Дифференциальное уравнение Эйлера и методы его решения
- Дифференциальное уравнение Эйлера
- – это уравнение вида
anxny(n) + an-1xn–1y(n-1) + ... + a1xy′ + a0y = f(x).
Более общее уравнение Эйлера имеет вид:
.
Это уравнение подстановкой t = ax+b приводится к более простому виду, которое мы и будем рассматривать.
Приведение дифференциального уравнения Эйлера к уравнению с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим уравнение Эйлера:
(1) .
Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:
x = et.
Действительно, тогда
;
;
;
;
;
..........................
Таким образом, множители, содержащие xm, сокращаются. Остаются члены с постоянными коэффициентами. Однако на практике, для решения уравнений Эйлера, можно применять методы решения линейных ДУ с постоянными коэффициентами без использования указанной выше подстановки.
Решение однородного уравнения Эйлера
Рассмотрим однородное уравнение Эйлера:
(2) .
Ищем решение уравнения (2) в виде
.
;
;
........................
.
Подставляем в (2) и сокращаем на xk. Получаем характеристическое уравнение:
.
Решаем его и получаем n корней, которые могут быть комплексными.
Рассмотрим действительные корни. Пусть ki – кратный корень кратности m. Этим m корням соответствуют m линейно независимых решений:
.
Рассмотрим комплексные корни. Они появляются парами вместе с комплексно сопряженными. Пусть ki – кратный корень кратности m. Выразим комплексный корень ki через действительную и мнимую части:
.
Этим m корням и m комплексно сопряженным корням соответствуют 2m линейно независимых решений:
;
;
..............................
.
После того как получены n линейно независимых решений, получаем общее решение уравнения (2):
(3) .
Примеры
Решить уравнения:
Решение примеров > > >
Решение неоднородного уравнения Эйлера
Рассмотрим неоднородное уравнение Эйлера:
.
Метод вариации постоянных (метод Лагранжа) также применим и к уравнениям Эйлера.
Сначала мы решаем однородное уравнение (2) и получаем его общее решение (3). Затем считаем постоянные функциями от переменной x. Дифференцируем (3) n – 1 раз. Получаем выражения для n – 1 производных y по x. При каждом дифференцировании члены, содержащие производные приравниваем к нулю. Так получаем n – 1 уравнений, связывающих производные . Далее находим n-ю производную y. Подставляем полученные производные в (1) и получаем n-е уравнение, связывающее производные . Из этих уравнений определяем . После чего интегрируя, получаем общее решение уравнения (1).
Пример
Решить уравнение:
Решение > > >
Неоднородное уравнение Эйлера со специальной неоднородной частью
Рассмотрим уравнение Эйлера со специальной неоднородной частью:
(4)
,
где – многочлены от степеней и , соответственно.
Наиболее простой способ решения такого уравнения заключается в том, чтобы сделать подстановку
,
и решать линейное уравнение с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: