (левосторонней) производной в точке x₀.

См. пример ⇓.

Примеры вычисления производной, используя определение

Все примеры Здесь и далее мы приводим подробные решения примеров, в которых нужно вычислить производную функции , используя определение производной ⇑.
  решение ⇓ ;    ⇓ ;    ⇓ .

Пример

Все примеры ⇑ Найти производную функции , используя определение производной.

Решение

Функция определена для всех x. Поэтому она определена в любой окрестности любой точки x₀. Используем определение (1). Считаем, что x₀ – фиксированное число, то есть что его значение задано. Найдем приращение функции в точке x₀:

.
Находим отношение приращения функции к приращению ее аргумента:
.
Находим предел функции , зависящей от переменной . При этом считаем, что x₀ является фиксированным, заданным числом:
.

Итак, мы нашли производную:
.
Теперь можно считать переменной, обозначим ее буквой x:
.
Поскольку вычисленный нами предел существует, и является конечным числом для всех x, то функция имеет производную для всех значений аргумента x.

Ответ

.

Пример бесконечной производной +∞

Все примеры ⇑ Найдем производную функции .

Решение

Функция определена для всех x. Найдем отношение приращения функции к приращению ее аргумента в точке x₀:
.
Применим формулу . Тогда
;
(5)   .
Считаем, что x₀ является фиксированным числом. Тогда отношение является функцией от одной переменной : . При она определена для всех . При она определена для всех .

Пусть . Тогда:
.
Пусть . Подставим в (5) :
.
Поскольку , то
.

Ответ

Таким образом мы нашли, что функция имеет производную для всех . При функция не имеет производной, она равна .

Пример

Все примеры ⇑ Найдем производную функции . Покажем, что несмотря на то, что функция определена для всех x, ее производная в точке не существует.

Решение

Функция определена для всех значений аргумента x. Поэтому она определена в любой окрестности произвольной точки x₀.

1. Пусть . Тогда ,
.

2. Пусть . Тогда ,

.

3. Рассмотрим точку . В ней
.
Найдем производную справа в точке . При этом ,
.
Теперь найдем производную слева в точке . В этом случае ,
.

Итак, мы нашли, что односторонние производные в точке существуют, но они не равны друг другу:
.
Согласно следствию леммы об односторонних производных, производной функции в точке не существует.

Ответ

;
;
.
В точке производная не существует.

Использованная литература:
Г.Е. Иванов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, МФТИ, 2018.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 05-12-2020   Изменено: 23-02-2024