Методы решения физико-математических задач

Основные понятия и определения дифференциальных уравнений

Обыкновенное дифференциальное уравнение
Рассмотрены основные понятия и определения обыкновенных дифференциальных уравнений и их решений.

Определение дифференциальных уравнений (ДУ)

Дифференциальное уравнение (ДУ)
– это уравнение
,
где   – независимые переменные, y – функция и     – частные производные.
Обыкновенное дифференциальное уравнение
– это дифференциальное уравнение, которое имеет только одну независимую переменную,   .
Дифференциальное уравнение в частных производных
– это дифференциальное уравнение, которое имеет две и более независимых переменных.

Слова “обыкновенные“ и "в частных производных" могут опускаться, если ясно, какое уравнение рассматривается. В дальнейшем рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядок дифференциального уравнения
– это порядок старшей производной.

Вот пример уравнения первого порядка:

Вот пример уравнения четвертого порядка:

Иногда дифференциальное уравнение первого порядка записывается через дифференциалы:

В этом случае переменные x и y являются равноправными. То есть независимой переменной может быть как x так и y. В первом случае y является функцией от x. Во втором случае x является функцией от y. Если необходимо, мы можем привести это уравнение к виду, в котором явно входит производная y′.
Разделив это уравнение на dx, мы получим:
.
Поскольку     и   , то отсюда следует, что
.

Решение дифференциальных уравнений

Производные от элементарных функций выражаются через элементарные функции. Интегралы от элементарных функций часто не выражаются через элементарные функции. С дифференциальными уравнениями дело обстоит еще хуже. В результате решения можно получить следующее.

  • Явную зависимость функции от переменной.
    Решение дифференциального уравнения
    – это функция y = u(x), которая определена, n раз дифференцируема, и удовлетворяет исходному уравнению: .
  • Неявную зависимость в виде уравнения типа Φ(x, y) = 0 или системы уравнений.
    Интеграл дифференциального уравнения
    – это решение дифференциального уравнения, которое имеет неявный вид.
  • Зависимость, выраженную через элементарные функции и интегралы от них.
    Решение дифференциального уравнения в квадратурах
    – это решение ДУ, выраженное в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них.
  • Решение может не выражается через элементарные функции.
Интегрирование дифференциального уравнения
Процесс решения ДУ называется интегрированием дифференциального уравнения.

Поскольку решение дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов, то в состав решения входит набор постоянных . Количество постоянных равно порядку уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения
– это множество всех, без исключений, решений дифференциального уравнения. Общее решение ДУ n - го порядка часто записывают в виде функции, зависящей от независимой переменной x, и от n произвольных постоянных :
(1)   .
Частное решение дифференциального уравнения
– это одно из решений ДУ. Если общее решение имеет вид (1), то в частном решении постоянные имеют заданные значения.
Общий интеграл дифференциального уравнения
– это общее решение, которое имеет неявный вид .
Частный интеграл дифференциального уравнения
– это общий интеграл при заданных значениях постоянных .

Также, под интегралом дифференциального уравнения понимают решение, записанное в виде
.
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет один интеграл. Уравнение n - го порядка имеет n интегралов:
;
;
;
. . . . . .
.



Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Полезные ссылки:
Решение дифференциальных уравнений. Типы дифференциальных уравнений и методы их решения.

.     Опубликовано:   Изменено: