Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Даны определения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (однородных, неоднородных и общее определение). Рассмотрены свойства их решений.

Содержание

Определения

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами: – это уравнение, линейное относительно зависимой переменной y и ее производных:
(1) a_n y^(n ) + a_n – 1 y^{(n – 1 )} + ⋅ ⋅ ⋅ + a₁ y^′ + a₀ y = f (x ) ; a_i = const; a_n ≠ 0 .
Здесь a_i – постоянные, не зависящие от x коэффициенты. Член f (x ) называется неоднородной частью уравнения.
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами: – это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, неоднородная часть которого равна нулю:
(2) a_n y^(n ) + a_n – 1 y^{(n – 1 )} + ⋅ ⋅ ⋅ + a₁ y^′ + a₀ y = 0; a_i = const; a_n ≠ 0 .
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами: – это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами с отличной от нуля неоднородной частью:
(3) a_n y^(n ) + a_n – 1 y^{(n – 1 )} + ⋅ ⋅ ⋅ + a₁ y^′ + a₀ y = f (x ) ; f (x ) ≠ 0; a_i = const; a_n ≠ 0 .

Здесь все коэффициенты a_i – постоянные. n – порядок уравнения.

Свойства решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Однородные уравнения

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение:
(2) a_n y^(n ) + a_n – 1 y^{(n – 1 )} + ⋅ ⋅ ⋅ + a₁ y^′ + a₀ y = 0 .
Общее решение такого уравнения можно записать в виде:
y = C₁ y₁ + C₂ y₂ + ⋅ ⋅ ⋅ C_n – 1 y_n – 1 + C_n y_n ,
где y₁ , y₂ , ..., y_n – 1 , y_n – линейно независимые частные решения уравнения. Каждое из них удовлетворят уравнению (2):
a_n y^(n )_i + a_n – 1 y^{(n – 1 )}_i + ⋅ ⋅ ⋅ + a₁ y^′_i + a₀ y_i = 0 .
В этом случае говорят, что функции y₁ , y₂ , ..., y_n – 1 , y_n образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения.

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения: – это n линейно независимых функций y₁ (x ) , y₂ (x ) , ..., y_n – 1 (x ) , y_n (x ) , каждая из которых является решением этого уравнения. Здесь n – порядок уравнения.
Линейно независимые функции: Функции y₁ (x ) , y₂ (x ) , ..., y_n – 1 (x ) , y_n (x ) называются линейно независимыми, если соотношение
α₁ y₁ (x ) + α₂ y₂ (x ) + ⋅ ⋅ ⋅ + α_n – 1 y_n – 1 (x ) + α_n y_n (x ) = 0
может выполняться только когда все постоянные α₁ , α₂ , ..., α_n – 1 , α_n равны нулю.
Линейно зависимые функции: Функции y₁ (x ) , y₂ (x ) , ..., y_n – 1 (x ) , y_n (x ) называются линейно зависимыми, если между ними имеет место линейная зависимость:
α₁ y₁ (x ) + α₂ y₂ (x ) + ⋅ ⋅ ⋅ + α_n – 1 y_n – 1 (x ) + α_n y_n (x ) = 0 ,
где α₁ , α₂ , ..., α_n – 1 , α_n – постоянные, из которых хотя бы одна отлична от нуля.

Неоднородные уравнения

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
(3) a_n y^(n ) + a_n – 1 y^{(n – 1 )} + ⋅ ⋅ ⋅ + a₁ y^′ + a₀ y = f (x ) .
Пусть Y – частное решение этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (3) равно сумме общего решения однородного уравнения плюс частное решение неоднородного:
y = y₀ + Y = C₁ y₁ + C₂ y₂ + ⋅ ⋅ ⋅ + C_n – 1 y_n – 1 + C_n y_n + Y .
Здесь y₀ = C₁ y₁ + C₂ y₂ + ⋅ ⋅ ⋅ + C_n – 1 y_n – 1 + C_n y_n – общее решение однородного уравнения:
a_n y₀ ^(n ) + a_n – 1 y₀ ^{(n – 1 )} + ⋅ ⋅ ⋅ + a₁ y^′₀ + a₀ y₀ = 0 ;
C_i – произвольные постоянные; Y – частное (любое) решение неоднородного уравнения:
a_n Y^(n ) + a_n – 1 Y^{(n – 1 )} + ⋅ ⋅ ⋅ + a₁ Y^′ + a₀ Y = f (x ) .

Часто встречается случай, когда неоднородная часть f (x ) может быть представлена в виде суммы функций:
f (x ) = f ₁ (x ) + f ₂ (x ) + f ₃ (x ) + ⋅ ⋅ ⋅ .
Тогда частное решение Y также может быть представлено в виде суммы частных решений:
Y = Y₁ + Y₂ + Y₃ + ⋅ ⋅ ⋅ ,
каждое из которых удовлетворяет уравнению с правой частью в виде одной из функций f _i (x ) :
a_n Y^(n )_i + a_n – 1 Y^{(n – 1 )}_i + ⋅ ⋅ ⋅ + a₁ Y^′_i + a₀ Y_i = f _i (x ) .
Как правило, проще найти частные решения от более простых неоднородных частей. Затем, суммируя их, получить частное решение всего уравнения.

Решение линейных уравнений с постоянными коэффициентами

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:
a_n y^(n ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a₂ y^′′ + a₁ y^′ + a₀ y = 0 .
Считаем, что коэффициенты a_i – действительные числа. Как указывалось выше, чтобы найти общее решение этого уравнения, нужно найти n линейно независимых решений y_i (x ) {i = 1, 2, ..., n } , которые образуют фундаментальную систему решений. Тогда общее решение определится по формуле:
y = C₁ y₁ (x ) + C₂ y₂ (x ) + ⋅ ⋅ ⋅ + C_n y_n (x ) .

Ищем решение в виде y = e^kx . Получаем характеристическое уравнение:
(4) a_n kⁿ + a_n – 1 k^n – 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a₂ k² + a₁ k + a₀ = 0 .

Если это уравнение имеет различные корни k_m {m = 1, 2, ..., n } , то фундаментальная система решений имеет вид:
e^k₁ x , e^k₂ x , ..., e^{k_n – 1 x} , e^k_n x .

Если имеется комплексный корень
k_m = k^′_m + ik^′′_m
(и все коэффициенты a_i действительные числа), то существует и комплексно сопряженный корень k^*_m = k^′_m – ik^′′_m . Этим корням соответствуют два линейно независимых решения y = e^{k^′_mx} ⋅ cos ( k^′′_mx ) и y = e^{k^′_mx} ⋅ sin ( k^′′_mx ) , которые включаем в фундаментальную систему вместо комплексных решений y = e^k_m x и y = e^{k^*_m x} .

Кратным корням k_m = k_m + 1 = ... = k_{m + r – 1} кратности r соответствуют r линейно независимых решений: e^k_m x , xe^k_m x , x² e^k_m x , ..., x^r – 1 e^k_m x .

Кратным комплексным корням k^′_m + ik^′′_m = k^′_m + 1 + ik^′′_m + 1 = ... = k^′_{m + r – 1} + ik^′′_{m + r – 1} кратности r и их комплексно сопряженным значениям соответствуют 2r линейно независимых решений: e^{k^′_mx} ⋅ cos ( k^′′_mx ) , e^{k^′_mx} ⋅ sin ( k^′′_mx ) , xe^{k^′_mx} ⋅ cos ( k^′′_mx ) , xe^{k^′_mx} ⋅ sin ( k^′′_mx ) , ...,
x^r – 1 e^{k^′_mx} ⋅ cos ( k^′′_mx ) , x^r – 1 e^{k^′_mx} ⋅ sin ( k^′′_mx ) .

См. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Уравнения со специальной неоднородной частью

Рассмотрим линейное уравнение с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью следующего вида:
a_n y^(n ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a₂ y^′′ + a₁ y^′ + a₀ y = e^αx ⋅ [ P_s1 (x ) cos (βx ) + Q_s2 (x ) sin (βx ) ] ,
где P_s1 (x ) , Q_s2 (x ) – многочлены степеней s1 и s2 ; α, β – постоянные.

Как указывалось выше, для получения его общего решения, нужно найти общее решение y₀ (x ) однородного уравнения
a_n y^(n )₀ + ⋅ ⋅ ⋅ + a₂ y^′′₀ + a₁ y^′₀ + a₀ y₀ = 0 .
Затем найти частное (любое) решение Y (x ) исходного неоднородного уравнения
a_n Y^(n ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a₂ Y^′′ + a₁ Y^′ + a₀ Y = e^αx ⋅ [ P_s1 (x ) cos (βx ) + Q_s2 (x ) sin (βx ) ] .
Тогда общее решение y (x ) неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного:
y (x ) = y₀ (x ) + Y (x ) .

Сначала решаем однородное уравнение. Если характеристическое уравнение (4) не содержит корень k = α + iβ , то ищем частное решение в виде:
Y (x ) = e^αx ⋅ [^~P_s (x ) cos (βx ) + ^~Q_s (x ) sin (βx ) ] ,
где
^~P_s (x ) = A₀ + A₁ x + A₂ x² + ⋅ ⋅ ⋅ + A_s x^s ;
^~Q_s (x ) = B₀ + B₁ x + B₂ x² + ⋅ ⋅ ⋅ + B_s x^s ;
s – наибольшее из s1 и s2 .

Если характеристическое уравнение (4) имеет корень k = α + iβ кратности r , то ищем частное решение в виде:
Y (x ) = x^r ⋅ e^αx ⋅ [^~P_s (x ) cos (βx ) + ^~Q_s (x ) sin (βx ) ] .

После этого получаем общее решение:
y (x ) = y₀ (x ) + Y (x ) .

См. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

Наконец рассмотрим методы решения неоднородных уравнений с произвольной неоднородной частью:
a_n y^(n ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a₂ y^′′ + a₁ y^′ + a₀ y = f (x ) ,
где f (x ) – произвольная функция. Возможны три способа решения.

1) Метод Бернулли.
Сначала находим любое, отличное от нуля, решение однородного уравнения
a_n v^(n ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a₂ v^′′ + a₁ v^′ + a₀ v = 0 .
Затем делаем подстановку
y = uv ,
где u = u (x ) – функция от переменной x . Получаем дифференциальное уравнение для u , которое содержит только производные от u по x . Делая замену z = u^′ , получаем уравнение n – 1 - го порядка.

См. Решение дифференциальных уравнений высших порядков методом Бернулли

2) Метод линейной подстановки.
Делаем подстановку
u = y^′ – k₁ y ,
где k₁ – один из корней характеристического уравнения (4). В результате получим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами порядка n – 1 . Последовательно применяя такую подстановку, приведем исходное уравнение к уравнению первого порядка.

См. Понижение порядка в линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами
Пример решения ЛНДУ с действительными корнями характеристического уравнения
Пример решения ЛНДУ с комплексными корнями характеристического уравнения

3) Метод вариации постоянных Лагранжа.
В этом методе сначала решаем однородное уравнение (2), решение которого имеет вид:
y = C₁ y₁ (x ) + C₂ y₂ (x ) + ⋅ ⋅ ⋅ + C_n y_n (x ) .
Далее считаем, что постоянные C_m являются функциями от переменной x :
y = S₁ (x ) y₁ (x ) + S₂ (x ) y₂ (x ) + ⋅ ⋅ ⋅ + S_n (x ) y_n (x ) .
Подставляя в исходное уравнение и накладывая на S_m (x ) некоторые ограничения, получаем уравнения, из которых можно найти функции S_m (x ) , а с ними и общее решение исходного уравнения.

См. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом Лагранжа
Примеры решений ЛНДУ второго порядка методом Лагранжа

Уравнение Эйлера

a_n xⁿ y^(n ) + a_n – 1 x^n – 1 y^{(n – 1 )} + ⋅ ⋅ ⋅ + a₂ x² y^′′ + a₁ xy^′ + a₀ y = f (x )
Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:
x = e^t .
Однако, для решения уравнения Эйлера, делать такую подстановку нет необходимости. Можно сразу искать решение однородного уравнения в виде
y = x^k .
В результате получим такие же правила, как и для уравнения с постоянными коэффициентами, в которых вместо переменной x нужно подставить ln x .

См. Дифференциальное уравнение Эйлера и методы его решения
Примеры решений однородных дифференциальных уравнений Эйлера
Пример решения неоднородного дифференциального уравнения Эйлера методом вариации постоянных

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 20-07-2013 Изменено: 27-02-2026