Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Определения
- Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
- – это уравнение, линейное относительно зависимой переменной y и ее производных:
(1) .
Член f(x) называется неоднородной частью уравнения.
- Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
- – это уравнение вида (1), неоднородная часть которого равна нулю:
.
- Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
- – это уравнение вида (1) с отличной от нуля неоднородной частью:
.
Здесь все коэффициенты ai – постоянные. n – порядок уравнения.
Свойства решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Однородные уравнения
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение:
(2) .
Общее решение такого уравнения можно записать в виде:
,
где – линейно независимые частные решения уравнения (2). Каждое из них удовлетворят уравнению (2):
.
В этом случае говорят, что функции образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения (2).
- Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения
- (2) – это n линейно независимых функций , каждая из которых является решением этого уравнения.
- Линейно независимые функции
- – это такие функции, для которых соотношение
может выполняться только если все постоянные равны нулю.
- Линейно зависимые функции
- – это функции, между которыми имеет место линейная зависимость:
,
где – постоянные, из которых хотя бы одна отлична от нуля.
Неоднородные уравнения
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
(3) .
Пусть Y – частное решение этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (3) равно сумме общего решения однородного уравнения плюс частное решение неоднородного:
.
Здесь – общее решение однородного уравнения:
;
Y – частное (любое) решение неоднородного уравнения:
.
Часто встречается случай, когда неоднородная часть может быть представлена в виде суммы функций:
.
Тогда частное решение Y также может быть представлено в виде суммы частных решений:
,
каждое из которых удовлетворяет уравнению с правой частью в виде одной из функций :
.
В некоторых случаях бывает легче решать отдельные частные решения от более простых неоднородных частей, а затем получать частное решение для всего уравнения, суммированием полученных частных решений.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: