Методы решения физико-математических задач

Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью

Линейные дифференциальные уравнения со специальной неоднородностью
Рассмотрен метод решения линейных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью, содержащей комбинации из многочленов, экспонент, синусов и косинусов. Установлен вид частного решения.

Определение общего решения по известному частному решению

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами n-го порядка:
(1)   ,
где – действительные числа; – действительная функция. Если известно частное (любое) решение уравнения (1), то можно найти его общее решение по формуле:
,
где – общее решение однородного уравнения:
.

Если неоднородная часть может быть представлена в виде суммы функций:
,
то частное решение также может быть представлено в виде суммы частных решений:
,
каждое из которых удовлетворяет уравнению с правой частью в виде одной из функций :
.

Как правило, легче найти частные решения от более простых неоднородных частей, а затем получить частное решение для всего уравнения суммированием полученных частных решений.

Метод решения линейных ДУ с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение со специальной неоднородной частью в виде комбинации многочленов, экспоненты, синусов и косинусов:
(2)   ,
где – многочлены степеней и , соответственно:
;
;
– известные коэффициенты.

Это уравнение можно решить общим методом понижения порядка. Однако существует более простой способ, основанный на том, что частное решение такого уравнения имеет определенный вид. Суть этого метода заключается в следующем.

Вначале ищем общее решение однородного уравнения:
(3)   .

Далее устанавливаем вид частного решения исходного уравнения (2). Оно выражается через многочлены, экспоненту, синусы и косинусы, которые входят в частное решение с неизвестными коэффициентами. Установив вид частного решения, подставляем в уравнение (2). Приравнивая левую и правую части, находим неизвестные коэффициенты.

После этого общее решение исходного уравнения (2) равно сумме общего решения однородного уравнения плюс частное решение неоднородного:
.

Установление вида частного решения

Установим вид частного решения уравнения (2). Для этого вначале ищем решение однородного уравнения (3) в виде . В результате, для k, получаем уравнение, которое называется характеристическим уравнением:
(4)   .
Решаем это уравнение. Получаем n корней . Тогда характеристическое уравнение (4) можно представить в виде произведения множителей:
(5)   .

Часть корней (или все) в (5) могут быть комплексными. Поэтому выразим корень через действительную и мнимую части:
.
Для действительного корня .

Некоторые корни в (5) могут быть кратными:
.
Здесь p – кратность корня. Кратный корень кратности p входит в произведение (5) в виде множителя .

Если среди корней характеристического уравнения (4) нет корня со значением
,
то частное решение уравнения (2) имеет вид:
,
где – наибольшее из и .
,

– многочлены степени s с неизвестными коэффициентами , которые подлежат определению подстановкой в уравнение (2).

Если среди корней характеристического уравнения (4) есть корень кратности p со значением

то частное решение уравнения (2) имеет вид:
,
где также – наибольшее из и .
,

– многочлены степени s с неизвестными коэффициентами .

Когда вид частного решения установлен, подставляем Y в уравнение (2) и находим неизвестные коэффициенты , приравнивая левую и правую части уравнения. После чего получаем общее решение уравнения (2):
.

Далее рассмотрен пример решения неоднородного дифференциального уравнения со специальной неоднородной частью.

Частные случаи

Неоднородность в виде многочлена

Теперь рассмотрим некоторые более простые виды специальной неоднородности. Начнем с неоднородной части в виде многочлена:
,
где – многочлен степени s. Этот случай принадлежит к общему виду специальной неоднородности (2), в котором . Основываясь на вышеизложенном, получаем следующие правила составления вида частного решения.

Если среди корней характеристического уравнения (4) нет нулевого корня
,
то частное решение имеет вид:
.
То есть оно является многочленом степени s с неопределенными коэффициентами .

Если характеристическое уравнение (4) имеет нулевой корень кратности p:
,
то частное решение имеет вид:
.

Неоднородность в виде произведения экспоненты и многочлена

Теперь рассмотрим неоднородную часть в виде произведения многочлена степени s и экспоненты:
.
Этот случай принадлежит к общему виду (2), в котором .

Если среди корней характеристического уравнения нет действительного корня со значением α:
,
то частное решение является произведением многочлена степени s и экспоненты:
.

Если характеристическое уравнение (4) имеет действительный корень α кратности p:
,
то частное решение имеет вид:
.

Неоднородность в виде суммы произведений многочленов на косинус и синус

Наконец рассмотрим неоднородную часть в виде суммы произведений многочленов степеней на косинус и синус:
.
Этот случай принадлежит к общему виду (2), в котором .

Если среди корней характеристического уравнения нет чисто мнимого корня со значением :
,
то частное решение является суммой произведений многочленов, косинуса и синуса:
,
где – наибольшее из и .
,

– многочлены степени s с неизвестными коэффициентами .

Если характеристическое уравнение (4) имеет чисто мнимый корень кратности p:
,
то частное решение имеет вид:
.
То есть частное решение как и в предыдущем случае, но умноженное на .

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

Меню