Основные понятия и определения дифференциальных уравнений

Рассмотрены основные понятия и определения обыкновенных дифференциальных уравнений и их решений.

Определение дифференциальных уравнений (ДУ)

Дифференциальное уравнение (ДУ)

– это уравнение
F (x₁ , x₂ ,... x_m , y, y^′, y^′′,..., y^(n ) )  = 0 , 
где x₁ , x₂ ,... x_m   – независимые переменные, y – функция и   y^′, y^′′,..., y^(n )    – частные производные.

Обыкновенное дифференциальное уравнение

– это дифференциальное уравнение, которое имеет только одну независимую переменную,   F (x, y, y^′, y^′′,..., y^(n ) )  = 0 . 

Дифференциальное уравнение в частных производных

– это дифференциальное уравнение, которое имеет две и более независимых переменных.

Слова “обыкновенные“ и "в частных производных" могут опускаться, если ясно, какое уравнение рассматривается. В дальнейшем рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядок дифференциального уравнения

– это порядок старшей производной.

Вот пример уравнения первого порядка:
y = xy^′ + y^′ – (y^′ ) ² 
Вот пример уравнения четвертого порядка:
x⁴ y^IV  + 6x² y^′′′ + 5x² y^′′ –  xy^′ + y = x² 

Иногда дифференциальное уравнение первого порядка записывается через дифференциалы:
(x²  – 3xy² )  dx + (y²  – 3x² y )  dy = 0
В этом случае переменные x и y являются равноправными. То есть независимой переменной может быть как x так и y . В первом случае y является функцией от x . Во втором случае x является функцией от y . Если необходимо, мы можем привести это уравнение к виду, в котором явно входит производная y′ .
Разделив это уравнение на dx , мы получим:
(x²  – 3xy² ) dxdx + (y²  – 3x² y ) dydx = 0 . 
Поскольку   dydx = y^′   и   dxdx = 1 ,  то отсюда следует, что
x²  – 3xy²  + (y²  – 3x² y ) y^′ = 0 . 

Решение дифференциальных уравнений

Производные от элементарных функций выражаются через элементарные функции. Интегралы от элементарных функций часто не выражаются через элементарные функции. С дифференциальными уравнениями дело обстоит еще хуже. В результате решения можно получить следующее.

• Явную зависимость функции от переменной.

  Решение дифференциального уравнения F (x, y, y^′, y^′′,..., y^(n ) )  = 0

  – это функция y = u(x) , которая определена, n раз дифференцируема, и удовлетворяет исходному уравнению: F (x, u, u^′, u^′′,..., u^(n ) )  = 0 . 

• Неявную зависимость в виде уравнения типа Φ(x, y) = 0 или системы уравнений.

  Интеграл дифференциального уравнения

  – это решение дифференциального уравнения, которое имеет неявный вид.

• Зависимость, выраженную через элементарные функции и интегралы от них.

  Решение дифференциального уравнения в квадратурах

  – это решение ДУ, выраженное в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них.

• Решение может не выражается через элементарные функции.

Интегрирование дифференциального уравнения

Процесс решения ДУ называется интегрированием дифференциального уравнения.

Поскольку решение дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов, то в состав решения входит набор постоянных C₁ ,  C₂  ...  C_n  .  Количество постоянных равно порядку уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения

– это множество всех, без исключений, решений дифференциального уравнения. Общее решение ДУ n - го порядка часто записывают в виде функции, зависящей от независимой переменной x , и от n произвольных постоянных C₁ ,  C₂  ...  C_n   : 
(1)   y = y (x, C₁ , C₂ ,..., C_n )  . 

Частное решение дифференциального уравнения

– это одно из решений ДУ. Если общее решение имеет вид (1), то в частном решении постоянные C₁ ,  C₂  ...  C_n  имеют заданные значения.

Общий интеграл дифференциального уравнения

– это общее решение, которое имеет неявный вид Φ(x, y, C₁ , C₂ ,..., C_n )  = 0 . 

Частный интеграл дифференциального уравнения

– это общий интеграл при заданных значениях постоянных C₁ ,  C₂  ...  C_n  . 

Также, под интегралом дифференциального уравнения понимают связь между переменными и производными, которая принимает постоянное значение:
φ (x,  y,  y^′,  y^′′, ...,  y^{(n – 1 )} )  = C . 
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет один интеграл. Уравнение n - го порядка имеет n интегралов:
φ₁ (x,  y,  y^′,  y^′′, ...,  y^{(n – 1 )} )  = C₁  ; 
φ₂ (x,  y,  y^′,  y^′′, ...,  y^{(n – 1 )} )  = C₂  ; 
. . . . . .
φ_n – 1 (x,  y,  y^′,  y^′′, ...,  y^{(n – 1 )} )  = C_n – 1  ; 
φ_n (x,  y,  y^′,  y^′′, ...,  y^{(n – 1 )} )  = C_n  . 

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 10-07-2012   Изменено: 10-11-2020