Методы решения физико-математических задач

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Рассмотрен способ решения линейных однородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами. Представлены примеры решений.

Метод решения

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:
(1)   .
Его решение можно получить следуя общему методу понижения порядка.

Однако проще сразу получить фундаментальную систему n линейно независимых решений и на ее основе составить общее решение. При этом вся процедура решения сводится к следующим шагам.

Ищем решение уравнения (1) в виде . Получаем характеристическое уравнение:
(2)   .
Оно имеет n корней. Решаем уравнение (2) и находим его корни . Тогда характеристическое уравнение (2) можно представить в следующем виде:
(3)   .
Каждому корню соответствует одно из линейно независимых решений фундаментальной системы решений уравнения (1). Тогда общее решение исходного уравнения (1) имеет вид:
(4)   .

Действительные корни

Рассмотрим действительные корни. Пусть корень однократный. То есть множитель входит в характеристическое уравнение (3) только один раз. Тогда этому корню соответствует решение
.

Пусть – кратный корень кратности p. То есть
. В этом случае множитель входит в характеристическое уравнение (3) ⇑ p раз:
.
Этим кратным (одинаковым) корням соответствуют p линейно независимых решений исходного уравнения (1):
;   ;   ;   ...;   .

Комплексные корни

Рассмотрим комплексные корни характеристического уравнения (3) ⇑. Выразим комплексный корень через действительную и мнимую части:
.
Поскольку коэффициенты исходного уравнения (1) ⇑ действительные, то кроме корня имеется комплексно сопряженный корень
.

Пусть комплексный корень однократный. Тогда паре корней соответствуют два линейно-независимых решения уравнения (1) ⇑:
;   .

Пусть – кратный комплексный корень кратности p. Тогда комплексно сопряженное значение также является корнем характеристического уравнения кратности p и множитель входит в разложение на множители (3) ⇑ p раз:
.
Этим 2p корням соответствуют 2p линейно независимых решений:
;   ;   ;   ...   ;
;   ;   ;   ...   .

После того как фундаментальная система линейно независимых решений найдена, по формуле (4) ⇑ получаем общее решение уравнения (1) ⇑.

Примеры решений задач

Пример 1

Решить уравнение:
.

Решение

Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение:
.
Преобразуем его:
;
;
.

Рассмотрим корни этого уравнения. Мы получили четыре комплексных корня кратности 2:
;   .
Им соответствуют четыре линейно-независимых решения исходного уравнения:
;   ;   ;   .

Также мы имеем три действительных корня кратности 3:
.
Им соответствуют три линейно-независимых решения:
;   ;   .

Общее решение исходного уравнения имеет вид:
.

Ответ

.

Пример 2

Решить уравнение

Решение

Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение:
.
Решаем квадратное уравнение.
.

Мы получили два комплексных корня:
.
Им соответствуют два линейно-независимых решения:
.
Общее решение уравнения:
.

Ответ

.     Опубликовано: