Методы решения физико-математических задач

Дифференциальное уравнение Эйлера и методы его решения

Дифференциальное уравнение Эйлера
Определение дифференциального уравнения Эйлера. Рассмотрены методы его решения.

Дифференциальное уравнение Эйлера – это уравнение вида
a0xny(n) + a1xn–1y(n-1) + ... + an-1xy′ + any = f(x).

В более общем виде уравнение Эйлера имеет вид:
.
Это уравнение подстановкой t = ax+b приводится к более простому виду, которое мы и будем рассматривать.

Приведение дифференциального уравнения Эйлера к уравнению с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение Эйлера:
(1)   .
Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:
x = et.
Действительно, тогда
;
;
;

;
;
..........................

Таким образом, множители, содержащие xm, сокращаются. Остаются члены с постоянными коэффициентами. Однако на практике, для решения уравнений Эйлера, можно применять методы решения линейных ДУ с постоянными коэффициентами без использования указанной выше подстановки.

Решение однородного уравнения Эйлера

Рассмотрим однородное уравнение Эйлера:
(2)   .
Ищем решение уравнения (2) в виде
.
;
;
........................
.
Подставляем в (2) и сокращаем на xk. Получаем характеристическое уравнение:
.
Решаем его и получаем n корней, которые могут быть комплексными.

Рассмотрим действительные корни. Пусть ki – кратный корень кратности m. Этим m корням соответствуют m линейно независимых решений:
.

Рассмотрим комплексные корни. Они появляются парами вместе с комплексно сопряженными. Пусть ki – кратный корень кратности m. Выразим комплексный корень ki через действительную и мнимую части:
.
Этим m корням и m комплексно сопряженным корням соответствуют 2m линейно независимых решений:
;
;
..............................
.

После того как получены n линейно независимых решений, получаем общее решение уравнения (2):
(3)   .

Примеры

Решить уравнения:


Решение примеров > > >

Решение неоднородного уравнения Эйлера

Рассмотрим неоднородное уравнение Эйлера:
.
Метод вариации постоянных (метод Лагранжа) также применим и к уравнениям Эйлера.

Сначала мы решаем однородное уравнение (2) и получаем его общее решение (3). Затем считаем постоянные функциями от переменной x. Дифференцируем (3) n – 1 раз. Получаем выражения для n – 1 производных y по x. При каждом дифференцировании члены, содержащие производные приравниваем к нулю. Так получаем n – 1 уравнений, связывающих производные . Далее находим n-ю производную y. Подставляем полученные производные в (1) и получаем n-е уравнение, связывающее производные . Из этих уравнений определяем . После чего интегрируя, получаем общее решение уравнения (1).

Пример

Решить уравнение:

Решение > > >

Неоднородное уравнение Эйлера со специальной неоднородной частью

Если неоднородная часть имеет определенный вид, то получить общее решение проще, найдя частное решение неоднородного уравнения. К такому классу относятся уравнения вида:
(4)  
,
где – многочлены от степеней и , соответственно.

В этом случае проще сделать подстановку
,
и решать линейное уравнение с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью.

.     Опубликовано: